การจัดกึ่งกลางจำเป็นเมื่อทำการสแตรปป์ตัวอย่างหมายถึงอะไร?

เมื่ออ่านเกี่ยวกับวิธีประมาณการกระจายตัวของค่าเฉลี่ยตัวอย่างฉันเจอวิธีการบูตแบบไม่มีพารามิเตอร์ เห็นได้ชัดว่าเราสามารถประมาณการกระจายตัวของโดยการกระจายของˉ X ∗ n - ˉ X nโดยที่ˉ X ∗ nหมายถึงค่าเฉลี่ยตัวอย่างของตัวอย่างบูตตัวอย่าง$\bar{X}_n-\mu$$\bar{X}_n^*-\bar{X}_n$$\bar{X}_n^*$

คำถามของฉันคือ: ฉันต้องการจุดศูนย์กลางหรือไม่ เพื่ออะไร?

ฉันไม่สามารถประมาณโดยP ( ˉ X ∗ n ≤ x ) ได้ใช่ไหม$\mathbb{P}\left(\bar{X}_n \leq x\right)$$\mathbb{P}\left(\bar{X}_n^* \leq x\right)$

ใช่คุณสามารถประมาณโดยP ( ˉ X ∗ n ≤ x )แต่ไม่เหมาะ นี่เป็นรูปแบบของ bootstrap เปอร์เซ็นไทล์ อย่างไรก็ตาม bootstrap เปอร์เซ็นไทล์ทำงานได้ไม่ดีถ้าคุณกำลังหาข้อสรุปเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยประชากรยกเว้นว่าคุณมีตัวอย่างขนาดใหญ่ (มันทำงานได้ดีกับปัญหาการอนุมานอื่น ๆ รวมถึงเมื่อขนาดของกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็ก) ฉันใช้ข้อสรุปนี้จากสถิติสมัยใหม่ของวิลค็อกซ์สำหรับสังคมและพฤติกรรมศาสตร์ , CRC Press, 2012 หลักฐานทางทฤษฎีอยู่เหนือฉันฉันกลัว .$\mathbb{P}\left(\bar{X}_n \leq x\right)$$\mathbb{P}\left(\bar{X}_n^* \leq x\right)$

ความแตกต่างของวิธีการที่อยู่ตรงกลางไปที่ขั้นตอนถัดไปและปรับขนาดสถิติการบูตของคุณให้อยู่กึ่งกลางด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างใหม่และขนาดตัวอย่างการคำนวณแบบเดียวกับที่สถิติ ควอนไทล์จากการแจกแจงสถิติ t เหล่านี้สามารถใช้เพื่อสร้างช่วงความมั่นใจหรือทำการทดสอบสมมติฐาน นี่เป็นวิธี bootstrap-t และให้ผลลัพธ์ที่เหนือกว่าเมื่อทำการอนุมานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย

$s^*$

$T^*=\frac{\bar{X}_n^*-\bar{X}}{s^*/\sqrt{n}}$

$T^*$$\mu$

$\bar{X}-T^*_{0.975} \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{X}-T^*_{0.025} \frac{s}{\sqrt{n}}$

พิจารณาผลการจำลองด้านล่างแสดงให้เห็นว่าด้วยการแจกแจงแบบผสมที่เบ้อย่างไม่ดีช่วงความเชื่อมั่นจากวิธีนี้จะมีมูลค่าที่แท้จริงบ่อยกว่าวิธีการบูตสแตรปเปอร์เซ็นไทล์หรือการแทรกซึมแบบดั้งเดิมที่สถิติ

compare.boots <- function(samp, reps = 599){
    # "samp" is the actual original observed sample
    # "s" is a re-sample for bootstrap purposes

    n <- length(samp)

    boot.t <- numeric(reps)
    boot.p <- numeric(reps)

    for(i in 1:reps){
        s <- sample(samp, replace=TRUE)
        boot.t[i] <- (mean(s)-mean(samp)) / (sd(s)/sqrt(n))
        boot.p[i] <- mean(s)
    }

    conf.t <- mean(samp)-quantile(boot.t, probs=c(0.975,0.025))*sd(samp)/sqrt(n)
    conf.p <- quantile(boot.p, probs=c(0.025, 0.975))

    return(rbind(conf.t, conf.p, "Trad T test"=t.test(samp)$conf.int))
}

# Tests below will be for case where sample size is 15
n <- 15

# Create a population that is normally distributed
set.seed(123)
pop <- rnorm(1000,10,1)
my.sample <- sample(pop,n)
# All three methods have similar results when normally distributed
compare.boots(my.sample)

สิ่งนี้ให้สิ่งต่อไปนี้ (conf.t คือเมธอด bootstrap t; conf.p เป็นเมธอด bootstrap แบบเปอร์เซ็นต์ไทล์)

          97.5%     2.5%
conf.t      9.648824 10.98006
conf.p      9.808311 10.95964
Trad T test 9.681865 11.01644

ด้วยตัวอย่างเดียวจากการแจกแจงแบบเบ้:

# create a population that is a mixture of two normal and one gamma distribution
set.seed(123)
pop <- c(rnorm(1000,10,2),rgamma(3000,3,1)*4, rnorm(200,45,7))
my.sample <- sample(pop,n)
mean(pop)
compare.boots(my.sample)

สิ่งนี้ให้สิ่งต่อไปนี้ โปรดทราบว่า "conf.t" - เวอร์ชัน bootstrap t - ให้ช่วงความมั่นใจที่กว้างกว่าอีกสองรายการ โดยพื้นฐานแล้วจะเป็นการดีกว่าที่จะตอบสนองต่อการกระจายตัวที่ผิดปกติของประชากร

> mean(pop)
[1] 13.02341
> compare.boots(my.sample)
                97.5%     2.5%
conf.t      10.432285 29.54331
conf.p       9.813542 19.67761
Trad T test  8.312949 20.24093

ในที่สุดนี่คือการจำลองหนึ่งพันครั้งเพื่อดูว่าเวอร์ชันใดให้ช่วงความมั่นใจที่ถูกต้องบ่อยที่สุด:

# simulation study
set.seed(123)
sims <- 1000
results <- matrix(FALSE, sims,3)
colnames(results) <- c("Bootstrap T", "Bootstrap percentile", "Trad T test")

for(i in 1:sims){
    pop <- c(rnorm(1000,10,2),rgamma(3000,3,1)*4, rnorm(200,45,7))
    my.sample <- sample(pop,n)
    mu <- mean(pop)
    x <- compare.boots(my.sample)
    for(j in 1:3){
        results[i,j] <- x[j,1] < mu & x[j,2] > mu
    }
}

apply(results,2,sum)

สิ่งนี้จะให้ผลลัพธ์ด้านล่าง - ตัวเลขคือจำนวนครั้งที่ 1,000 จากช่วงความเชื่อมั่นที่มีค่าจริงของประชากรที่จำลอง ขอให้สังเกตว่าอัตราความสำเร็จที่แท้จริงของทุกรุ่นนั้นน้อยกว่า 95%

     Bootstrap T Bootstrap percentile          Trad T test 
             901                  854                  890