กระบวนการ Stochastic เช่นกระบวนการ Gaussian / กระบวนการ Dirichlet มีความหนาแน่นหรือไม่ หากไม่สามารถใช้กฎของเบย์กับพวกเขาได้อย่างไร

กระบวนการ Dirichlet Pocess และ Gaussian นั้นมักเรียกกันว่า ในกรณีนั้นฉันสามารถพูดถึงความหนาแน่นของฟังก์ชั่นภายใต้ GP ได้หรือไม่? นั่นคือกระบวนการ Gaussian หรือกระบวนการ Dirichlet มีแนวคิดเกี่ยวกับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นหรือไม่?

หากไม่เป็นเช่นนั้นเราจะใช้กฎของเบย์ในการเปลี่ยนจากก่อนหน้าไปยังด้านหลังได้อย่างไรหากความคิดของความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้ของฟังก์ชั่นยังไม่ชัดเจน มีสิ่งต่าง ๆ เช่นการประมาณค่า MAP หรือ EAP ในโลกที่ไม่ใช่แบบเบย์ของ Bayesian หรือไม่? ขอบคุณมาก.

"ความหนาแน่น" หรือ "โอกาส" เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทเรดอน - นิโคดีมาในทฤษฎีการวัด ตามที่ระบุไว้โดย @ ซีอานเมื่อคุณพิจารณาชุด จำกัด ของสิ่งที่เรียกว่าการสังเกตบางส่วนของกระบวนการสุ่มโอกาสที่สอดคล้องกับความคิดปกติของอนุพันธ์ wrt วัด Lebesgue ยกตัวอย่างเช่นความน่าจะเป็นของกระบวนการแบบเกาส์ที่สังเกตได้จากชุดของดัชนีที่รู้จักกันดีก็คือแบบเวกเตอร์แบบสุ่มเกาส์เซียนที่มีค่าเฉลี่ยความแปรปรวนร่วมซึ่งอนุมานได้จากกระบวนการนั้น

ในกรณีที่เงียบสงบที่มีจำนวนการสังเกตที่ไม่สิ้นสุดจากกระบวนการสุ่มการวัดความน่าจะเป็นนั้นอยู่ในพื้นที่มิติไม่มีที่สิ้นสุดตัวอย่างเช่นช่องว่างของฟังก์ชันต่อเนื่องหากกระบวนการสุ่มมีเส้นทางต่อเนื่อง แต่ไม่มีอะไรที่เหมือนกับการวัด Lebesgue ในพื้นที่มิติไม่มีที่สิ้นสุดดังนั้นจึงไม่มีคำจำกัดความที่ตรงไปตรงมาเกี่ยวกับความน่าจะเป็น

สำหรับกระบวนการแบบเกาส์เซียนนั้นมีบางกรณีที่เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นได้โดยใช้แนวคิดของการวัดแบบเกาส์ที่เท่ากัน ตัวอย่างที่สำคัญมีให้โดยทฤษฎีบทของ Girsanov ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์การเงิน นี่เป็นการกำหนดความน่าจะเป็นของการแพร่กระจายของItô $Y_t$ ในฐานะที่เป็น WRT การกระจายความน่าจะเป็นของกระบวนการ Wiener มาตรฐาน $B_t$ กำหนดไว้สำหรับ $t \geq 0$. การแสดงออกทางคณิตศาสตร์เรียบร้อยจะพบในหนังสือเล่มนี้โดยเบิร์นท์ออเซนดาล หนังสือ (กำลังจะเกิดขึ้น) โดยSärkkäและ Solin นำเสนอการนำเสนอที่เข้าใจง่ายซึ่งจะช่วยผู้ปฏิบัติ การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับการวิเคราะห์และความน่าจะเป็นในช่องว่าง Infinite-Dimensionalโดย Nate Elderedge มีให้บริการ

หมายเหตุว่าโอกาสของกระบวนการสุ่มที่จะสังเกตได้อย่างสมบูรณ์บางครั้งเรียกว่าโอกาส infillโดยสถิติ