คำอธิบายที่ใช้งานง่ายสำหรับการหารด้วย

ฉันถูกถามในชั้นเรียนวันนี้ว่าทำไมคุณหารผลรวมของความคลาดเคลื่อนกำลังสองด้วยแทนที่จะเป็นกับเมื่อคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน$n-1$$n$

ฉันบอกว่าฉันจะไม่ตอบคำถามนี้ในชั้นเรียน (เนื่องจากฉันไม่ต้องการเข้าไปในตัวประมาณค่าที่เป็นกลาง) แต่ต่อมาฉันสงสัยว่า - มีคำอธิบายที่เข้าใจง่ายสำหรับเรื่องนี้หรือไม่!

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่คำนวณโดยตัวหารของคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่คำนวณจากกลุ่มตัวอย่างเป็นการประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่กลุ่มตัวอย่างถูกดึงขึ้นมา เนื่องจากค่าที่สังเกตได้ลดลงโดยเฉลี่ยใกล้กับค่าเฉลี่ยตัวอย่างมากกว่าค่าเฉลี่ยของประชากรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่คำนวณโดยใช้การเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างต่ำกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ต้องการของประชากรต่ำกว่า ใช้แทนเป็นตัวแก้ไขที่ถูกต้องโดยการทำให้ผลลัพธ์ใหญ่ขึ้นเล็กน้อยn - 1 $n-1$$n-1$$n$

โปรดทราบว่าการแก้ไขมีผลต่อสัดส่วนที่มากขึ้นเมื่อมีขนาดเล็กกว่าเมื่อมันมีขนาดใหญ่ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการเพราะเมื่อ n มีขนาดใหญ่กว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างน่าจะเป็นตัวประมาณที่ดีของค่าเฉลี่ยประชากร$n$

เมื่อตัวอย่างคือประชากรทั้งหมดเราใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยมีเป็นตัวหารเพราะค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือค่าเฉลี่ยประชากร$n$

(ฉันสังเกตด้วยความพ่อแม่ว่าไม่มีสิ่งใดที่เริ่มต้นด้วย "ช่วงเวลาที่สองกลับมาอีกรอบหมายถึงค่าเฉลี่ยที่แน่นอน" เป็นไปตามคำขอของผู้ถามสำหรับคำอธิบายที่เข้าใจง่าย)

สิ่งที่พบได้ทั่วไปคือนิยามของความแปรปรวน (ของการแจกแจง) คือช่วงเวลาที่สองที่เกิดขึ้นรอบ ๆค่าเฉลี่ยที่แน่นอนและเป็นที่รู้จักในขณะที่ตัวประมาณใช้ค่าเฉลี่ยที่ประมาณไว้ การสูญเสียระดับความเป็นอิสระนี้ (จากค่าเฉลี่ยคุณสามารถสร้างชุดข้อมูลใหม่ด้วยความรู้เพียงแค่ค่าข้อมูล ) จำเป็นต้องใช้แทนเพื่อ "ปรับ" ผลลัพธ์n - 1 $n-1$$n-1$$n$

คำอธิบายดังกล่าวสอดคล้องกับความแปรปรวนโดยประมาณในการวิเคราะห์ความแปรปรวนและองค์ประกอบความแปรปรวน เป็นกรณีพิเศษจริงๆ

ฉันคิดว่าจำเป็นต้องทำการปรับเปลี่ยนบางอย่างที่ทำให้ความแปรปรวนสามารถทำให้ชัดเจนโดยสังเขปด้วยการโต้แย้งที่ถูกต้องซึ่งไม่ได้เป็นเพียงแค่การโพสต์การโบกมือด้วยมือ (ฉันจำได้ว่านักเรียนอาจโต้เถียงในกระดาษ 1908 ของเขาใน t-test.) ทำไมการปรับค่าความแปรปรวนควรเป็นปัจจัยที่แท้จริงของยากที่จะพิสูจน์โดยเฉพาะเมื่อคุณพิจารณา ว่า SD ที่ปรับแล้วไม่ใช่$n/(n-1)$ตัวประมาณที่เป็นกลาง (มันเป็นเพียงรากที่สองของเป็นกลาง estimator ความแปรปรวน. ถูกเป็นกลางมักจะไม่รอดการเปลี่ยนแปลงที่ไม่เป็นเชิงเส้น.) ดังนั้นในความเป็นจริงการปรับตัวที่ถูกต้องไปยังการ์ด SD ที่จะลบอคติของมันคือไม่ได้ปัจจัยของเลย!$\sqrt{n/(n-1)}$

หนังสือแนะนำบางเล่มไม่สนใจที่จะแนะนำ sd ที่ปรับแล้ว: พวกเขาสอนหนึ่งสูตร (หารด้วย ) ครั้งแรกที่ฉันมีปฏิกิริยาทางลบต่อการที่เมื่อการสอนจากหนังสือเล่มนี้ แต่เริ่มที่จะชื่นชมภูมิปัญญา: การมุ่งเน้นไปที่แนวคิดและการใช้งานผู้เขียนตัดออกทั้งหมด nicities ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่จำเป็น ปรากฎว่าไม่มีอะไรบาดเจ็บและไม่มีใครเข้าใจผิด$n$

ตามคำนิยามความแปรปรวนคำนวณโดยการหาผลรวมของความแตกต่างยกกำลังสองจากค่าเฉลี่ยและหารด้วยขนาด เรามีสูตรทั่วไป

โดยที่μคือค่าเฉลี่ยและNคือขนาดของประชากร$\sigma^2= \frac{\sum_{i}^{N}(X_i-\mu)^2}{N}$$\mu$$N$

ตามคำจำกัดความนี้จะต้องคำนวณความแปรปรวนของตัวอย่าง (เช่นตัวอย่าง ) ด้วยวิธีนี้$t$

โดยที่ ¯ Xคือค่าเฉลี่ยและnคือขนาดของตัวอย่างเล็ก ๆ นี้$\sigma^2_t= \frac{\sum_{i}^{n}(X_i-\overline{X})^2}{n}$$\overline{X}$$n$

อย่างไรก็ตามกลุ่มตัวอย่างแปรปรวนเราหมายถึงการประมาณการของประชากรแปรปรวนσ 2 เราจะประมาณσ 2โดยใช้ค่าจากตัวอย่างได้อย่างไร$S^2$$\sigma^2$$\sigma^2$

ตามสูตรข้างต้นตัวแปรสุ่มเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยตัวอย่าง¯ Xกับความแปรปรวนσ 2ตัน ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง¯ Xนั้นเบี่ยงเบนจากμด้วยความแปรปรวนσ $X$$\overline{X}$$\sigma^2_t$$\overline{X}$$\mu$เนื่องจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างได้รับค่าที่แตกต่างจากกลุ่มตัวอย่างไปยังกลุ่มตัวอย่างและเป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวนσ$\frac{\sigma^2}{n}$$\mu$ . (หนึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย)$\frac{\sigma^2}{n}$

ดังนั้นโดยประมาณ, ควรเบี่ยงเบนจากμด้วยความแปรปรวนที่เกี่ยวข้องกับความแปรปรวนสองค่าดังนั้นรวมสองค่านี้เข้าด้วยกันและรับσ 2 = σ 2 t + σ $X$$\mu$ . ด้วยการแก้ปัญหานี้เราจะได้σ2=σ 2 t ×$\sigma^2=\sigma^2_t+\frac{\sigma^2}{n}$ 1 การเปลี่ยนσ 2 tให้ตัวประมาณความแปรปรวนของประชากรของเรา:$\sigma^2=\sigma^2_t \times\frac{n}{n-1}$$\sigma^2_t$

1$S^2= \frac{\sum_{i}^{n}(X_i-\overline{X})^2}{n-1}$

เราสามารถพิสูจน์ได้ว่านั้นเป็นจริง$E[S^2]=\sigma^2$

นี่คือสัญชาตญาณโดยรวม แต่คำตอบที่ง่ายที่สุดคือการแก้ไขเพื่อให้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างองค์ประกอบเดียวไม่ได้กำหนดมากกว่า 0

คุณสามารถได้รับความเข้าใจที่ลึกซึ้งของระยะผ่านเรขาคณิตเพียงอย่างเดียวไม่ได้เป็นเพียงเหตุผลที่มันไม่ได้nแต่ทำไมมันต้องใช้ว่ารูปแบบนี้ แต่แรกคุณอาจต้องการที่จะสร้างขึ้นสัญชาตญาณของคุณรับมือกับnเรขาคณิตมิติ จากตรงนั้นเป็นขั้นตอนเล็ก ๆ เพื่อทำความเข้าใจอย่างลึกซึ้งเกี่ยวกับองศาอิสระในโมเดลเชิงเส้น (เช่นโมเดล df และส่วนที่เหลือ df) ฉันคิดว่ามีข้อสงสัยเล็กน้อยที่ฟิชเชอร์คิดแบบนี้ นี่คือหนังสือที่สร้างมันขึ้นทีละน้อย:$n-1$$n$$n$

Saville DJ, Wood GR. วิธีการทางสถิติวิธีการทางเรขาคณิต ฉบับที่ 3 นิวยอร์ก: Springer-Verlag; 2534 560 หน้า 9780387975177

(ใช่ 560 หน้าฉันพูดอย่างช้าๆ)

ตัวประมาณความแปรปรวนประชากรจะเอนเอียงเมื่อนำไปใช้กับกลุ่มตัวอย่างของประชากร เพื่อที่จะปรับสำหรับอคตินั้นจำเป็นต้องหารด้วย n-1 แทน n เราสามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้ว่าตัวประมาณค่าของความแปรปรวนตัวอย่างนั้นไม่เอนเอียงเมื่อเราหารด้วย n-1 แทนที่จะเป็น n หลักฐานที่เป็นทางการมีให้ที่นี่:

https://economictheoryblog.com/2012/06/28/latexlatexs2/

ตอนแรกมันเป็นความถูกต้องทางคณิตศาสตร์ที่นำไปสู่สูตรที่ฉันคิดว่า อย่างไรก็ตามหากต้องการเพิ่มปรีชาในสูตรคำแนะนำที่กล่าวถึงแล้วจะปรากฏขึ้นอย่างสมเหตุสมผล

ก่อนการสังเกตของกลุ่มตัวอย่างนั้นจะอยู่ใกล้กับค่าเฉลี่ยตัวอย่างมากกว่าค่าเฉลี่ยประชากร ตัวประมาณความแปรปรวนใช้ประโยชน์จากค่าเฉลี่ยตัวอย่างและผลที่ตามมาประเมินความแปรปรวนที่แท้จริงของประชากรต่ำไป การหารด้วย n-1 แทนการแก้ไข n สำหรับอคตินั้น

นอกจากนี้การหารด้วย n-1 ยังทำให้ความแปรปรวนของตัวอย่างองค์ประกอบหนึ่งที่ไม่ได้กำหนดมากกว่าศูนย์

ทำไมหารด้วยมากกว่าn ? เพราะมันเป็นธรรมเนียมและผลในการประมาณค่าความแปรปรวนที่เป็นกลาง อย่างไรก็ตามมันส่งผลให้มีการประเมินค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบเอนเอียง (ต่ำ) อย่างที่เห็นได้จากการใช้ความไม่เท่าเทียมของเซ่นกับฟังก์ชันเว้ารูตสแควร์$n-1$$n$

ดังนั้นสิ่งที่ดีมากเกี่ยวกับการมีตัวประมาณที่เป็นกลาง? มันไม่จำเป็นต้องลดความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ย MLE สำหรับการกระจายปกติคือการหารด้วยมากกว่าn - 1 สอนนักเรียนของคุณให้คิดแทนที่จะสำรอกและจดจ่อกับความคิดโบราณที่มีมาตั้งแต่ศตวรรษที่แล้ว$n$$n-1$

เป็นที่รู้จักกันดี (หรือพิสูจน์ได้ง่าย) ว่าสมการกำลังสองมี extremum ที่z = - $\alpha z^2 + 2\beta z + \gamma$ . นี้แสดงให้เห็นว่าสำหรับใดก็ตามnจำนวนจริงx1,x2,...,xnปริมาณ G()= n Σฉัน=1(xฉัน-)2=( n Σฉัน= 1 x 2 ฉัน )-2a( n ∑ i = 1 xi)+$z = -\frac{\beta}{\alpha}$$n$$x_1, x_2, \ldots, x_n$ มีค่าต่ำสุดเมื่อ =

$$G(a) = \sum_{i=1}^n (x_i-a)^2 = \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) -2a\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) + na^2,$$ x$\displaystyle a = \frac 1n \sum_{i=1}^n x_i =\bar{x}$

ตอนนี้สมมติว่าเป็นตัวอย่างที่มีขนาดnจากการกระจายกับที่ไม่รู้จักย่อมμและความแปรปรวนที่ไม่รู้จักσ 2 เราสามารถประมาณμเป็น$x_i$$n$$\mu$$\sigma^2$$\mu$ซึ่งง่ายต่อการคำนวณ แต่ความพยายามในการประมาณσ2 เป็น$\frac 1n \sum_{i=1}^n x_i = \bar{x}$$\sigma^2$$\frac 1n \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 = n^{-1}G(\mu)$$\mu$$G(\bar{x})$$G(\mu) \geq G(\bar{x})$$G(\mu)$$G(\mu)$$G(\bar{x})$$\frac{n}{n-1}$

$$G(\mu) \approx \frac{n}{n-1}G(\bar{x})\tag{1}$$ $\displaystyle n^{-1}G(\mu)= \frac 1n\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2$$\displaystyle \frac{1}{n-1}G(\bar{x}) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.$

$(1)$

$$\begin{align} G(\mu) &= \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2\\ &= \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x} + \bar{x}-\mu)^2\\ &= \sum_{i=1}^n \left((x_i-\bar{x})^2 + (\bar{x}-\mu)^2 + 2(x_i-\bar{x})(\bar{x}-\mu)\right)\\ &= G(\bar{x}) + n(\bar{x}-\mu)^2 + (\bar{x}-\mu)\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})\\ &= G(\bar{x}) + n(\bar{x}-\mu)^2 \tag{2} \end{align}$$ $\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}) = n\bar{x}-n\bar{x} = 0$ $$\begin{align} n(\bar{x}-\mu)^2 &= n\frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)\right)^2\\ &= \frac 1n \sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2 + \frac 2n \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n(x_i-\mu)(x_j-\mu)\\ &= \frac 1n G(\mu) + \frac 2n \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n(x_i-\mu)(x_j-\mu)\tag{3} \end{align}$$ $x_i$$\mu$$\mu$$(x_i-\mu)(x_j-\mu)$$(3)$$\frac 1nG(\mu)$$(3)$$(2)$ $$G(\mu) \approx G(\bar{x}) + \frac 1nG(\mu) \Longrightarrow G(\mu) \approx \frac{n}{n-1}G(\bar{x})$$ $(1)$

$(x_i-x_j)^2/2$

$$s^2 = \frac{2}{n(n-1)}\sum_{i< j}\frac{(x_i-x_j)^2}{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 .$$

$X$$Y$

$$V(X) = E\left(\frac{(X-Y)^2}{2}\right) = E((X-E(X))^2) .$$

ที่จะไปจากการสุ่มการแปรปรวนของการแปรปรวนไปยังการกำหนดค่าความแปรปรวนตัวอย่างเป็นเรื่องของการประมาณความคาดหวังโดยค่าเฉลี่ยซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยหลักการทางปรัชญาของความเป็นมาตรฐาน: ตัวอย่างเป็นตัวแทนทั่วไปของการแจกแจง (หมายเหตุสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับ แต่ไม่เหมือนกับการประมาณช่วงเวลา)

$N=1$$x$$\overline{m}=x$$1$

$$V=\frac{\sum_N (x_n - \overline{m} )^2}{N}$$

$$\overline{V}=\frac{(x-\overline{m})^2}{1} = 0\,.$$

$y$$x\neq y$$N-1=0$

$0$$d+1$$d$$d+1$

คำแนะนำของwhuberคำตอบนี้ได้รับการคัดลอกมาจากคำถามที่คล้ายกันอีก

การแก้ไขของเบสเซลจะถูกนำมาใช้เพื่อแก้ไขอคติในการใช้ความแปรปรวนตัวอย่างเป็นตัวประมาณความแปรปรวนที่แท้จริง ความเอนเอียงในสถิติที่ไม่ได้แก้ไขเกิดขึ้นเนื่องจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ใกล้กับจุดกึ่งกลางของการสังเกตมากกว่าค่าเฉลี่ยที่แท้จริงและค่าเบี่ยงเบนกำลังสองรอบตัวอย่างหมายความว่าระบบประเมินค่าเบี่ยงเบนกำลังสองต่ำกว่าค่าเฉลี่ยจริง

$S_*^2$$n$

$$\begin{equation} \begin{aligned} S_*^2 &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \\[8pt] &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 2 \bar{X} X_i + \bar{X}^2) \\[8pt] &= \frac{1}{n} \Bigg( \sum_{i=1}^n X_i^2 - 2 \bar{X} \sum_{i=1}^n X_i + n \bar{X}^2 \Bigg) \\[8pt] &= \frac{1}{n} \Bigg( \sum_{i=1}^n X_i^2 - 2 n \bar{X}^2 + n \bar{X}^2 \Bigg) \\[8pt] &= \frac{1}{n} \Bigg( \sum_{i=1}^n X_i^2 - n \bar{X}^2 \Bigg) \\[8pt] &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2 - \bar{X}^2. \end{aligned} \end{equation}$$

การคาดหวังผลตอบแทน:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{E}(S_*^2) &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i^2) - \mathbb{E} (\bar{X}^2) \\[8pt] &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (\mu^2 + \sigma^2) - (\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}) \\[8pt] &= (\mu^2 + \sigma^2) - (\mu^2 + \frac{\sigma^2}{n}) \\[8pt] &= \sigma^2 - \frac{\sigma^2}{n} \\[8pt] &= \frac{n-1}{n} \cdot \sigma^2 \\[8pt] \end{aligned} \end{equation}$$

$\sigma^2$$n-1$

โดยทั่วไปการใช้ "n" ในตัวส่วนให้ค่าน้อยกว่าความแปรปรวนประชากรซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการประเมิน สิ่งนี้จะเกิดขึ้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากนำตัวอย่างขนาดเล็ก ในภาษาของสถิติเราบอกว่าค่าความแปรปรวนตัวอย่างให้การประมาณค่า "ความเอนเอียง" ของความแปรปรวนของประชากรและจำเป็นต้องทำ "เป็นกลาง"

หากคุณกำลังมองหาคำอธิบายที่เข้าใจง่ายคุณควรให้นักเรียนของคุณเห็นเหตุผลด้วยตัวเองโดยการเก็บตัวอย่าง! ดูสิ่งนี้ตอบคำถามของคุณได้อย่างแม่นยำ

https://www.youtube.com/watch?v=xslIhnquFoE

$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$$n - 1$

เพื่อตอบคำถามนี้เราต้องกลับไปที่คำจำกัดความของผู้ประเมินที่ไม่มีอคติ ตัวประมาณที่ไม่มีอคติคือสิ่งที่ความคาดหวังมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นจริง ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือตัวประมาณที่ไม่เอนเอียง เพื่อดูว่าทำไม:

$$E[\bar{X}] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E[X_i] = \frac{n}{n} \mu = \mu$$

ให้เราดูความคาดหวังของความแปรปรวนตัวอย่าง

$$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i^2) - n\bar{X}^2$$

$$E[S^2] = \frac{1}{n-1} \left( n E[(X_i^2)] - nE[\bar{X}^2] \right).$$

$\bar{X}$$E[\bar{X}^2]$$n-1$

$$E[S^2] = \frac{1}{n-1} \left( n (\mu^2 + \sigma^2) - n(\mu^2 + Var(\bar{X})) \right).$$ $$Var(\bar{X}) = Var(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i) = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2} Var(X_i) = \frac{\sigma^2}{n}$$

$$E[S^2] = \frac{1}{n-1} \left( n (\mu^2 + \sigma^2) - n(\mu^2 + \sigma^2/n) \right). = \frac{(n-1)\sigma^2}{n-1} = \sigma^2 \\ $$

$n$$n-1$$n-1$$S^2$

$\mu$$\sigma^2$$n$$\mu$

$$\sigma^2 \left(\frac{n+1}{n-1}\right),$$

$2n$

การแจกแจง T แบบทั่วไปของนักเรียนมีสามพารามิเตอร์และใช้ประโยชน์จากสถิติทั้งสามของคุณ หากคุณตัดสินใจที่จะทิ้งข้อมูลบางอย่างคุณสามารถประมาณข้อมูลของคุณเพิ่มเติมโดยใช้การแจกแจงปกติสองพารามิเตอร์ตามที่อธิบายไว้ในคำถามของคุณ

จากมุมมองแบบเบย์คุณสามารถจินตนาการว่าความไม่แน่นอนในรูปแบบไฮเปอร์พารามิเตอร์ของแบบจำลอง (การแจกแจงค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน) เป็นสาเหตุให้ความแปรปรวนของการทำนายหลังสูงกว่าความแปรปรวนของประชากร

ความดีของฉันมันเริ่มซับซ้อน! ฉันคิดว่าคำตอบง่ายๆคือ ... หากคุณมีจุดข้อมูลทั้งหมดที่คุณสามารถใช้ "n" แต่ถ้าคุณมี "ตัวอย่าง" จากนั้นสมมติว่าเป็นตัวอย่างแบบสุ่มคุณจะได้รับคะแนนตัวอย่างเพิ่มเติมจากภายในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน กว่าจากภายนอก (ความหมายของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) คุณมีข้อมูลไม่เพียงพอนอกเพื่อให้แน่ใจว่าคุณได้รับจุดข้อมูลทั้งหมดที่คุณต้องการแบบสุ่ม n-1 ช่วยขยายสู่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน "ของจริง"