ความน่าจะเป็นของ

9

สมมติว่าและมีความเป็นอิสระตัวแปรสุ่มเรขาคณิตกับพารามิเตอร์พีความน่าจะเป็นที่คืออะไร? $X_1$ $X_2$ $p$ $X_1 \geq X_2$

ฉันสับสนเกี่ยวกับคำถามนี้เพราะเราไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับและนอกเหนือจากพวกเขาเป็นรูปทรงเรขาคณิต สิ่งนี้จะไม่เป็นเพราะและสามารถเป็นอะไรก็ได้ในช่วงนี้ $X_1$ $X_2$ $50\%$ $X_1$ $X_2$

แก้ไข: ความพยายามใหม่

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = และ $P(X1 < X2)$ $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

ดังนั้น = =เพิ่มถึงฉันจะได้ = $P(X1 > X2)$ $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ $\frac{1-p}{2-p}$
$P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ $P(X1 ≥ X2)$ $\frac{1}{2-p}$

ถูกต้องหรือไม่

self-study random-variable geometric-distribution

— IRCA
แหล่งที่มา

3

โปรดเพิ่มแท็ก 'การศึกษาด้วยตนเอง'

— StubbornAtom

1

ที่จริงเพราะX1และX2เป็นตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องความเท่าเทียมกันทำให้สิ่งต่าง ๆ ชัดเจนน้อยลง

— usεr11852

13

ไม่สามารถเป็นเนื่องจาก $50\%$ $P(X_1=X_2)>0$

วิธีการหนึ่ง:

พิจารณาสามเหตุการณ์และซึ่งแบ่งพื้นที่ตัวอย่าง $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ $P(X_1=X_2)$

มีการเชื่อมต่อที่ชัดเจนระหว่างสองคนแรก เขียนนิพจน์ที่สามและทำให้ง่ายขึ้น ดังนั้นแก้คำถาม

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

ฉันแก้ไขโพสต์ของฉันด้วยคำตอบใหม่ของฉัน คุณช่วยดูและดูว่ามันถูกต้องหรือไม่?

— IrCa

1

ใช่คำตอบของคุณถูกต้อง วิธีการทางเลือก (ใช้ความคิดที่คล้ายกัน) จะต้องทราบว่า (อีกครั้งใช้ประโยชน์จากสมมาตร / แลกเปลี่ยนได้และ )

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b -Reinstate Monica

6

คำตอบของคุณตามคำแนะนำของ Glen ถูกต้อง อีกวิธีที่สวยงามน้อยกว่าเป็นเพียงเงื่อนไข:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

สิ่งนี้จะให้เดียวกันหลังจากจัดการชุดเรขาคณิตสองชุด ทางของเกลนจะดีกว่า $1/(2-p)$

— เซน
แหล่งที่มา

4

หมายเหตุ - วิธีการของคุณดีกว่าสำหรับการใช้กับปัญหาใหม่ที่ฉันคิดว่า เพราะมันขึ้นอยู่กับหลักการแรก เคล็ดลับ / คำตอบจากคำตอบของ glen_b มักจะเกิดขึ้นหลังจากที่ปัญหาได้รับการแก้ไขในแบบของคุณ

— ความน่าจะเป็นทาง

3

@probabilityislogic ฉันแบ่งปันความกระตือรือร้นของคุณสำหรับการสืบทอดจาก "หลักการแรก" อย่างไรก็ตามสำหรับนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่การมองหาและใช้ประโยชน์จากความสมมาตรเป็นพื้นฐานมากกว่าหลักการแรก (คำจำกัดความ) ที่คุณอ้างถึง: เราอาจเรียกมันว่าmetaprincipleของคณิตศาสตร์ มันเป็นมากกว่า "เคล็ดลับ" เท่านั้น

— whuber