ตัวอย่างของสถิติที่ไม่เป็นอิสระจากการกระจายตัวของตัวอย่าง?

นี่คือคำจำกัดความของสถิติในวิกิพีเดีย

ทฤษฎีทางสถิติกำหนดสถิติว่าเป็นฟังก์ชันของตัวอย่างที่ฟังก์ชันนั้นมีความเป็นอิสระจากการแจกตัวอย่าง นั่นคือฟังก์ชั่นสามารถระบุไว้ก่อนที่จะตระหนักถึงข้อมูล คำว่าสถิติใช้สำหรับทั้งฟังก์ชันและค่าของฟังก์ชันในตัวอย่างที่กำหนด

ฉันคิดว่าฉันเข้าใจคำจำกัดความส่วนใหญ่นี้อย่างไรก็ตามส่วน - ที่ฟังก์ชันมีความเป็นอิสระจากการแจกแจงตัวอย่างฉันไม่สามารถแยกแยะได้

ความเข้าใจเกี่ยวกับสถิติของฉันจนถึงตอนนี้

ตัวอย่างคือชุดของความเข้าใจของจำนวนการบางอย่างอิสระกระจายเหมือนกัน (IID) ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบ F (10 ความเข้าใจของการโยนลูกเต๋ายุติธรรมด้าน 20, 100 ความเข้าใจ 5 ม้วนลูกเต๋ายุติธรรม 6 ด้านที่ สุ่ม 100 คนจากประชากร)

ฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเป็นชุดนั้นและมีช่วงที่เป็นตัวเลขจริง (หรือบางทีมันอาจจะสามารถผลิตสิ่งอื่น ๆ เช่นเวกเตอร์หรือวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ... ) จะได้รับการพิจารณาสถิติ

เมื่อฉันคิดถึงตัวอย่างค่าเฉลี่ยมัธยฐานความแปรปรวนทั้งหมดจะสมเหตุสมผลในบริบทนี้ มันเป็นฟังก์ชั่นในชุดของการรับรู้ (การวัดความดันโลหิตจากตัวอย่างแบบสุ่ม) ฉันยังสามารถดูวิธีการรูปแบบการถดถอยเชิงเส้นอาจจะถือว่าเป็นสถิติที่ $y_{i} = \alpha + \beta \cdot x_{i}$ - นี้ไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชั่นในชุดของความเข้าใจหรือไม่?

ที่ฉันสับสน

สมมติว่าความเข้าใจของฉันจากด้านบนถูกต้องฉันไม่สามารถเข้าใจได้ว่าฟังก์ชันใดที่อาจไม่เป็นอิสระจากการแจกแจงตัวอย่าง ฉันพยายามนึกตัวอย่างเพื่อให้เข้าใจ แต่ก็ไม่มีโชค ความเข้าใจใด ๆ จะได้รับการชื่นชมมาก!

mathematical-statistics definition

— Jake Kirsch
แหล่งที่มา

คำตอบ:

คำจำกัดความนั้นเป็นวิธีที่ค่อนข้างอึดอัดใจ "สถิติ" คือฟังก์ชันใด ๆ ของค่าที่สังเกตได้ ความหมายทั้งหมดนั้นหมายถึงว่าสถิติเป็นฟังก์ชันเฉพาะของค่าที่สังเกตได้ไม่ใช่ฟังก์ชันของการแจกแจงหรือพารามิเตอร์ใด ๆ ตัวอย่างเช่นถ้า $X_1, X_2, ..., X_n \sim \text{N}(\mu, 1)$ แล้วสถิติจะเป็นฟังก์ชั่นใด ๆ $T(X_1,...,X_n)$ ในขณะที่ฟังก์ชั่น $H(X_1,....,X_n, \mu)$ จะไม่เป็นสถิติเพราะมันขึ้นอยู่กับμ $\mu$ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติม:

\begin{aligned} Statistic & {\bar{X}}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \\ Statistic & S_{n}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - {\bar{X}}_{n})^{2}, \\ Not a statistic & D_{n} = {\bar{X}}_{n} - μ, \\ Not a statistic & p_{i} = N (x_{i} | μ, 1), \\ Not a statistic & Q = 10 μ . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \text{Statistic} & & & & & \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \\[12pt] \text{Statistic} & & & & & S_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2, \\[12pt] \text{Not a statistic} & & & & & D_n = \bar{X}_n - \mu, \\[12pt] \text{Not a statistic} & & & & & p_i = \text{N}(x_i | \mu, 1), \\[12pt] \text{Not a statistic} & & & & & Q = 10 \mu. \\[12pt] \end{aligned} \end{equation}$

สถิติทั้งหมดเป็นฟังก์ชันเฉพาะของค่าที่สังเกตได้และไม่ใช่การแจกแจงหรือพารามิเตอร์ ดังนั้นจึงไม่มีตัวอย่างของสถิติที่เป็นฟังก์ชั่นของการแจกแจงหรือพารามิเตอร์ (ฟังก์ชั่นดังกล่าวจะไม่เป็นสถิติ) อย่างไรก็ตามมันเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าการกระจายตัวของสถิติ (ตรงข้ามกับตัวสถิติเอง) โดยทั่วไปจะขึ้นอยู่กับการกระจายของค่า (นี่เป็นความจริงสำหรับสถิติทั้งหมดนอกเหนือจากสถิติเสริม )

ฟังก์ชั่นเกี่ยวกับพารามิเตอร์ที่รู้จักกันคืออะไร? ในความคิดเห็นด้านล่างAlecosถามคำถามติดตามยอดเยี่ยม ฟังก์ชั่นที่ใช้ค่าคงที่ของพารามิเตอร์คงที่คืออะไร ตัวอย่างเช่นสิ่งที่เกี่ยวกับสถิติ $\sqrt{n} (\bar{x} - \mu)$ ที่ $\mu = \mu_0$ จะนำไปเป็นค่าเท่ากับค่าสมมุติฐานที่รู้จักกัน $\mu_0 \in \mathbb{R}$ Rฟังก์ชั่นนี้เป็นสถิติแน่นอนตราบใดที่มันถูกกำหนดไว้ในโดเมนที่ถูก จำกัด อย่างเหมาะสม ดังนั้นฟังก์ชั่น $H_0: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ กับ $H_0(x_1,...,x_n) = \sqrt{n} (\bar{x} - \mu_0)$ จะเป็นสถิติ แต่ฟังก์ชั่น $H: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}$ กับ $H(x_1,...,x_n, \mu) = \sqrt{n} (\bar{x} - \mu)$ จะไม่เป็นสถิติ

— Reinstate Monica
แหล่งที่มา

คำตอบที่มีประโยชน์มากการพิจารณาพารามิเตอร์สถิติพื้นฐานซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของสถิติที่ไม่เป็นประโยชน์อย่างยิ่ง

— Jake Kirsch

@CarlWitthoft ฉันไม่ได้รับคะแนนของคุณ หากเป็นฟังก์ชันของค่าที่สังเกตได้แสดงว่าเป็นสถิติ มันอาจจะเป็นฟังก์ชั่นของเซตย่อยที่เล็กกว่าของค่า; ที่ยังคงเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ในการพิจารณา หากคุณต้องการที่จะประเมินค่าเฉลี่ยและคุณมี

สังเกตคุณอาจยังมองไปที่

ถ้าค่าใช้จ่ายของการประมวลผลข้อมูลที่อยู่ในระดับสูงและค่าใช้จ่ายของข้อผิดพลาดที่มีขนาดเล็ก หรือด้วยเหตุผลบางอย่างคุณอาจต้องการพิจารณาการประมาณค่าเฉลี่ยสองค่าอย่างอิสระและอาจพิจารณา

10^{10}

$10^{10}$

(X_{1} + X_{2} + \dots + X_{1000}) / 1000

$(X_1+X_2+\dots+X_{1000})/1000$

และ

)

เหล่านี้ยังคงเป็นสถิติ

(X_{1} + \dots + X_{n / 2}) / (n / 2)

$(X_1+\dots+X_{n/2})/(n/2)$

(X_{n / 2 + 1} + \dots + X_{n}) / (n / 2)

$(X_{n/2+1}+\dots+X_n)/(n/2)$

— James Martin

ตัวอย่างเหล่านั้นดูเหมือนจริงสำหรับฉัน คุณกำลังพูดถึงแนวคิดของการแบ่งข้อมูลออกเป็นชุดฝึกอบรมและชุดตรวจสอบไม่ถูกต้องหรือไม่?

— James Martin

ฉันสับสนเล็กน้อยเช่นกัน ให้ฉันพยายามอธิบายจุด @CarlWitthoft มันยังคงเป็นสถิติในแง่ของนิยามทางคณิตศาสตร์ แต่ฉันเห็นกรณีที่ผู้ให้คำปรึกษาใช้ 'สถิติ' ของการสังเกต แต่โดยพลการตัดสินใจลบผลลัพธ์บางอย่าง (ที่ปรึกษาทำตลอดเวลาใช่มั้ย) นี่จะเป็น 'ถูกต้อง' ในแง่ที่ว่ามันยังคงเป็นฟังก์ชั่นในการสังเกตการณ์อย่างไรก็ตามวิธีที่สถิติอาจถูกนำเสนอและตีความว่ามีแนวโน้มจะไม่ถูกต้อง

— Jake Kirsch

@Carl Withhoft: สำหรับจุดที่คุณกำลังทำอยู่สิ่งสำคัญคือการแยกความแตกต่างระหว่างสถิติ (ซึ่งไม่จำเป็นต้องรวมข้อมูลทั้งหมดและอาจไม่ครอบคลุมข้อมูลทั้งหมดในตัวอย่าง) และสถิติที่เพียงพอ (ซึ่งจะครอบคลุมทั้งหมด ข้อมูลที่เกี่ยวกับพารามิเตอร์บางตัว) ทฤษฎีทางสถิติมีแนวความคิดที่พัฒนาแล้วเช่นความพอเพียงซึ่งสามารถจับความคิดที่ว่าสถิติรวมข้อมูลที่เกี่ยวข้องทั้งหมดไว้ในกลุ่มตัวอย่าง ไม่จำเป็นหรือต้องการการพยายามสร้างข้อกำหนดนั้นลงในคำจำกัดความของ "สถิติ"

— Reinstate Monica

ฉันตีความว่าเป็นการบอกว่าคุณควรตัดสินใจก่อนที่จะเห็นข้อมูลว่าคุณกำลังคำนวณสถิติอะไร ตัวอย่างเช่นหากคุณกำลังจะออกค่าใช้จ่ายคุณควรตัดสินใจก่อนที่จะเห็นข้อมูลที่ถือเป็น "ค่าผิดปกติ" หากคุณตัดสินใจหลังจากดูข้อมูลแล้วฟังก์ชันของคุณจะขึ้นอยู่กับข้อมูลนั้น

— Acccumulation
แหล่งที่มา

มันมีประโยชน์เช่นกัน! ดังนั้นการตัดสินใจว่าการสังเกตใดที่จะรวมไว้ในฟังก์ชั่นหลังจากรู้ว่าการสังเกตใดที่มีอยู่ซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันอธิบายในข้อคิดเห็นของฉันในคำตอบก่อนหน้านี้มากหรือน้อย

— Jake Kirsch

(+1) มันอาจจะคุ้มที่จะสังเกตว่าสิ่งนี้สำคัญเพราะถ้าคุณกำหนดกฎก่อนหน้าเกี่ยวกับสิ่งที่ถือเป็นจุดข้อมูลที่จะถูกทิ้งมันเป็น (ค่อนข้าง) ง่ายต่อการหาค่าการแจกแจงสำหรับสถิติ (เช่นค่าเฉลี่ยถูกตัดทอนเป็นต้น) .) เป็นการยากมากที่จะได้รับการแจกแจงสำหรับการวัดที่เกี่ยวข้องกับการทิ้งจุดข้อมูลด้วยเหตุผลที่ไม่ได้กำหนดไว้ล่วงหน้าอย่างถี่ถ้วน

— หน้าผา AB