ความหมายเชิงสัญชาตญาณของการมีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างบันทึกของตัวแปรสองตัวคืออะไร?

20

ฉันมีตัวแปรสองตัวที่ไม่แสดงความสัมพันธ์มากนักเมื่อพล็อตต่อกันอย่างที่เป็นอยู่ แต่ความสัมพันธ์เชิงเส้นที่ชัดเจนมากเมื่อฉันพล็อตบันทึกของตัวแปรแต่ละตัวจะมีความสัมพันธ์กัน

ดังนั้นฉันจะจบลงด้วยรูปแบบของประเภท:

\log (Y) = a \log (X) + b

$\log(Y) = a \log(X) + b$ ซึ่งยอดเยี่ยมในเชิงคณิตศาสตร์ แต่ดูเหมือนจะไม่มีค่าที่อธิบายได้ของตัวแบบเชิงเส้นปกติ

ฉันจะตีความรูปแบบดังกล่าวได้อย่างไร

regression correlation log

— ลูกของ Akaike
แหล่งที่มา

5

ฉันไม่มีอะไรสำคัญที่จะเพิ่มไปยังคำตอบที่มีอยู่ แต่ลอการิทึมในผลลัพธ์และตัวทำนายคือความยืดหยุ่น การค้นหาคำนั้นควรหาแหล่งข้อมูลที่ดีสำหรับการตีความความสัมพันธ์นั้นซึ่งไม่ง่ายนัก

— Upper_Case-Stop Harming Monica

ในความหมายของรูปแบบการเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรคือการเข้าสู่ระบบ (y) และตัวแปรอิสระคือการเข้าสู่ระบบ (x) เป็น: \%

% Δ = β_{1} % Δ x

$\%Δ=β_1\%Δx$

— Bob

3

ลิงค์บันทึกการใช้งานเสริมเป็นข้อกำหนดเฉพาะของ GLM เมื่อผลลัพธ์เป็นแบบไบนารี (แบบจำลองความเสี่ยง) และการได้รับสัมผัสนั้นเพิ่มขึ้นเช่นจำนวนคู่นอนกับการติดเชื้อเอชไอวี jstor.org/stable/2532454

— AdamO

2

@Alexis คุณสามารถเห็นจุดเหนียวถ้าคุณซ้อนทับเส้นโค้ง ลองเทียบกับcurve(exp(-exp(x)), from=-5, to=5) curve(plogis(x), from=-5, to=5)ความเว้าเร่งขึ้น หากความเสี่ยงของเหตุการณ์จากการเผชิญหน้าครั้งเดียวคือ

p

$p$ ดังนั้นความเสี่ยงหลังจากเหตุการณ์ที่สองควรเป็น

1 - (1 - p)^{2}

$1-(1-p)^2$ และต่อ ๆ ไปนั่นคือการบันทึกรูปร่างน่าจะไม่จับ การเปิดเผยที่สูงมากจะทำให้ผลลัพธ์การถดถอยโลจิสติกเบ้มากขึ้นอย่างไม่น่าเชื่อ (ผิดพลาดตามกฎความน่าจะเป็นก่อนหน้า) การจำลองบางอย่างจะแสดงสิ่งนี้ให้คุณ

— AdamO

1

@AdamO อาจมีกระดาษสอนให้เขียนด้วยการจำลองซึ่งกระตุ้นให้เลือกวิธีการเชื่อมโยงผลลัพธ์แบบแยกขั้วโดยเฉพาะจากทั้งสามรวมถึงสถานการณ์ที่มันทำและไม่ได้สร้างความแตกต่าง

— Alexis

27

คุณแค่ต้องยกกำลังทั้งสองข้างของสมการและคุณจะได้ความสัมพันธ์ที่อาจเกิดขึ้นซึ่งอาจสมเหตุสมผลสำหรับข้อมูลบางอย่าง

\log (Y) = a \log (X) + b

$\log(Y) = a\log(X) + b$

\exp (\log (Y)) = \exp (a \log (X) + b)

$\exp(\log(Y)) = \exp(a \log(X) + b)$

Y = e^{b} \cdot X^{a}

$Y = e^b\cdot X^a$

และเนื่องจากเป็นเพียงพารามิเตอร์ที่สามารถรับค่าบวกใด ๆ โมเดลนี้จึงเทียบเท่ากับ: $e^b$

Y = c \cdot X^{a}

$Y=c \cdot X^a$

ควรสังเกตว่าการแสดงออกของโมเดลควรรวมถึงคำผิดพลาดและการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเหล่านี้มีผลกระทบที่น่าสนใจ

\log (Y) = a \log (X) + b + ϵ

$\log(Y) = a \log(X) + b + \epsilon$

Y = e^{b} \cdot X^{a} \cdot \exp (ϵ)

$Y = e^b\cdot X^a\cdot \exp(\epsilon)$

นั่นคือโมเดลของคุณที่มีข้อผิดพลาดเพิ่มเติมที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับ OLS (ข้อผิดพลาดการกระจายแบบปกติที่มีความแปรปรวนแบบคงที่) เทียบเท่ากับแบบจำลองที่มีศักยภาพด้วยข้อผิดพลาดแบบหลายค่าซึ่งลอการิทึมจะตามหลังการแจกแจงปกติ

— Pere
แหล่งที่มา

3

OP อาจสนใจที่จะรู้ว่าการแจกจ่ายนี้มีชื่อบันทึกปกติ: en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution

— gardenhead

2

แล้วผลของความไม่เท่าเทียมของเซ่นล่ะ? โดยทั่วไปสำหรับ convex g,

E [g (X)] \geq g (E [X])

$E[g(X)]≥g(E[X])$

— สถิติ

14

คุณสามารถใช้ modelและคำนวณผลต่างรวมคุณจะได้ดังนี้: ซึ่งให้ $\log(Y)=a\log(X)+b$

\frac{1}{Y} d Y = a \frac{1}{X} d X

$\frac{1}YdY=a\frac{1}XdX$

\frac{d Y}{d X} \frac{X}{Y} = a

$\frac{dY}{dX}\frac{X}{Y}=a$

ดังนั้นการตีความหมายที่เรียบง่ายของสัมประสิทธิ์จะเป็นร้อยละการเปลี่ยนแปลงในสำหรับการเปลี่ยนแปลงร้อยละXนอกจากนี้มีความหมายว่าตัวแปรการเจริญเติบโตที่คงที่ส่วน ( ) อัตราการเจริญเติบโตของX $a$ $Y$ $X$ $Y$ $a$ $X$

— RScrlli
แหล่งที่มา

ดังนั้นถ้าพล็อตการบันทึกล็อกเป็นเส้นตรงนั่นจะบอกเป็นนัยว่าอัตราการเติบโตคงที่?

— Dimitriy V. Masterov

ไม่จริงที่อัตราการเจริญเติบโตของจะคงที่และถ้าหาก 0

Y

$Y$

a = 0

$a=0$

— RScrlli

ไม่เกินเวลาอัตราการเติบโตที่เกี่ยวกับการเจริญเติบโตใน x

— Dimitriy V. Masterov

การเรียงลำดับใหม่ไม่ได้ช่วยฉันจะลบมันออก

— Aksakal

1

@ DimitriyV.Masterov ตกลงแล้วตั้งแต่เป็นเส้นตรงในก็หมายความว่าตัวแปรเติบโตในส่วนคงที่ของอัตราการเจริญเติบโตของXมีคำตอบของฉันตามที่คุณคิดผิดหรือเปล่า?

\log (Y)

$\log(Y)$

\log (X)

$\log(X)$

Y

$Y$

X

$X$

— RScrlli

7

สัญชาตญาณให้ลำดับความสำคัญของตัวแปรดังนั้นเราจึงสามารถดูความสัมพันธ์ได้เนื่องจากลำดับของขนาดของตัวแปรทั้งสองนั้นสัมพันธ์กันเป็นเส้นตรง ตัวอย่างเช่นการเพิ่มการทำนายตามลำดับความสำคัญอาจเชื่อมโยงกับการเพิ่มขึ้นของลำดับการตอบสนองสามระดับ $\log$

เมื่อพล็อตโดยใช้พล็อตบันทึกการใช้งานเราหวังว่าจะเห็นความสัมพันธ์เชิงเส้น ใช้ตัวอย่างจากคำถามนี้เราสามารถตรวจสอบสมมติฐานตัวแบบเชิงเส้น:

เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ

— qwr
แหล่งที่มา

3

+1 สำหรับคำตอบที่เข้าใจง่ายสำหรับแนวคิดที่ไม่คุ้นเคย อย่างไรก็ตามรูปภาพที่คุณรวมไว้นั้นละเมิดการแปรปรวนของข้อผิดพลาดคงที่อย่างชัดเจน

— Frans Rodenburg

1

คำตอบนั้นถูกต้อง แต่การระบุแหล่งที่มาของการเขียนผิด รูปภาพไม่ควรนำมาประกอบกับ Google Images แต่อย่างน้อยก็ไปที่หน้าเว็บที่จะพบว่าสามารถหาได้เพียงแค่คลิกใน Google images

— Pere

@Pere ฉันไม่สามารถหาแหล่งที่มาของภาพต้นฉบับโชคไม่ดี (อย่างน้อยโดยใช้การค้นหาภาพกลับ)

— qwr

ดูเหมือนว่าจะมาจากไดอะแกรมแต่ทว่าเว็บไซต์นั้นหยุดทำงานและหน้าส่วนใหญ่ไม่ได้อยู่ใน Web Archive นอกเหนือจากหน้าแรกของมัน

— Henry

4

พิจารณาคำตอบใหม่โดย @Rscrill ด้วยข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่องตามจริงพิจารณา

\log (Y_{t}) = a \log (X_{t}) + b, \log (Y_{t - 1}) = a \log (X_{t - 1}) + b

$\log(Y_t) = a\log(X_t) + b,\;\;\; \log(Y_{t-1}) = a\log(X_{t-1}) + b$

⟹ \log (Y_{t}) - \log (Y_{t - 1}) = a [\log (X_{t}) - \log (X_{t - 1})]

$\implies \log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = a\left[\log(X_t)-\log(X_{t-1})\right]$

แต่

\log (Y_{t}) - \log (Y_{t - 1}) = \log (\frac{Y_{t}}{Y_{t - 1}}) \equiv \log (\frac{Y_{t - 1} + Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}) = \log (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})

$\log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = \log\left(\frac{Y_t}{Y_{t-1}}\right) \equiv \log\left(\frac{Y_{t-1}+\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) = \log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$ คือการเปลี่ยนแปลงร้อยละของระหว่างช่วงเวลาและหรืออัตราการเจริญเติบโตของพูด{t}} เมื่อมันมีขนาดเล็กกว่าเรามีการประมาณที่ยอมรับได้คือ $Y$ $t-1$ $t$ $Y_t$ $g_{Y_{t}}$ $0.1$

\log (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}) \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}} = g_{Y_{t}}

$\log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) \approx \frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}=g_{Y_{t}}$

ดังนั้นเราจึงได้รับ

g_{Y_{t}} \approx a g_{X_{t}}

$g_{Y_{t}}\approx ag_{X_{t}}$

ซึ่งตรวจสอบได้ในการศึกษาเชิงประจักษ์เกี่ยวกับการรักษาเชิงทฤษฎีของ @Rscrill

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

1

นี่อาจเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์จะเรียกว่าสัญชาตญาณ :)

— Richard Hardy

2

ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงระหว่างบันทึกเทียบเท่ากับอำนาจกฎหมายการพึ่งพาอาศัยกัน: ในฟิสิกส์ดังกล่าวหมายถึงพฤติกรรมที่ระบบเป็นขนาดฟรีหรือขนาดคงที่ ตัวอย่างเช่นถ้าเป็นระยะทางหรือเวลานี่หมายความว่าการพึ่งพาไม่สามารถกำหนดโดยความยาวลักษณะหรือระดับเวลา (เมื่อเทียบกับการสลายตัวแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล) เป็นผลให้ระบบดังกล่าวจัดแสดงนิทรรศการการพึ่งพาอาศัยระยะยาวของบนX

Y \sim X^{α}

$Y \sim X^\alpha$

X

$X$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— Itamar
แหล่งที่มา