หาก 'B มีแนวโน้มว่าจะได้รับ A' มากกว่า 'A ก็จะได้รับ B' มากกว่า

ฉันพยายามที่จะทำให้สัญชาตญาณชัดเจนขึ้น: "ถ้าทำให้มีแนวโน้มมากขึ้นก็ทำให้Aมีแนวโน้มมากขึ้น" เช่น$A$$B$$B$$A$

ให้$n(S)$แทนขนาดของพื้นที่ที่$A$และ$B$เป็นเช่นนั้น

อ้างสิทธิ์: $P(B|A)>P(B)$ดังนั้น$n(AB)/n(A) > n(B)/n(S)$

so $n(AB)/n(B) > n(A)/n(S)$

อันไหน$P(A|B)>P(A)$

ฉันเข้าใจคณิตศาสตร์ แต่ทำไมสิ่งนี้ถึงสมเหตุสมผล

ตามสัญชาตญาณตัวอย่างโลกแห่งความจริงเช่น Peter Flom ให้ประโยชน์มากที่สุดสำหรับบางคน อีกสิ่งที่ช่วยให้คนทั่วไปเป็นรูปภาพ ดังนั้นเพื่อให้ครอบคลุมฐานส่วนใหญ่ให้มีรูปภาพ

สิ่งที่เรามีตรงนี้คือไดอะแกรมพื้นฐานที่แสดงความน่าจะเป็น ครั้งแรกที่แสดงภาคแสดงอิสระสองที่ฉันจะเรียกว่าสีแดงและธรรมดา เป็นที่ชัดเจนว่าพวกเขามีความเป็นอิสระเพราะเส้นเรียงกัน สัดส่วนของพื้นที่ธรรมดาที่เป็นสีแดงเหมือนกับสัดส่วนของพื้นที่แถบที่เป็นสีแดงและยังเป็นสัดส่วนเดียวกันกับสัดส่วนทั้งหมดที่เป็นสีแดง

ในภาพที่สองเรามีการแจกแจงแบบไม่อิสระ โดยเฉพาะเราได้ขยายพื้นที่สีแดงธรรมดาบางส่วนไปยังพื้นที่แถบโดยไม่เปลี่ยนความจริงที่ว่าเป็นสีแดง เห็นได้ชัดว่าการเป็นสีแดงทำให้มีโอกาสมากขึ้น

ในขณะเดียวกันให้ดูที่ด้านธรรมดาของภาพนั้น เห็นได้ชัดว่าสัดส่วนของพื้นที่ธรรมดาที่เป็นสีแดงมากกว่าสัดส่วนของภาพทั้งหมดที่เป็นสีแดง นั่นเป็นเพราะพื้นที่ธรรมดาได้รับพื้นที่มากขึ้นและทั้งหมดเป็นสีแดง

ดังนั้นสีแดงทำให้มีโอกาสมากขึ้นและทำให้เป็นสีแดงมีแนวโน้มมากขึ้น

เกิดอะไรขึ้นที่นี่จริงเหรอ? A เป็นหลักฐานสำหรับ B (นั่นคือ A ทำให้ B มีโอกาสมากขึ้น) เมื่อพื้นที่ที่มีทั้ง A และ B นั้นใหญ่กว่าที่คาดการณ์ไว้หากพวกเขาเป็นอิสระ เนื่องจากจุดตัดระหว่าง A และ B เหมือนกับจุดตัดระหว่าง B และ A นั่นก็หมายความว่า B เป็นหลักฐานของ A

ข้อควรระวังประการหนึ่ง: แม้ว่าการโต้แย้งข้างต้นดูเหมือนจะสมมาตรกันมาก แต่ก็อาจไม่ใช่กรณีที่ความแข็งแกร่งของหลักฐานในทั้งสองทิศทางเท่ากัน ตัวอย่างเช่นพิจารณาภาพที่สามนี้ ที่นี่มีสิ่งเดียวกันเกิดขึ้น: สีแดงธรรมดากินอาณาเขตที่เคยเป็นสีแดงของแถบ ในความเป็นจริงมันทำงานเสร็จสมบูรณ์แล้ว!

โปรดทราบว่าจุดที่เป็นสีแดงทันทีที่รับประกันความชัดเจนเพราะไม่มีพื้นที่สีแดงเป็นแถบที่เหลือ อย่างไรก็ตามจุดที่เป็นที่ราบไม่รับประกันสีแดงเพราะยังมีบริเวณสีเขียวเหลืออยู่ อย่างไรก็ตามจุดในกล่องเป็นที่ราบเพิ่มโอกาสที่จะเป็นสีแดงและจุดที่เป็นสีแดงเพิ่มโอกาสที่มันเป็นธรรมดา ทั้งสองทิศทางบ่งชี้ว่ามีแนวโน้มมากกว่าโดยไม่เท่ากับจำนวนเดียวกัน

ฉันคิดว่าวิธีการทางคณิตศาสตร์ของการวางอาจช่วยได้ พิจารณาการอ้างสิทธิ์ในบริบทของกฎของเบย์:

อ้างสิทธิ์: ถ้าดังนั้น$P(B|A)>P(B)$$P(A|B) > P(A)$

กฎของเบย์:

สมมติว่าไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้น$P(B)$

ถ้า แล้ว1$P(B|A)>P(B)$$\frac{P(B|A)}{P(B)} > 1$

แล้วและอื่น ๆ(A)$\frac{P(A|B)}{P(A)} > 1$$P(A|B) > P(A)$

สิ่งนี้พิสูจน์ข้อเรียกร้องและข้อสรุปที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้น - ว่าสัดส่วนของความน่าจะเป็นจะต้องเท่ากัน

ฉันไม่ชอบคำว่า "ทำให้" ในคำถาม นั่นหมายถึงบางประเภทของเวรกรรมและเวรกรรมมักจะไม่กลับกัน

แต่คุณขอปรีชา ดังนั้นฉันคิดบางตัวอย่างเพราะดูเหมือนว่าจะจุดประกายสัญชาตญาณ เลือกหนึ่งที่คุณชอบ:

หากบุคคลนั้นเป็นผู้หญิงก็มีแนวโน้มที่บุคคลนั้นจะลงคะแนนให้กับพรรคประชาธิปัตย์
หากบุคคลลงคะแนนให้กับพรรคประชาธิปัตย์มีแนวโน้มว่าบุคคลนั้นจะเป็นผู้หญิงมากกว่า

หากชายคนหนึ่งเป็นศูนย์บาสเก็ตบอลมืออาชีพมีแนวโน้มสูงที่เขาจะสูงกว่า 2 เมตร
หากผู้ชายสูงเกิน 2 เมตรมีแนวโน้มว่าเขาจะเป็นศูนย์บาสเกตบอล

ถ้ามันมีอุณหภูมิมากกว่า 40 องศาเซลเซียสก็มีโอกาสมากขึ้นที่จะเกิดการดับ
หากมีการปิดบังอาจเป็นไปได้ว่ามากกว่า 40 องศา

และอื่น ๆ

หากต้องการเพิ่มคำตอบโดย @Dasherman นี้สิ่งที่มันอาจหมายถึงการที่จะบอกว่าทั้งสองเหตุการณ์จะเกี่ยวข้องหรืออาจจะเกี่ยวข้องหรือมีความสัมพันธ์ ? บางทีเราอาจนิยามเปรียบเทียบความน่าจะเป็นร่วมได้ (สมมติว่า$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(A)>0, \P(B)>0$):

แต่ตอนนี้ใช้นิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข $\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}>1$ เป็นผลมาจากเรื่องง่าย $\P(B \mid A) > \P(B)$. แต่$\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$ สมมาตรอย่างสมบูรณ์ $A$ และ $B$ (การสับเปลี่ยนสัญลักษณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น $A$ กับ $B$ และในทางกลับกัน) ออกจากสูตรเดียวกันดังนั้นจึงเทียบเท่ากับ $\P(A \mid B) > \P(A)$. ที่ให้ผลลัพธ์ ดังนั้นสัญชาตญาณที่คุณถามก็คือ$\eta(A,B)$ มีความสมมาตร $A$ และ $B$.

คำตอบโดย @gunes ให้ตัวอย่างที่เป็นประโยชน์และเป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้คนอื่น ๆ ในลักษณะเดียวกัน

ถ้า A ทำให้ B มีแนวโน้มมากขึ้นนี่หมายถึงเหตุการณ์นั้นเกี่ยวข้องกัน ความสัมพันธ์นี้ใช้ได้ทั้งสองทาง

ถ้า A ทำให้ B มีแนวโน้มมากขึ้นนั่นหมายความว่า A และ B มีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นพร้อมกัน นี่หมายความว่า B ยังทำให้ A มีแนวโน้มมากขึ้น

ถ้า A ทำให้ B มีแนวโน้มมากขึ้น A มีข้อมูลสำคัญที่ B สามารถอนุมานได้เอง แม้ว่าจะไม่ได้มีส่วนร่วมในปริมาณเท่ากัน แต่ข้อมูลนั้นไม่ได้สูญหายไป ในที่สุดเรามีสองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นของพวกเขาสนับสนุนซึ่งกันและกัน ฉันไม่สามารถจินตนาการถึงสถานการณ์ที่การเกิดขึ้นของ A เพิ่มโอกาสของ B และการเกิด B ลดโอกาสของ A. ตัวอย่างเช่นถ้าฝนตกพื้นจะเปียกด้วยความน่าจะเป็นสูงและถ้าพื้นเป็น เปียกไม่ได้หมายความว่าฝนจะตก แต่ก็ไม่ได้ลดโอกาส

คุณสามารถทำให้คณิตศาสตร์ใช้งานง่ายขึ้นโดยจินตนาการถึงตารางฉุกเฉิน

$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &a+b+c+d & a+c & b+d \\\hline B& a+b& a & b \\ \lnot B & c+d& c & d \\ \end{array} \end{array}$

• เมื่อไหร่ $A$ และ $B$ มีความเป็นอิสระจากนั้นความน่าจะเป็นร่วมกันเป็นผลิตภัณฑ์ของความน่าจะเป็นที่ขอบ

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a=xy & b=(1-x)y \\ \lnot B & 1-y& c=x (1-y) & d=(1-x)(1-y)\\ \end{array} \end{array}$$ ในกรณีเช่นนี้คุณจะมีความเป็นไปได้ที่จะมีเงื่อนไขและเงื่อนไขที่ใกล้เคียงกันเช่น $P (A) = P (A|B)$ และ $P (B)=P (B|A)$.

• เมื่อไม่มีความเป็นอิสระคุณก็จะเห็นว่านี่เป็นการทิ้งพารามิเตอร์ไว้ $a,b,c,d$ เดียวกัน (เป็นผลิตภัณฑ์ของระยะขอบ) แต่มีเพียงการปรับโดย $\pm z$

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a+z & b-z \\ \lnot B & 1-y& c-z & d+z\\ \end{array} \end{array}$$

  คุณสามารถเห็นสิ่งนี้ $z$ เป็นการทำลายความเท่าเทียมกันของความน่าจะเป็นที่มีเงื่อนไขและมีเงื่อนไข

  ทีนี้จากมุมมองนี้ (จากการทำลายความเท่าเทียมกัน) คุณจะเห็นได้ว่าการแตกครั้งนี้เกิดขึ้นในสองวิธี $P(A|B) \neq P(A)$ และ $P(B|A) \neq P(B)$. และความไม่เท่าเทียมจะเกิดขึ้นสำหรับทั้งสองกรณี$>$ เมื่อไหร่ $z$ เป็นบวกและ $<$ เมื่อไหร่ $z$ เป็นลบ

ดังนั้นคุณสามารถเห็นการเชื่อมต่อ $P(A|B) > P(A)$ แล้วก็ $P(B|A) > P(B)$ ผ่านความน่าจะเป็นร่วม $P(B,A) > P (A) P (B)$.

ถ้า A และ B มักเกิดขึ้นพร้อมกัน (ความน่าจะเป็นร่วมสูงกว่าผลคูณของความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้น) จากนั้นการสังเกตหนึ่งจะทำให้ความน่าจะเป็น (เงื่อนไข) ของอีกอันสูงขึ้น

สมมติว่าเราแสดงถึงอัตราส่วนความน่าจะเป็นหลังถึงเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นหลัง:

จากนั้นการแสดงออกทางเลือกของทฤษฎีบทของเบย์ (ดูโพสต์ที่เกี่ยวข้องนี้) คือ:

อัตราส่วนความน่าจะเป็นหลังถึงก่อนจะบอกเราว่าเหตุการณ์การโต้แย้งนั้นมีโอกาสมากขึ้นหรือน้อยลงโดยการเกิดเหตุการณ์การปรับเงื่อนไข (และโอกาสที่จะมากหรือน้อย) รูปแบบข้างต้นของทฤษฎีบทของเบย์แสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนความน่าจะเป็นหลังกับก่อนมีความสมมาตรในตัวแปร$^\dagger$ ตัวอย่างเช่นหากสังเกต $B$ ยี่ห้อ $A$มีโอกาสมากกว่าที่จะเป็นนิรนัยแล้วสังเกต$A$ ยี่ห้อ $B$มีโอกาสมากขึ้นกว่าที่มันเป็นเบื้องต้น

$^\dagger$โปรดทราบว่านี่คือกฎความน่าจะเป็นและดังนั้นจึงไม่ควรถูกตีความเหตุผล ความสมมาตรนี้เป็นจริงในแง่ของความน่าจะเป็นสำหรับการสังเกตแบบพาสซีฟอย่างไรก็ตามมันไม่เป็นความจริงเลยถ้าคุณเข้าไปแทรกแซงในระบบเพื่อเปลี่ยน$A$ หรือ $B$. ในกรณีหลังนั้นคุณจะต้องใช้การทำงานเชิงสาเหตุ (เช่น$\text{do}$ ผู้ประกอบการ) เพื่อค้นหาผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรปรับอากาศ

คุณได้รับการบอกว่าแซมเป็นผู้หญิงและคิมเป็นผู้ชายและหนึ่งในสองคนสวมแต่งหน้าและคนอื่นไม่ได้ คุณคิดว่าใครเป็นคนแต่งหน้า?

คุณได้รับแจ้งว่าแซมสวมใส่เครื่องสำอางและคิมไม่ได้และหนึ่งในสองคนนั้นคือผู้ชายและอีกคนเป็นผู้หญิง คุณจะเดาว่าใครคือผู้หญิง?

ดูเหมือนว่ามีความสับสนระหว่างสาเหตุและความสัมพันธ์ อันที่จริงคำแถลงคำถามนั้นเป็นเท็จสำหรับสาเหตุดังที่สามารถเห็นได้จากตัวอย่างเช่น:

• หากสุนัขสวมผ้าพันคอแสดงว่าเป็นสัตว์เลี้ยง

ต่อไปนี้ไม่เป็นความจริง:

• เห็นสัตว์เลี้ยงในบ้านสวมผ้าพันคอหมายความว่ามันเป็นสุนัข
• เห็นสุนัขในบ้านหมายถึงมันสวมผ้าพันคอ

อย่างไรก็ตามหากคุณกำลังคิดถึงความน่าจะเป็น (สหสัมพันธ์) ก็เป็นจริง:

• สุนัขที่สวมผ้าพันคอมีแนวโน้มที่จะเป็นสัตว์เลี้ยงมากกว่าสุนัขที่ไม่ได้สวมผ้าพันคอ (หรือสัตว์ทั่วไปในเรื่องนั้น)

ต่อไปนี้เป็นจริง:

• สัตว์ในบ้านที่สวมผ้าพันคอมักจะเป็นสุนัขมากกว่าสัตว์อื่น
• สุนัขในบ้านมีแนวโน้มที่จะสวมผ้าพันคอมากกว่าสุนัขที่ไม่ได้อยู่ในบ้าน

If this is not intuitive, think of a pool of animals including ants, dogs and cats. Dogs and cats can both be domesticated and wear scarfs, ants can't neither.

1. หากคุณเพิ่มความน่าจะเป็นของสัตว์เลี้ยงในสระว่ายน้ำของคุณมันจะหมายถึงคุณจะเพิ่มโอกาสที่จะเห็นสัตว์สวมผ้าพันคอ
2. หากคุณเพิ่มความน่าจะเป็นของแมวหรือสุนัขคุณจะเพิ่มโอกาสในการเห็นสัตว์สวมผ้าพันคอ

การอยู่ในบ้านคือการเชื่อมโยง "ความลับ" ระหว่างสัตว์และสวมผ้าพันคอและการเชื่อมโยง "ความลับ" จะใช้อิทธิพลของมันทั้งสองทาง

แก้ไข: ให้ตัวอย่างคำถามของคุณในความคิดเห็น:

ลองนึกภาพโลกที่สัตว์เป็น Cats หรือ Dogs พวกเขาสามารถเป็นบ้านหรือไม่ พวกเขาสามารถสวมผ้าพันคอหรือไม่ ลองนึกภาพว่ามีสัตว์ทั้งหมด 100 ตัวสุนัข 50 ตัวและแมว 50 ตัว

ตอนนี้ให้พิจารณาคำแถลง A ว่า: " สุนัขสวมผ้าพันคอสามเท่าน่าจะเป็นสัตว์เลี้ยงในบ้านมากกว่าสุนัขที่ไม่ได้สวมผ้าพันคอ "

หาก A ไม่เป็นความจริงคุณสามารถจินตนาการได้ว่าโลกนี้สามารถสร้างได้จากสุนัข 50 ตัวโดย 25 ในนั้นเป็นของที่บ้าน (ซึ่งมี 10 ผ้าพันคอที่สวมใส่) และ 25 ในนั้นเป็นป่า (ซึ่งมี 10 ผ้าพันคอที่สวมใส่) สถิติเหมือนกันสำหรับแมว

จากนั้นถ้าคุณเห็นสัตว์เลี้ยงในโลกนี้มันจะมีโอกาส 50% ที่จะเป็นสุนัข (25/50, 25 สุนัขจาก 50 สัตว์ในบ้าน) และ40%ที่มีผ้าพันคอ (20/50, 10 สุนัข) และแมว 10 ตัวจากสัตว์เลี้ยงในบ้าน 50 ตัว)

อย่างไรก็ตามถ้าหาก A เป็นเรื่องจริงคุณมีโลกที่มีสุนัข 50 ตัว 25 ในนั้น ( 25 ที่สวมผ้าพันคอ ) และ 25 ในนั้นเป็นป่า (ซึ่งมี5 ผ้าพันคอสวมใส่ ) แมวรักษาสถิติเก่า: 50 แมว 25 ในนั้นเป็นของบ้าน (ซึ่งมี 10 ผ้าพันคอสวมใส่) และ 25 ของมันเป็นป่า (ซึ่งมี 10 ผ้าพันคอสวมใส่)

จากนั้นถ้าคุณเห็นสัตว์เลี้ยงในโลกนี้มันจะมีโอกาส 50% เหมือนกันในการเป็นสุนัข (25/50, 25 สุนัขจาก 50 สัตว์ในบ้าน) แต่จะมี50% (25/50, 15 สุนัขและ 10 แมวจากสัตว์เลี้ยงในบ้าน 50 ตัว)

As you can see, if you say that A is true, then if you saw a domesticated animal wearing a scarf in the world, it would be more likely a Dog (60% or 15/25) than any other animal (in this case Cat, 40% or 10/25).

มีความสับสนระหว่างสาเหตุและความสัมพันธ์ ดังนั้นฉันจะให้คุณตัวอย่างที่ตรงข้ามที่แน่นอนเกิดขึ้น

บางคนร่ำรวยบางคนยากจน คนจนบางคนได้รับผลประโยชน์ซึ่งทำให้พวกเขายากจนลง แต่คนที่ได้รับผลประโยชน์ยังมีแนวโน้มที่จะเป็นคนจนถึงแม้จะมีประโยชน์ก็ตาม

หากคุณได้รับผลประโยชน์นั่นจะทำให้มีโอกาสมากขึ้นที่คุณจะสามารถซื้อตั๋วหนังได้ ("ทำให้เป็นไปได้มากขึ้น" หมายถึงเวรกรรม) แต่ถ้าคุณสามารถซื้อตั๋วโรงภาพยนตร์ได้นั่นทำให้มีโอกาสน้อยที่คุณจะอยู่ในกลุ่มคนที่ยากจนพอที่จะได้รับผลประโยชน์ดังนั้นหากคุณสามารถซื้อตั๋วโรงภาพยนตร์ได้คุณก็จะมีโอกาสได้รับผลประโยชน์น้อยลง

The intuition becomes clear if you look at the stronger statement:

If A implies B, then B makes A more likely.

Implication:
  A true  -> B true
  A false -> B true or false
Reverse implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false

Obviously A is more likely to be true if B is known to be true as well, because if B was false then so would be A. The same logic applies to the weaker statement:

If A makes B more likely, then B makes A more likely.

Weak implication:
  A true  -> B true or (unlikely) false
  A false -> B true or false
Reverse weak implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false or (unlikely) true

Suppose Alice has a higher free throw rate than average. Then the probability of a shot being successful, given that it's attempted by Alice, is greater than the probability of a shot being successful in general $P(successful|Alice)>P(successful)$. We can also conclude that Alice's share of successful shots is greater than her share of shots in general: $P(Alice|successful)>P(Alice)$.

Or suppose there's a school that has 10% of the students in its school district, but 15% of the straight-A students. Then clearly the percentage of students at that school who are straight-A students is higher than the district-wide percentage.

Another way of looking at it: A is more likely, given B, if $P(A\&B)>P(A)P(B)$, and that is completely symmetrical with respect to $A$ and $B$.