การตีความแบบจำลอง ARIMA

ฉันมีคำถามเกี่ยวกับแบบจำลอง ARIMA สมมติว่าฉันมีอนุกรมเวลาที่ฉันต้องการคาดการณ์และแบบจำลองดูเหมือนจะเป็นวิธีที่ดีในการทำแบบฝึกหัดการพยากรณ์ ตอนนี้รั้ง 's หมายความว่าชุดของฉันในวันนี้เป็นผลมาจากเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก่อน มันสมเหตุสมผลแล้ว แต่การตีความข้อผิดพลาดคืออะไร? สิ่งที่เหลือก่อนหน้าของฉัน (ฉันจะคำนวณได้อย่างไร) มีอิทธิพลต่อมูลค่าของซีรี่ส์ของฉันในวันนี้ ส่วนที่เหลือล้าหลังจะคำนวณได้อย่างไรในการถดถอยนี้เนื่องจากเป็นผลิตภัณฑ์ / ส่วนที่เหลือของการถดถอย $Y_t$ $\text{ARIMA}(2,2)$

Δ Y_{t} = α_{1} Δ Y_{t - 1} + α_{2} Δ Y_{t - 2} + ν_{t} + θ_{1} ν_{t - 1} + θ_{2} ν_{t - 2}

$\Delta Y_t = \alpha_1 \Delta Y_{t-1} + \alpha_2 \Delta Y_{t-2} + \nu_{t} + \theta_1 \nu_{t-1} + \theta_2 \nu_{t-2}$

Y

$Y$

regression time-series interpretation

— กาเบรียล
แหล่งที่มา

ผมคิดว่าคุณต้องจำไว้ว่าแบบจำลอง ARIMA มีatheoreticรุ่นดังนั้นกฎระเบียบปกติของการแปลความหมายของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยประมาณไม่เคร่งครัดนำไปใช้ในทางเดียวกัน รุ่น ARIMA มีคุณสมบัติบางอย่างที่ต้องระวัง ตัวอย่างเช่นยิ่งค่าของใน AR (1) ลดลงเท่าใดก็ยิ่งมีอัตราการคอนเวอร์เจนซ์เร็วขึ้น แต่ลองยกตัวอย่างรุ่น AR (2) ไม่ใช่ว่าทุกรุ่น AR (2) จะเหมือนกัน! ตัวอย่างเช่นหากเงื่อนไขเป็นที่พอใจแล้ว AR (2) แสดงพฤติกรรมเป็นระยะ ๆ หลอกและเป็นผลการคาดการณ์ของมันคือรอบสุ่ม

α_{1}

$\alpha_{1}$

(α_{1}^{2} + 4 α_{2} < 0)

$(\alpha_{1}^{2}+4\alpha_{2}<0)$

— แกรมวอลช์

(ต่อ ... ) ในลักษณะที่ค่อนข้างคล้ายกันเมื่อจัดการกับ autoregressions เวกเตอร์คนหนึ่งมีแนวโน้มที่จะตีความฟังก์ชั่นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น (IRFs) มากกว่าค่าสัมประสิทธิ์โดยประมาณ; ค่าสัมประสิทธิ์มักจะยากเกินกว่าที่จะตีความ แต่โดยปกติแล้วความรู้สึกสามารถทำจาก IRF ได้ จากความอยากรู้อยากเห็นคุณเคยพบบทความมากมายที่ผู้เขียนให้ความสนใจมากในการตีความสัมประสิทธิ์ในแบบจำลอง ARIMA หรือไม่?

— แกรมวอลช์

ดูเหมือนจะมีปัญหาเกี่ยวกับสัญกรณ์ " " ไม่ถูกต้องเนื่องจาก ARIMA รุ่นมีสามคำสำหรับแต่ละองค์ประกอบ AR / I / MA ตามลำดับในขณะที่รุ่น ARMA มีสอง (เช่น ) - แต่คุณดูเหมือนจะเป็นครั้งแรก differencing ซึ่งขอแนะนำให้คุณหมายถึง(2,1,2) โปรดแก้ไขเพื่อแสดงเจตนาของคุณ

ARIMA (2, 2)

$\text{ARIMA}(2,2)$

(p, d, q)

$(p,d,q)$

ARMA (2, 2)

$\text{ARMA}(2,2)$

ARIMA (2, 1, 2)

$\text{ARIMA}(2,1,2)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b ผมจำได้ถามในสิ่งเดียวกันในคำถามอื่น ปรากฎว่าเรามีการเรียงลำดับแปลก ๆ คำถามปัจจุบันและคำถามที่เชื่อมโยงกันมีความคล้ายคลึงกันมาก

— แกรมวอลช์

ฉันคิดว่าคุณต้องจำไว้ว่าแบบจำลอง ARIMA นั้นเป็นแบบจำลองที่ไม่มีพระเจ้าดังนั้นวิธีปกติในการตีความค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยโดยประมาณนั้นไม่ได้นำไปใช้กับแบบจำลอง ARIMA จริงๆ

เพื่อที่จะตีความ (หรือเข้าใจ) แบบจำลอง ARIMA โดยประมาณเราจะเข้าใจถึงคุณลักษณะต่าง ๆ ที่แสดงโดยแบบจำลอง ARIMA ทั่วไปจำนวนมาก

เราสามารถสำรวจคุณลักษณะเหล่านี้ได้โดยการตรวจสอบประเภทของการพยากรณ์ที่ผลิตโดยแบบจำลอง ARIMA ที่แตกต่างกัน นี่เป็นวิธีการหลักที่ฉันได้ดำเนินการด้านล่าง แต่ทางเลือกที่ดีคือดูฟังก์ชั่นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นหรือเส้นทางเวลาแบบไดนามิกที่เกี่ยวข้องกับโมเดล ARIMA ที่แตกต่างกัน (หรือสมการความแตกต่างสุ่ม) ฉันจะพูดเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้ในตอนท้าย

รุ่น AR (1)

ลองพิจารณารุ่น AR (1) สักครู่ ในโมเดลนี้เราสามารถพูดได้ว่าค่าของที่ต่ำกว่านั้นเร็วกว่าคืออัตราการบรรจบกัน (กับค่าเฉลี่ย) เราสามารถพยายามที่จะเข้าใจทุกแง่มุมของ AR (1) รุ่นนี้โดยการตรวจสอบลักษณะของการคาดการณ์สำหรับชุดเล็ก ๆ ของจำลอง AR (1) รุ่นที่มีค่าที่แตกต่างกันสำหรับ{1} $\alpha_{1}$ $\alpha_{1}$

ชุดของแบบจำลอง AR (1) สี่แบบที่เราจะพูดคุยกันสามารถเขียนเป็นสัญลักษณ์ทางพีชคณิตเป็น: โดยที่เป็นค่าคงที่และส่วนที่เหลือของสัญกรณ์ดังต่อไปนี้จาก OP ที่สามารถมองเห็นแต่ละคนแตกต่างเฉพาะรุ่นที่เกี่ยวกับค่าของ{1}

Y_{เสื้อ} = ค + 0.95 Y_{เสื้อ - 1} + ν_{เสื้อ} (1) Y_{เสื้อ} = ค + 0.8 Y_{เสื้อ - 1} + ν_{เสื้อ} (2) Y_{เสื้อ} = ค + 0.5 Y_{เสื้อ - 1} + ν_{เสื้อ} (3) Y_{เสื้อ} = ค + 0.4 Y_{เสื้อ - 1} + ν_{เสื้อ} (4)

$\begin{equation} Y_{t} = C + 0.95 Y_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (1)\\ Y_{t} = C + 0.8 Y_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2)\\ Y_{t} = C + 0.5 Y_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (3)\\ Y_{t} = C + 0.4 Y_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (4) \end{equation}$

C

$C$

α_{1}

$\alpha_{1}$

ในกราฟด้านล่างนี้ฉันได้พล็อตการคาดการณ์ที่ไม่อยู่ในตัวอย่างสำหรับรุ่น AR (1) ทั้งสี่นี้ จะเห็นได้ว่าการคาดการณ์สำหรับโมเดล AR (1) ที่มีมาบรรจบกันในอัตราที่ช้าลงเมื่อเทียบกับรุ่นอื่น ๆ การคาดการณ์สำหรับโมเดล AR (1) ที่มีรวมตัวในอัตราที่เร็วกว่าแบบอื่น $\alpha_{1} = 0.95$ $\alpha_{1} = 0.4$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

หมายเหตุ: เมื่อเส้นสีแดงเป็นแนวนอนจะถึงค่าเฉลี่ยของอนุกรมที่จำลองแล้ว

แบบจำลอง MA (1)

ตอนนี้ขอพิจารณาสี่ MA (1) รุ่นที่มีค่าแตกต่างกันสำหรับ{1} แบบจำลองสี่แบบที่เราจะพูดถึงสามารถเขียนเป็น: $\theta_{1}$

Y_{เสื้อ} = ค + 0.95 ν_{เสื้อ - 1} + ν_{เสื้อ} (5) Y_{เสื้อ} = ค + 0.8 ν_{เสื้อ - 1} + ν_{เสื้อ} (6) Y_{เสื้อ} = ค + 0.5 ν_{เสื้อ - 1} + ν_{เสื้อ} (7) Y_{เสื้อ} = ค + 0.4 ν_{เสื้อ - 1} + ν_{เสื้อ} (8)

$\begin{equation} Y_{t} = C + 0.95 \nu_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (5)\\ Y_{t} = C + 0.8 \nu_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (6)\\ Y_{t} = C + 0.5 \nu_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (7)\\ Y_{t} = C + 0.4 \nu_{t-1} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (8) \end{equation}$

ในกราฟด้านล่างฉันได้วางแผนการคาดการณ์ที่ไม่อยู่ในกลุ่มตัวอย่างสำหรับรุ่น MA (1) สี่แบบที่แตกต่างกัน ดังที่กราฟแสดงให้เห็นว่าพฤติกรรมของการคาดการณ์ในทั้งสี่กรณีมีความคล้ายคลึงกันอย่างชัดเจน การบรรจบกันอย่างรวดเร็ว (เชิงเส้น) กับค่าเฉลี่ย โปรดสังเกตว่ามีความหลากหลายน้อยลงในการเปลี่ยนแปลงของการคาดการณ์เหล่านี้เมื่อเทียบกับแบบจำลอง AR (1)

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

แบบจำลอง AR (2)

สิ่งต่าง ๆ น่าสนใจยิ่งขึ้นเมื่อเราเริ่มพิจารณาแบบจำลอง ARIMA ที่ซับซ้อนมากขึ้น ยกตัวอย่างเช่นรุ่น AR (2) นี่เป็นเพียงขั้นตอนเล็ก ๆ จากโมเดล AR (1) ใช่ไหม เราอาจจะคิดแบบนั้น แต่พลวัตของโมเดล AR (2) นั้นค่อนข้างหลากหลายในแบบที่เราจะเห็นในชั่วขณะหนึ่ง

มาสำรวจแบบจำลอง AR (2) สี่แบบ:

Y_{เสื้อ} = ค + 1.7 Y_{เสื้อ - 1} - 0.8 Y_{เสื้อ - 2} + ν_{เสื้อ} (9) Y_{เสื้อ} = ค + 0.9 Y_{เสื้อ - 1} - 0.2 Y_{เสื้อ - 2} + ν_{เสื้อ} (10) Y_{เสื้อ} = ค + 0.5 Y_{เสื้อ - 1} - 0.2 Y_{เสื้อ - 2} + ν_{เสื้อ} (11) Y_{เสื้อ} = ค + 0.1 Y_{เสื้อ - 1} - 0.7 Y_{เสื้อ - 2} + ν_{เสื้อ} (12)

$\begin{equation} Y_{t} = C + 1.7 Y_{t-1} -0.8 Y_{t-2} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (9)\\ Y_{t} = C + 0.9 Y_{t-1} -0.2 Y_{t-2} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (10)\\ Y_{t} = C + 0.5 Y_{t-1} -0.2 Y_{t-2} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (11)\\ Y_{t} = C + 0.1 Y_{t-1} -0.7 Y_{t-2} + \nu_{t} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (12) \end{equation}$

การคาดการณ์ที่ไม่อยู่ในตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับแต่ละรุ่นเหล่านี้จะแสดงในกราฟด้านล่าง เป็นที่ชัดเจนว่าพวกเขาต่างกันอย่างมีนัยสำคัญและพวกเขาก็ค่อนข้างแตกต่างกันมากเมื่อเทียบกับการคาดการณ์ที่เราได้เห็นข้างต้น - ยกเว้นการคาดการณ์ของรุ่น 2 (พล็อตขวาบน) ซึ่งมีลักษณะคล้ายกับที่สำหรับ AR (1) แบบ

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

จุดสำคัญที่นี่คือไม่ใช่ว่าทุกรุ่น AR (2) มีการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน! ตัวอย่างเช่นหากเงื่อนไข เป็นที่พอใจโมเดล AR (2) จะแสดงพฤติกรรมแบบเป็นระยะและหลอก ดังนั้นการคาดการณ์จะปรากฏเป็นรอบสุ่ม ในทางกลับกันหากเงื่อนไขนี้ไม่เป็นที่พอใจรอบสุ่มจะไม่ปรากฏในการคาดการณ์ แต่การคาดการณ์จะคล้ายกับแบบจำลอง AR (1) มากกว่า

α_{1}^{2} + 4 α_{2} < 0,

$\begin{equation} \alpha_{1}^{2}+4\alpha_{2} < 0, \end{equation}$

เป็นที่น่าสังเกตว่าเงื่อนไขดังกล่าวมาจากการแก้ปัญหาทั่วไปจนถึงรูปแบบเอกพันธ์ของสมการผลต่างเชิงเส้นแบบอัตโนมัติแบบอิสระและแบบลำดับที่สอง (มีรากที่ซับซ้อน) หากสิ่งนี้เป็นสิ่งแปลกปลอมสำหรับคุณฉันแนะนำทั้งบทที่ 1 ของ Hamilton (1994) และบทที่ 20 ของ Hoy et al (2001)

การทดสอบเงื่อนไขข้างต้นสำหรับโมเดล AR สี่ตัว (2) ให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

(1.7)^{2} + 4 (- 0.8) = - 0.31 < 0 (13) (0.9)^{2} + 4 (- 0.2) = 0.01 > 0 (14) (0.5)^{2} + 4 (- 0.2) = - 0.55 < 0 (15) (0.1)^{2} + 4 (- 0.7) = - 2.54 < 0 (16)

$\begin{equation} (1.7)^{2} + 4 (-0.8) = -0.31 < 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (13)\\ (0.9)^{2} + 4 (-0.2) = 0.01 > 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (14)\\ (0.5)^{2} + 4 (-0.2) = -0.55 < 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (15)\\ (0.1)^{2} + 4 (-0.7) = -2.54 < 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (16) \end{equation}$

ตามที่คาดไว้จากการคาดการณ์ที่วางแผนไว้สภาพเป็นที่พึงพอใจสำหรับแต่ละรุ่นทั้งสี่ยกเว้นรุ่น 2 เรียกคืนจากกราฟการคาดการณ์ของรุ่น 2 ประพฤติ ("ปกติ") คล้ายกับการคาดการณ์ของโมเดล AR (1) การคาดการณ์ที่เกี่ยวข้องกับรุ่นอื่น ๆ ประกอบด้วยรอบ

แอพลิเคชัน - แบบจำลองอัตราเงินเฟ้อ

ตอนนี้เรามีพื้นหลังอยู่บ้างแล้วลองตีความรุ่น AR (2) ในแอปพลิเคชัน พิจารณาตัวแบบต่อไปนี้สำหรับอัตราเงินเฟ้อ ( ): นิพจน์ตามธรรมชาติที่เชื่อมโยงกับแบบจำลองดังกล่าวจะเป็นอย่างไร: "เงินเฟ้อในวันนี้ขึ้นอยู่กับระดับเงินเฟ้อเมื่อวานนี้และระดับเงินเฟ้อในวันก่อน" $\pi_{t}$

π_{เสื้อ} = ค + α_{1} π_{เสื้อ - 1} + α_{2} π_{เสื้อ - 2} + ν_{เสื้อ} .

$\begin{equation} \pi_{t} = C + \alpha_{1} \pi_{t-1} + \alpha_{2} \pi_{t-2} + \nu_{t}. \end{equation}$ . ตอนนี้ฉันจะไม่โต้แย้งการตีความเช่นนี้ แต่ฉันขอแนะนำว่าควรใช้ความระมัดระวังและเราควรขุดให้ลึกลงไปอีกนิดเพื่อประดิษฐ์การตีความที่เหมาะสม ในกรณีนี้เราสามารถถามได้ว่าเงินเฟ้อเกี่ยวข้องกับระดับก่อนหน้านี้ในระดับใด มีวงจรไหม ถ้าเป็นเช่นนั้นมีกี่รอบ เราสามารถพูดอะไรบางอย่างเกี่ยวกับยอดเขาและรางน้ำได้ไหม การคาดการณ์มาบรรจบกับค่าเฉลี่ยอย่างรวดเร็วแค่ไหน? และอื่น ๆ

คำถามเหล่านี้เป็นคำถามที่เราสามารถถามได้เมื่อพยายามตีความแบบจำลอง AR (2) และอย่างที่คุณเห็นมันไม่ตรงไปตรงมากับการประมาณค่าสัมประสิทธิ์และการพูดว่า"การเพิ่มขึ้น 1 หน่วยในตัวแปรนี้เกี่ยวข้องกับสิ่งนั้น เพิ่มขึ้นหลายหน่วยในตัวแปรตาม " - ตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้แนบเงื่อนไขceteris paribusกับคำสั่งนั้นแน่นอน

โปรดจำไว้ว่าในการสนทนาของเราเราได้สำรวจเฉพาะรุ่น AR (1), MA (1) และ AR (2) เรายังไม่ได้ดูการเปลี่ยนแปลงของรุ่นผสม ARMA และรุ่น ARIMA ที่เกี่ยวข้องกับความล่าช้าที่สูงขึ้น

เพื่อแสดงให้เห็นว่ามันยากแค่ไหนที่จะตีความแบบจำลองที่อยู่ในหมวดหมู่นั้นลองนึกภาพอีกแบบเงินเฟ้อ - ARMA (3,1) กับจำกัด ให้เป็นศูนย์: $\alpha_{2}$

π_{เสื้อ} = ค + α_{1} π_{เสื้อ - 1} + α_{3} π_{เสื้อ - 3} + θ_{1} ν_{เสื้อ - 1} + ν_{เสื้อ} .

$\begin{equation} \pi_{t} = C + \alpha_{1} \pi_{t-1} + \alpha_{3} \pi_{t-3} + \theta_{1}\nu_{t-1} + \nu_{t}. \end{equation}$

พูดสิ่งที่คุณต้องการ แต่ที่นี่จะดีกว่าถ้าคุณพยายามทำความเข้าใจพลวัตของระบบ ก่อนหน้านี้เราสามารถดูและคาดการณ์สิ่งที่แบบจำลองสร้างขึ้นได้ แต่วิธีทางเลือกที่ฉันกล่าวถึงตอนต้นของคำตอบนี้คือการดูที่ฟังก์ชั่นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นหรือเส้นทางเวลาที่เกี่ยวข้องกับระบบ

นี่จะนำฉันไปสู่ส่วนถัดไปของคำตอบของฉันซึ่งเราจะหารือเกี่ยวกับฟังก์ชั่นตอบสนองต่อแรงกระตุ้น

ฟังก์ชั่นตอบสนองต่อแรงกระตุ้น

ผู้ที่คุ้นเคยกับ Vector autoregressions (VARs) จะทราบว่าคนหนึ่งมักจะพยายามที่จะเข้าใจโมเดล VAR โดยประมาณโดยการตีความฟังก์ชันการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น แทนที่จะพยายามตีความค่าสัมประสิทธิ์โดยประมาณซึ่งมักตีความยากเกินไป

วิธีการเดียวกันนี้สามารถนำมาใช้ได้เมื่อพยายามทำความเข้าใจกับโมเดลของ ARIMA นั่นคือแทนที่จะพยายามทำความเข้าใจกับข้อความที่ซับซ้อนเช่น"เงินเฟ้อของวันนี้ขึ้นอยู่กับเงินเฟ้อของเมื่อวานและเงินเฟ้อเมื่อสองเดือนที่แล้ว แต่ไม่ใช่ในสัปดาห์ที่แล้ว!" เราแทนพล็อตฟังก์ชั่นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นและพยายามเข้าใจสิ่งนั้น

แอปพลิเคชั่น - ตัวแปรมาโครสี่ตัว

สำหรับตัวอย่างนี้ (จาก Leamer (2010)) ลองมาพิจารณาแบบจำลอง ARIMA สี่แบบจากตัวแปรทางเศรษฐศาสตร์มหภาคสี่ตัว การเติบโตของ GDP อัตราเงินเฟ้ออัตราการว่างงานและอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น แบบจำลองทั้งสี่ได้รับการประเมินและสามารถเขียนเป็น: โดยที่หมายถึงการเติบโตของ GDP ณ เวลา ,หมายถึงเงินเฟ้อหมายถึงอัตราการว่างงานและ

\begin{array}{rcl} Y_{เสื้อ} & = & 3.20 + 0.22 Y_{เสื้อ - 1} + 0.15 Y_{เสื้อ - 2} + ν_{เสื้อ} \\ π_{เสื้อ} & = & 4.10 + 0.46 π_{เสื้อ - 1} + 0.31 π_{เสื้อ - 2} + 0.16 π_{เสื้อ - 3} + 0.01 π_{เสื้อ - 4} + ν_{เสื้อ} \\ {ยู}_{เสื้อ} & = & 6.2 + 1.58 {ยู}_{เสื้อ - 1} - 0.64 {ยู}_{เสื้อ - 2} + ν_{เสื้อ} \\ R_{เสื้อ} & = & 6.0 + 1.18 R_{เสื้อ - 1} - 0.23 R_{เสื้อ - 2} + ν_{เสื้อ} \end{array}

$\begin{eqnarray} Y_{t} &=& 3.20 + 0.22 Y_{t-1} + 0.15 Y_{t-2} + \nu_{t}\\ \pi_{t} &=& 4.10 + 0.46 \pi_{t-1} + 0.31\pi_{t-2} + 0.16\pi_{t-3} + 0.01\pi_{t-4} + \nu_{t}\\ u_{t} &=& 6.2+ 1.58 u_{t-1} - 0.64 u_{t-2} + \nu_{t}\\ r_{t} &=& 6.0 + 1.18 r_{t-1} - 0.23 r_{t-2} + \nu_{t} \end{eqnarray}$

Y_{t}

$Y_{t}$

t

$t$

π

$\pi$

u

$u$

r

$r$ หมายถึงอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น (คลัง 3 เดือน)

สมการแสดงให้เห็นว่าการเติบโตของ GDP อัตราการว่างงานและอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นได้รับการจำลองเป็นกระบวนการ AR (2) ในขณะที่อัตราเงินเฟ้อเป็นแบบจำลองเป็นกระบวนการ AR (4)

แทนที่จะพยายามตีความค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละสมการลองทำฟังก์ชั่นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น (IRFs) และตีความแทน กราฟด้านล่างแสดงฟังก์ชั่นตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่เกี่ยวข้องกับแต่ละรุ่น

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

อย่าใช้สิ่งนี้เป็นมาสเตอร์คลาสในการตีความ IRF - คิดว่ามันเหมือนกับการแนะนำพื้นฐาน - แต่อย่างไรก็ตามเพื่อช่วยเราตีความ IRF เราจะต้องคุ้นเคยกับแนวคิดสองประการ โมเมนตัมและติดตา

แนวคิดสองข้อเหล่านี้ถูกกำหนดใน Leamer (2010) ดังนี้:

โมเมนตัม : โมเมนตัมเป็นแนวโน้มที่จะดำเนินการต่อไปในทิศทางเดียวกัน ผลกระทบของโมเมนตัมสามารถชดเชยแรงถดถอย (การลู่เข้าหากัน) ไปที่ค่าเฉลี่ยและสามารถอนุญาตให้ตัวแปรย้ายออกจากค่าเฉลี่ยในอดีตได้ในบางเวลา

การคงอยู่ : ตัวแปรการคงอยู่จะวนไปรอบ ๆ ตำแหน่งที่มันอยู่และมาบรรจบกันอย่างช้าๆเฉพาะกับค่าเฉลี่ยในอดีต

เมื่อติดตั้งความรู้นี้เราจึงถามคำถามว่าสมมติว่าตัวแปรอยู่ที่ค่าเฉลี่ยในอดีตและได้รับการกระตุ้นหนึ่งหน่วยชั่วคราวในช่วงเวลาเดียวตัวแปรจะตอบสนองอย่างไรในช่วงอนาคต นี่คล้ายกับการถามคำถามที่เราถามไปก่อนหน้านี้เช่นการคาดการณ์มีวงจรหรือไม่ , วิธีการอย่างรวดเร็วไม่คาดการณ์มาบรรจบกันเพื่อหมายถึงอะไร ฯลฯ

ในที่สุดเราสามารถตีความ IRF ได้

จากการที่หน่วยหนึ่งตกใจอัตราการว่างงานและอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น (คลัง 3 เดือน) จะดำเนินการต่อไปจากค่าเฉลี่ยในอดีตของพวกเขา นี่คือผลกระทบโมเมนตัม IRF ยังแสดงให้เห็นว่าอัตราการว่างงานสูงกว่าอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นมากกว่า

เรายังเห็นว่าตัวแปรทั้งหมดกลับไปสู่ค่าเฉลี่ยในอดีต (ไม่มี "ระเบิด") แม้ว่าพวกเขาแต่ละคนจะทำสิ่งนี้ในอัตราที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นการเติบโตของ GDP กลับสู่ค่าเฉลี่ยในอดีตหลังจากผ่านไปประมาณ 6 ช่วงเวลาหลังจากการตกตะลึงอัตราการว่างงานกลับสู่ค่าเฉลี่ยในอดีตหลังจากผ่านไปประมาณ 18 งวด แต่อัตราเงินเฟ้อและดอกเบี้ยระยะสั้นใช้เวลานานกว่า 20 ช่วงเพื่อกลับสู่ค่าเฉลี่ยในอดีต ในแง่นี้การเติบโตของจีดีพีเป็นตัวแปรที่น้อยที่สุดของตัวแปรทั้งสี่ในขณะที่อัตราเงินเฟ้ออาจกล่าวได้ว่าเป็นแบบถาวร

ฉันคิดว่ามันเป็นข้อสรุปที่ยุติธรรมที่จะบอกว่าเราจัดการ (อย่างน้อยก็บางส่วน) เพื่อให้เข้าใจถึงสิ่งที่แบบจำลอง ARIMA สี่แบบกำลังบอกเราเกี่ยวกับตัวแปรแมโครทั้งสี่ตัว

ข้อสรุป

แทนที่จะพยายามตีความค่าสัมประสิทธิ์โดยประมาณในโมเดล ARIMA (ยากสำหรับหลาย ๆ รุ่น) ให้ลองทำความเข้าใจถึงพลวัตของระบบแทน เราสามารถลองสิ่งนี้ได้โดยสำรวจการคาดการณ์ที่ผลิตโดยแบบจำลองของเราและโดยการพล็อตฟังก์ชั่นการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น

[ฉันมีความสุขมากที่จะแบ่งปันรหัส R ของฉันหากใครต้องการมัน]

อ้างอิง

แฮมิลตัน, JD (1994) การวิเคราะห์อนุกรมเวลา (ชุด 2) ปรินซ์ตัน: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน
Leamer, E. (2010) รูปแบบและเรื่องราวทางเศรษฐกิจมหภาค - คำแนะนำสำหรับ MBAs, Springer
Stengos, T. , M. Hoy, J. Livernois, C. McKenna และ R. Rees (2001) คณิตศาสตร์เพื่อเศรษฐศาสตร์รุ่นที่ 2 สำนักพิมพ์ MIT: Cambridge, MA

— แกรมวอลช์
แหล่งที่มา

รักแอปพลิเคชันของ IRF สำหรับผู้ที่ไม่ใช่ VAR ดูเหมือนว่าพวกเขาจะมีส่วนเกี่ยวข้องเสมอและฉันไม่เคยคิดที่จะใช้ IRF กับ ARIMAs เพียงอย่างเดียว (นั่นบวกใครจะเข้าใจคำศัพท์ MA จริง ๆ ได้บ้าง)

— Wayne

ช่างเป็นคำตอบที่ยอดเยี่ยม!

— Richard Hardy

โปรดทราบว่าเนื่องจากทฤษฎีบทการสลายตัวของ Woldคุณสามารถเขียนแบบจำลอง ARMA ใด ๆ ที่อยู่กับที่ในรูปแบบเช่น: $MA(\infty)$

Δ Y_{เสื้อ} = Σ_{J = 0}^{\infty} ψ_{J} ν_{เสื้อ - J}

$\Delta Y_t=\sum_{j=0}^{\infty} \psi_j\nu_{t-j}$

ในรูปแบบนี้ไม่มีตัวแปรที่ล้าหลังดังนั้นการตีความใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับความคิดของตัวแปรที่ล้าหลังนั้นไม่น่าเชื่อมากนัก อย่างไรก็ตามการดูรุ่น และแยกกัน: $MA(1)$ $AR(1)$

Y_{เสื้อ} = ν_{เสื้อ} + θ_{1} ν_{เสื้อ - 1}

$Y_t=\nu_t+\theta_{1}\nu_{t-1}$

Y_{เสื้อ} = ρ Y_{เสื้อ - 1} + ν_{เสื้อ} = ν_{เสื้อ} + ρ ν_{เสื้อ - 1} + ρ^{2} ν_{เสื้อ - 1} + . . .

$Y_t=\rho Y_{t-1}+\nu_{t}=\nu_t+\rho \nu_{t-1}+ \rho^2 \nu_{t-1}+...$

คุณสามารถพูดได้ว่าข้อผิดพลาดในแบบจำลอง ARMA อธิบายอิทธิพล "ระยะสั้น" ของอดีตและคำที่ล้าหลังอธิบายอิทธิพล "ระยะยาว" ต้องบอกว่าฉันไม่คิดว่าสิ่งนี้จะช่วยได้มากและมักจะไม่มีใครมารบกวนการตีความค่าสัมประสิทธิ์ ARMA ที่แม่นยำ เป้าหมายคือเพื่อให้ได้แบบจำลองที่เพียงพอและใช้สำหรับการคาดการณ์

— mpiktas
แหล่งที่มา

+1 นี่คือสิ่งที่ฉันพยายามทำมากขึ้นในความคิดเห็นของฉันด้านบน

— แกรมวอลช์

ฮาฉันไม่เห็นความคิดเห็นของคุณเมื่อฉันเขียนคำตอบ ฉันขอแนะนำให้แปลงเป็นคำตอบ

— mpiktas