ความหนาแน่นของ Y = log (X) สำหรับ X ที่กระจายโดยแกมมา

คำถามนี้เกี่ยวข้องกับโพสต์นี้อย่างใกล้ชิด

สมมติว่าฉันมีตัวแปรสุ่มและฉันกำหนด(X) ฉันต้องการที่จะหาสิ่งที่ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของY $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

ตอนแรกฉันคิดว่าฉันจะนิยามฟังก์ชันการแจกแจงสะสมแบบ X ทำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรแล้วนำ "ข้างใน" ของอินทิกรัลเป็นความหนาแน่นของฉันเช่นนั้น

\begin{aligned} P (X \leq ค) & = \int_{0}^{ค} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} {อี}^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq เข้าสู่ระบบ ค) & = \int_{เข้าสู่ระบบ (0)}^{เข้าสู่ระบบ (ค)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} ประสบการณ์ (Y)^{k - 1} {อี}^{- \frac{ประสบการณ์ (Y)}{θ}} ประสบการณ์ (Y) d Y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

นี่ผมใช้และแล้วย่อยในคำจำกัดความของและในแง่ของปี $y = \log x$ $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

ผลลัพธ์ไม่ได้รวมกับ 1 ฉันไม่แน่ใจว่าข้อผิดพลาดของฉันอยู่ที่ใด บางคนบอกฉันได้ว่าข้อผิดพลาดของฉันอยู่ที่ไหน

pdf gamma-distribution

— duckworthd
แหล่งที่มา

หากคุณทำงานผ่าน cdf คุณไม่ควรเปลี่ยน integrand จากอินทิกรัลแรกถึงอินทิกรัลที่สอง ความผิดพลาดของคุณคือพยายามใช้ทั้งวิธี cdf และ Jacobian ในเวลาเดียวกัน

— ซีอาน

เขียนความหนาแน่นด้วยตัวบ่งชี้เพื่อให้ได้ภาพที่ชัดเจน

ถ้าดังนั้น $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

ฉ_{X} (x) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} x^{k - 1} {อี}^{- x / θ} {ผม}_{(0, \infty)} (x) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

ถ้า , ด้วยค่าผกผันดังนั้น $Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$ และ CDF จะได้รับจากคำนิยาม

ฉ_{Y} (Y) = ฉ_{X} (ชั่วโมง (Y)) | {ชั่วโมง}^{'} (Y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} ประสบการณ์ (k Y - {อี}^{Y} / θ) {ผม}_{(- \infty, \infty)} (Y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P (Y \leq Y) = \int_{- \infty}^{Y} ฉ_{Y} (Y) d Y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

— เซน
แหล่งที่มา

นี่เป็นคำตอบที่ดี แต่บางทีคุณควรกำหนดพารามิเตอร์การแจกแจงแกมม่าในลักษณะเดียวกับคำถามดั้งเดิม

— สันนิษฐานว่าปกติ

จุดดีแม็กซ์ เสร็จสิ้น

— Zen

α = k

$\alpha = k$