พิจารณาผลรวมของ

เราสามารถใช้วิธีการต่าง ๆ ในการนี้สิ่งใด ๆ ที่อาจดูเหมือนเป็นเรื่องง่ายสำหรับบางคน คำตอบนี้ได้ทำการสำรวจแนวทางหลายอย่างซึ่งครอบคลุมส่วนสำคัญของความคิดทางคณิตศาสตร์ - การวิเคราะห์ (ที่ไม่มีที่สิ้นสุดและน้อยที่สุด) เรขาคณิต / โทโพโลยี (ความสัมพันธ์เชิงพื้นที่) และพีชคณิต (รูปแบบทางการของการจัดการสัญลักษณ์) - เช่นเดียวกับความน่าจะเป็น มันถึงจุดสูงสุดในการสังเกตที่รวมทั้งสี่แนวทางแสดงให้เห็นว่ามีคำถามของแท้ที่จะตอบที่นี่และแสดงให้เห็นว่าปัญหาคืออะไร แต่ละวิธีจะให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับธรรมชาติของรูปร่างของฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรเครื่องแบบอิสระ

พื้นหลัง

การกระจายUniform $[0,1]$ มีคำอธิบายพื้นฐานหลายประการ เมื่อมีการแจกแจงเช่นนั้น $X$

โอกาสที่อยู่ในเซตวัดได้เป็นเพียงการวัด (ความยาว) ของ , เขียน. $X$ $A$ $A \cap [0,1]$ $|A \cap [0,1]|$
จากนี้เป็นทันทีที่ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) คือ

$F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = | (- \infty, x] \cap [0, 1] | = | [0, min (x, 1)] | = \begin{array}{ll} {\begin{cases} 0 & x < 0 \\ x & 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & x > 1. \end{cases} \end{array}$ $F_X(x) = \Pr(X \le x) = |(-\infty, x] \cap [0,1]| = |[0,\min(x,1)]| = \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x\lt 0 \\ x & 0\leq x\leq 1 \\ 1 & x\gt 1. \end{array}\right. \end{array}$
ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (PDF) ซึ่งเป็นที่มาของ CDF เป็นสำหรับและมิฉะนั้น (ไม่ได้กำหนดไว้ที่และ ) $f_X(x) = 1$ $0 \le x \le 1$ $f_X(x)=0$ $0$ $1$

ปรีชาจากฟังก์ชั่นลักษณะ (การวิเคราะห์)

ลักษณะการทำงาน (CF) ของตัวแปรสุ่มเป็นความหวังของคน (ที่เป็นหน่วยจินตภาพ ) การใช้ PDF ของชุดการกระจายเราสามารถคำนวณได้ $X$ $\exp(i t X)$ $i$ $i^2=-1$

ϕ_{X} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} \exp (i t x) f_{X} (x) d x = \int_{0}^{1} \exp (i t x) d x = {\frac{\exp (i t x)}{i t} |}_{x = 0}^{x = 1} = \frac{\exp (i t) - 1}{i t} .

$\phi_X(t) = \int_{-\infty}^\infty \exp(i t x) f_X(x) dx = \int_0^1 \exp(i t x) dx = \left. \frac{\exp(itx)}{it} \right|_{x=0}^{x=1} = \frac{\exp(it)-1}{it}.$

CF เป็น (รุ่น) ฟูเรียร์ของไฟล์ PDF,(t) ทฤษฎีพื้นฐานเกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์คือ: $\phi(t) = \hat{f}(t)$

CF ของผลรวมของตัวแปรอิสระคือผลผลิตของ CFs ของพวกเขา $X+Y$
เมื่อ PDF ต้นฉบับต่อเนื่องและถูกล้อมรอบสามารถกู้คืนได้จาก CFโดยการแปลงฟูริเยร์รุ่นที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด $f$ $X$ $f$ $\phi$

f (x) = \overset{ˇ}{ϕ} (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- i x t) ϕ (t) d t .

$f(x) = \check{\phi}(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp(-i x t) \phi(t) dt.$

เมื่อสามารถหาอนุพันธ์ได้อนุพันธ์ของมันสามารถคำนวณได้ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล: $f$

$f^{'} (x) = \frac{d}{d x} \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- i x t) ϕ (t) d t = \frac{- i}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} t \exp (- i x t) ϕ (t) d t .$ $f'(x) = \frac{d}{dx} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \exp(-i x t) \phi(t) dt = \frac{-i}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty t \exp(-i x t) \phi(t) dt.$
เพื่อให้มีความชัดเจนดีอินทิกรัลสุดท้ายต้องมาบรรจบกันอย่างแน่นอน นั่นคือ,

$\int_{- \infty}^{\infty} | t \exp (- i x t) ϕ (t) | d t = \int_{- \infty}^{\infty} | t | | ϕ (t) | d t$ $\int_{-\infty}^\infty |t \exp(-i x t) \phi(t)| dt = \int_{-\infty}^\infty |t| |\phi(t)| dt$
จะต้องมาบรรจบกับค่า จำกัด ในทางกลับกันเมื่อมันมาบรรจบกันอนุพันธ์จะมีอยู่ทุกหนทุกแห่งโดยอาศัยสูตรผกผันเหล่านี้

ตอนนี้มันชัดเจนว่าความแตกต่างของ PDF สำหรับผลรวมของตัวแปรเครื่องแบบคือ: จากสัญลักษณ์แรก, CF ของผลรวมของตัวแปร iid คือ CF ของหนึ่งในนั้นยกกำลังพลังงาน, นี่เท่ากับ n เศษเป็นที่สิ้นสุด (มันประกอบด้วยคลื่นไซน์) ในขณะที่ตัวหารเป็น{n}) เราสามารถคูณเช่น integrand โดย และมันจะยังคงมาบรรจบกันอย่างยิ่งเมื่อและมาบรรจบกันตามเงื่อนไขเมื่อn-1 ดังนั้นการใช้สัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อยที่สามซ้ำแสดงว่า PDF สำหรับผลรวมของชุดรูปแบบจะเป็นแบบต่อเนื่อง $n$ $n^\text{th}$ $(\exp(i t) - 1)^n / (i t)^n$ $O(t^{n})$ $t^{s}$ $s \lt n-1$ $s = n-1$ $n$ $n-2$ ความแตกต่างของเวลาและในสถานที่ส่วนใหญ่มันจะแตกต่างกันเท่า $n-1$

CF สำหรับ n = 10

เส้นโค้งสีเทาสีน้ำเงินเป็นพล็อตบันทึกการใช้งานของค่าสัมบูรณ์ของส่วนที่แท้จริงของ CF ของผลรวมของชุดรูปแบบ iid ที่ต่างกัน เส้นประสีแดงเป็นเส้นกำกับ ความชันของมันคือซึ่งแสดงว่า PDF นั้นคือเท่าที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ สำหรับการอ้างอิงเส้นโค้งสีเทาพล็อตจริงของ CF สำหรับฟังก์ชัน Gaussian ที่มีรูปร่างคล้ายกัน (PDF ปกติ) $n=10$ $-10$ $10 - 2 = 8$

ปรีชาจากความน่าจะเป็น

ให้และเป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอพิจารณาช่วงเวลาที่แคบเราแยกโอกาสที่เป็นโอกาสที่อยู่ใกล้กับช่วงเวลานี้มากพอโอกาสที่เป็นขนาดที่เหมาะสม เพื่อวางในช่วงเวลานี้เนื่องจากอยู่ใกล้พอ: $Y$ $X$ $X$ $[0,1]$ $(t, t+dt]$ $X+Y \in (t, t+dt]$ $Y$ $X$ $X+Y$ $Y$

\begin{aligned} f_{X + Y} (t) d t = & Pr (X + Y \in (t, t + d t]) \\ = Pr (X + Y \in (t, t + d t] | Y \in (t - 1, t + d t]) Pr (Y \in (t - 1, t + d t]) \\ = Pr (X \in (t - Y, t - Y + d t] | Y \in (t - 1, t + d t]) (F_{Y} (t + d t) - F_{Y} (t - 1)) \\ = 1 d t (F_{Y} (t + d t) - F_{Y} (t - 1)) . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(t) dt = &\Pr(X+Y\in (t,t+dt])\\ & = \Pr(X+Y\in (t,t+dt] | Y \in (t-1, t+dt]) \Pr(Y \in (t-1, t+dt]) \\ & = \Pr(X \in (t-Y, t-Y+dt] | Y \in (t-1, t+dt]) \left(F_Y(t+dt) - F_Y(t-1)\right) \\ & = 1 dt \left(F_Y(t+dt) - F_Y(t-1)\right). }$

ความเสมอภาคสุดท้ายมาจากการแสดงออกสำหรับรูปแบบไฟล์ PDF ของXหารทั้งสองข้างด้วยและรับค่าตามที่ให้ $X$ $dt$ $dt\to 0$

f_{X + Y} (t) = F_{Y} (t) - F_{Y} (t - 1) .

$f_{X+Y}(t) = F_Y(t) - F_Y(t-1).$

ในคำอื่น ๆ เพิ่มเครื่องแบบตัวแปรการใด ๆตัวแปรเปลี่ยนแปลงรูปแบบไฟล์ PDFเป็น differenced CDF(t-1) เนื่องจาก PDF เป็นอนุพันธ์ของ CDF นี่ก็หมายความว่าในแต่ละครั้งที่เราเพิ่มตัวแปรเครื่องแบบอิสระให้กับไฟล์ PDF ที่ได้จะมีความแตกต่างกันมากกว่าครั้งก่อน $[0,1]$ $X$ $Y$ $f_Y$ $F_Y(t) - F_Y(t-1)$ $Y$

ลองใช้ข้อมูลเชิงลึกนี้เริ่มต้นด้วยตัวแปรเครื่องแบบYPDF ต้นฉบับไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ที่หรือ : ไม่ต่อเนื่องที่นั่น รูปแบบไฟล์ PDF ของไม่ได้เป็นอนุพันธ์ที่ ,หรือแต่มันต้องต่อเนื่องที่จุดนั้นเพราะมันคือความแตกต่างของปริพันธ์ของไฟล์ PDF ของ Yเพิ่มตัวแปรเครื่องแบบอิสระอื่นอีก : PDF ของนั้นสามารถหาค่าได้ที่ , ,และ - แต่มันไม่จำเป็นต้องมีวินาที $Y$ $0$ $1$ $Y+X$ $0$ $1$ $2$ $Y$ $X_2$ $Y+X+X_2$ $0$ $1$ $2$ $3$ อนุพันธ์ที่จุดเหล่านั้น และอื่น ๆ

สัญชาตญาณจากเรขาคณิต

CDF ที่ของผลรวมของเครื่องแบบ IID variates เท่ากับปริมาณของหน่วย hypercube ที่นอนภายในครึ่งพื้นที่เสื้อ สถานการณ์สำหรับ variates จะแสดงที่นี่มีชุดที่ ,และจากนั้น5/2 $t$ $n$ $[0,1]^n$ $x_1+x_2+\cdots+x_n \le t$ $n=3$ $t$ $1/2$ $3/2$ $5/2$

ลูกบาศก์ 3D

ในฐานะที่เป็นความคืบหน้าจากผ่านที่ไฮเปอร์เพลข้ามจุดที่ , n ในแต่ละครั้งที่รูปร่างของส่วนไขว้มีการเปลี่ยนแปลง: ในภาพก่อนเป็นรูปสามเหลี่ยม ( -simplex) จากนั้นเป็นรูปหกเหลี่ยมจากนั้นรูปสามเหลี่ยมอีกครั้ง ทำไมไม่ PDF มีโค้งหักศอกที่ค่าเหล่านี้ของ ? $t$ $0$ $n$ $H_n(t): x_1+x_2+\cdots+x_n=t$ $t=0$ $t=1, \ldots, t=n$ $2$ $t$

เพื่อทำความเข้าใจนี้ก่อนพิจารณาค่าเล็ก ๆ ของเสื้อที่นี่ไฮเปอร์เพลนตัด -simplex ออก ทั้งหมดขนาดของเริมเป็นสัดส่วนโดยตรงกับไหน "พื้นที่" ของมันเป็นสัดส่วนกับ{n-1} สัญลักษณ์บางอย่างสำหรับสิ่งนี้จะมีประโยชน์ในภายหลัง ให้เป็น "ฟังก์ชันขั้นตอนต่อหน่วย" $t$ $H_n(t)$ $n-1$ $n-1$ $t$ $t^{n-1}$ $\theta$

θ (x) = \begin{array}{ll} {\begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x \geq 0. \end{cases} \end{array}

$\theta(x) = \begin{array}{ll} \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x \lt 0 \\ 1 & x\ge 0. \end{array}\right. \end{array}$

หากไม่ใช่สำหรับการปรากฏตัวของอีกมุมหนึ่งของ hypercube การปรับขนาดนี้จะดำเนินต่อไปเรื่อย ๆ พล็อตของพื้นที่ของ -simplex จะมีลักษณะเป็นเส้นโค้งสีน้ำเงินทึบด้านล่าง: มันเป็นศูนย์ที่ค่าลบและเท่ากับในแง่บวกเขียนได้อย่างสะดวก. มันมี "หงิกงอ" ของคำสั่งที่จุดกำเนิดในแง่ที่ว่าอนุพันธ์ทั้งหมดผ่านคำสั่งมีอยู่และต่อเนื่อง แต่อนุพันธ์ด้านซ้ายและขวาของคำสั่งมีอยู่ แต่ไม่เห็นด้วยที่แหล่งกำเนิด . $n-1$ $t^{n-1}/(n-1)!$ $\theta(t) t^{n-1}/(n-1)!$ $n-2$ $n-3$ $n-2$

(ส่วนโค้งอื่น ๆ ที่แสดงในรูปนี้คือ (สีแดง), (gold) และ (สีดำ) บทบาทของพวกเขาในกรณีจะกล่าวถึงต่อไปด้านล่าง) $-3\theta(t-1) (t-1)^{2}/2!$ $3\theta(t-2) (t-2)^{2}/2!$ $-\theta(t-3) (t-3)^{2}/2!$ $n=3$

พล็อตพื้นที่ง่าย

เพื่อให้เข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อข้ามเรามาตรวจสอบอย่างละเอียดในกรณีที่โดยที่เรขาคณิตทั้งหมดเกิดขึ้นในระนาบ เราอาจดูหน่วย "คิวบ์" (ตอนนี้เป็นเพียงตาราง) เป็นการรวมกันเชิงเส้นของควอดเรนดังที่แสดงไว้ที่นี่: $t$ $1$ $n=2$

quadrants

Quadrant แรกปรากฏในแผงด้านซ้ายล่างเป็นสีเทา ค่าของคือเพื่อหาเส้นทแยงมุมที่แสดงในพาเนลทั้งห้า CDF เท่ากับพื้นที่สีเหลืองที่แสดงทางด้านขวา พื้นที่สีเหลืองนี้ประกอบด้วย: $t$ $1.5$

พื้นที่สีเทาสามเหลี่ยมในแผงด้านซ้ายล่าง
ลบพื้นที่สีเขียวรูปสามเหลี่ยมที่แผงด้านซ้ายบน
ลบพื้นที่สามเหลี่ยมสีแดงในแผงกลางต่ำ
บวกกับพื้นที่สีฟ้าใด ๆ ในแผงกลาง ( แต่ไม่มีพื้นที่ใด ๆ ดังกล่าวหรือจะมีจนกว่าเกิน ) $t$ $2$

หนึ่งในพื้นที่เหล่านี้คือพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม เครื่องชั่งแรกเช่นสองเครื่องถัดไปเป็นศูนย์สำหรับและเครื่องชั่งเช่นและสุดท้ายคือศูนย์สำหรับและอื่น ๆ เช่นเครื่องชั่งน้ำหนัก n การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตนี้ได้พิสูจน์แล้วว่า CDF เป็นสัดส่วนกับ = ; เท่ากับ PDF เป็นสัดส่วนกับผลรวมของทั้งสามฟังก์ชั่น ,และ $2^n=4$ $t^n=t^2$ $t\lt 1$ $(t-1)^n = (t-1)^2$ $t\lt 2$ $(t-2)^n$ $\theta(t)t^2 - \theta(t-1)(t-1)^2 - \theta(t-1)(t-1)^2 + \theta(t-2)(t-2)^2$ $\theta(t)t^2 - 2 \theta(t-1)(t-1)^2 + \theta(t-2)(t-2)^2$ $\theta(t)t$ $-2\theta(t-1)(t-1)$ $\theta(t-2)(t-2)$ (แต่ละรายการจะถูกปรับเป็นเชิงเส้นเมื่อ ) แผงด้านซ้ายของรูปนี้แสดงกราฟ: เห็นได้ชัดว่าเป็นกราฟต้นฉบับทั้งหมดแต่ (a) เลื่อนจาก ,และหน่วยไปทางขวาและ (b) ช่วยลด ,และตามลำดับ $n=2$ $\theta(t)t$ $0$ $1$ $2$ $1$ $-2$ $1$

กราฟสำหรับ n = 2

แผงด้านขวาแสดงผลรวมของกราฟเหล่านี้ (เส้นโค้งสีดำทึบซึ่งถูกทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้มีพื้นที่หน่วย: นี่คือ PDF ที่มีลักษณะเชิงมุมที่แม่นยำแสดงในคำถามเดิม

ตอนนี้เราสามารถเข้าใจลักษณะของ "kinks" ใน PDF ของผลรวมของตัวแปรชุด iid พวกมันเหมือนกับ "หงิกงอ" ที่เกิดขึ้นที่ในฟังก์ชันอาจจะช่วยได้และเปลี่ยนเป็นจำนวนเต็มสอดคล้องกับตำแหน่งไฮเปอร์เพลนข้ามจุดยอดของ hypercube สำหรับนี้คือการเปลี่ยนแปลงที่มองเห็นได้ในทิศทางที่: อนุพันธ์ทางขวาของที่เป็นในขณะที่ตราสารอนุพันธ์ทางด้านซ้ายของมันคือ1สำหรับนี่คือสิ่งต่อเนื่อง $0$ $\theta(t)t^{n-1}$ $1,2,\ldots, n$ $H_n(t)$ $n=2$ $\theta(t)t$ $0$ $0$ $1$ $n=3$ เปลี่ยนทิศทาง แต่เป็นการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลัน (ไม่ต่อเนื่อง) ในอนุพันธ์อันดับสอง สำหรับทั่วไปจะมีสัญญาซื้อขายล่วงหน้าอย่างต่อเนื่องผ่านการสั่งซื้อแต่ไม่ต่อเนื่องในส่วนอนุพันธ์ $n$ $n-2$ $n-1^\text{st}$

ปรีชาจากการจัดการพีชคณิต

การรวมเข้าด้วยกันเพื่อคำนวณ CF รูปแบบของความน่าจะเป็นเงื่อนไขในการวิเคราะห์ความน่าจะเป็นและการสังเคราะห์ไฮเปอร์คิวบ์เป็นการรวมกันเชิงเส้นของจตุภาคทั้งหมดแนะนำให้กลับไปที่การแจกแจงแบบดั้งเดิม . แน่นอนมันสามารถเขียน PDF ได้

f_{X} (x) = θ (x) - θ (x - 1) .

$f_X(x) = \theta(x) - \theta(x-1).$

ให้เราแนะนำตัวดำเนินการกะ : มันทำหน้าที่บนฟังก์ชันใด ๆโดยเลื่อนกราฟหนึ่งหน่วยไปทางขวา: $\Delta$ $f$

(Δ f) (x) = f (x - 1) .

$(\Delta f)(x) = f(x-1).$

อย่างเป็นทางการแล้วสำหรับ PDF ของตัวแปรชุดเราอาจเขียน $X$

f_{X} = (1 - Δ) θ .

$f_X = (1 - \Delta)\theta.$

PDF ของผลรวมของเครื่องแบบ iid คือการด้วยตัวมันเองครั้ง นี้ต่อไปจากความหมายของผลรวมของตัวแปรสุ่มที่ว่าบิดของทั้งสองฟังก์ชั่นและเป็นฟังก์ชั่น $n$ $f_X$ $n$ $f$ $g$

(f ⋆ g) (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) g (y) d y .

$(f \star g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y) dy.$

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าการเดินทางบิดกับ\เพียงเปลี่ยนตัวแปรของการรวมจากเป็น : $\Delta$ $y$ $y+1$

\begin{aligned} (f ⋆ (Δ g)) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) (Δ g) (y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) g (y - 1) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f ((x - 1) - y) g (y) d y \\ = (Δ (f ⋆ g)) (x) . \end{aligned}

$\eqalign{ (f \star (\Delta g)) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)(\Delta g)(y) dy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x-y)g(y-1) dy \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f((x-1)-y)g(y) dy \\ &= (\Delta (f \star g))(x). }$

สำหรับ PDF ของผลรวมของเครื่องแบบ iid ตอนนี้เราอาจดำเนินการทางพีชคณิตเพื่อเขียน $n$

f = f_{X}^{⋆ n} = ((1 - Δ) θ)^{⋆ n} = (1 - Δ)^{n} θ^{⋆ n}

$f = f_X^{\star n} = ((1 - \Delta)\theta)^{\star n} = (1-\Delta)^n \theta^{\star n}$

(โดยที่ "power" หมายถึงการบิดซ้ำซ้อน, ไม่ใช่การคูณด้วยคะแนน!) ตอนนี้เป็นการรวมกลุ่มโดยตรงโดยตรง $\star n$ $\theta^{\star n}$

θ^{⋆ n} (x) = θ (x) \frac{x^{n - 1}}{n - 1!} .

$\theta^{\star n}(x) = \theta(x) \frac{x^{n-1}}{{n-1}!}.$

ส่วนที่เหลือเป็นพีชคณิตเพราะทฤษฎีบททวินามใช้บังคับ (เช่นเดียวกับที่ใช้ในพีชคณิตการเปลี่ยนแปลงใด ๆ เหนือ reals):

f = (1 - Δ)^{n} θ^{⋆ n} = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) Δ^{i} θ^{⋆ n} .

$f = (1-\Delta)^n \theta^{\star n} = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} \Delta^i \theta^{\star n}.$

เนื่องจากเปลี่ยนการโต้แย้งโดยเดียวนี่เป็นการแสดงรูปแบบ PDFเป็นการรวมเชิงเส้นของเวอร์ชันที่เลื่อนของตรงตามที่เราอนุมานทางเรขาคณิต: $\Delta^i$ $i$ $f$ $\theta(x) x^{n-1}$

f (x) = \frac{1}{(n - 1)!} \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) (x - i)^{n - 1} θ (x - i) .

$f(x) = \frac{1}{(n-1)!}\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} (x-i)^{n-1}\theta(x-i).$

(จอห์นคุกเสนอราคาสูตรนี้ในโพสต์บล็อกของเขาโดยใช้เครื่องหมายสำหรับ ) $(x-i)^{n-1}_+$ $(x-i)^{n-1}\theta(x-i)$

ดังนั้นเนื่องจากเป็นฟังก์ชั่นที่ราบรื่นทุกที่พฤติกรรมเอกพจน์ของ PDF จะเกิดขึ้นเฉพาะในสถานที่ที่เป็นเอกพจน์ (เห็นได้ชัดแค่ ) และที่สถานที่เหล่านั้นเลื่อนไปทางขวาโดย . ธรรมชาติของพฤติกรรมเอกพจน์นั้น - ระดับความนุ่มนวล - จะเหมือนกันในทุกตำแหน่งที่ $x^{n-1}$ $\theta(x)$ $0$ $1, 2, \ldots, n$ $n+1$

ภาพประกอบนี้เป็นภาพสำหรับ , แสดง (ในแผงด้านซ้าย) แต่ละคำศัพท์ในผลรวมและ (ในแผงด้านขวา) ผลรวมบางส่วน, ปิดท้ายด้วยผลรวม (เส้นโค้งสีดำทึบ): $n=8$

แปลงสำหรับ n = 8

การปิดความคิดเห็น

มันจะมีประโยชน์ที่จะต้องทราบว่าวิธีการสุดท้ายนี้ในที่สุดก็ให้ผลขนาดกะทัดรัดและการแสดงออกในทางปฏิบัติสำหรับการคำนวณ PDF ของผลรวมของตัวแปรเครื่องแบบ iid (ได้รับสูตรสำหรับ CDF ในทำนองเดียวกัน) $n$

ทฤษฎีขีด จำกัด กลางมีเพียงเล็กน้อยที่จะพูดที่นี่ ท้ายที่สุดผลรวมของตัวแปร iid Binomialจะรวมกันเป็นการแจกแจงแบบปกติ แต่ผลรวมนั้นจะแยกกันเสมอ : มันไม่เคยมีแม้แต่ PDF เลย! เราไม่ควรหวังสำหรับสัญชาตญาณใด ๆ เกี่ยวกับ "kinks" หรือมาตรการอื่น ๆ ของความแตกต่างของ PDF มาจาก CLT

— whuber
แหล่งที่มา

(+1) ยอดเยี่ยม! ทีนี้ใช้เวลานานแค่ไหนในการรวบรวมทั้งหมดนี้เข้าด้วยกัน!

— พระคาร์ดินัล

@ Cardinal นี่เป็นคำถามสุดท้ายที่ฉันอ่านก่อนที่จะสูญเสียพลังงานเมื่อวันจันทร์ที่ผ่านมา ในช่วงสัปดาห์ต่อมาความมืดที่ยาวนานทำให้เกิดโอกาสที่จะคิดผ่าน :-) และเพื่อความสนุกสนานเพื่อพัฒนาคำตอบมากมาย หลังจากการคืนอำนาจเมื่อสุดสัปดาห์ที่ผ่านมามันเป็นเพียงเรื่องของการหาเวลาในการสร้างภาพประกอบและเขียนมันทั้งหมด (ซึ่งใช้เวลานานกว่าที่คาดไว้ฉันสารภาพ) ฉันหวังว่าบางทีกระทู้นี้อาจใช้เป็นข้อมูลอ้างอิงสำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องในอนาคตเกี่ยวกับผลรวมของตัวแปรสุ่ม

— whuber

ว้าว. ฉันหวังว่าฉันจะ 'ชื่นชอบ' คำตอบนี้

— Rhubbarb

มันยอดเยี่ยมมาก ฉันไม่เคยรู้เลยว่าคำถามง่ายๆเช่นนี้จะเป็นไปได้ลึกเพียงใด ฉันจะต้องใช้เวลาสักครู่เพื่อค้นหาคำตอบของคุณ แต่สำหรับตอนนี้ขอบคุณมาก!

— tetragrammaton

ผมจะละเมิดนโยบาย SE ความคิดเห็นโดยบอกว่าเรา (ทั้งหมดของ crossvalidate.com) ควรสินบน บริษัท พลังงานของคุณเพื่อตัดไฟบ่อยขึ้น :)

— mpiktas