42

ฉันสับสน. ฉันไม่เข้าใจความแตกต่างของ ARMA และกระบวนการ GARCH .. สำหรับฉันแล้วมีเหมือนกันไหม?

นี่คือกระบวนการ (G) ARCH (p, q)

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

และนี่ก็เป็น ARMA ( ): $p, q$

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

ARMA เป็นเพียงส่วนขยายของ GARCH หรือไม่ GARCH ถูกใช้เพื่อผลตอบแทนเท่านั้นและด้วยสมมติฐานโดยที่ติดตามกระบวนการสีขาวที่แรงหรือไม่ $r = \sigma\varepsilon$ $\varepsilon$

arima garch finance

— จอห์น
แหล่งที่มา

1

นอกเหนือจากคำตอบของ fg nu แล้วกระบวนการแปรปรวนใน GARCH นั้นแตกต่างกันไปตามเวลา อย่างไรก็ตามมีเคล็ดลับอยู่ที่นี่คือการกำหนดชุดการบันทึกเวลาคืนของ SP500 จากนั้นเพื่อให้ได้รับความผันผวนเราควรทำอย่างไร บางคนบอกว่าเราต้องใช้แบบจำลอง ARMA เพื่อถอนชุดข้อมูลที่เหลือแล้วเสียบชุดข้อมูลส่วนที่เหลือนี้เข้ากับแบบจำลอง GARCH เพื่อรับกระบวนการแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข หรือเสียบปลั๊กกลับบันทึกโดยตรงกระบวนการบันทึกคืน SP500 ลงในรุ่น GARCH เพื่อรับความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข

48

คุณกำลังทำให้คุณสมบัติของกระบวนการเป็นตัวแทน พิจารณากระบวนการ (กลับ) (Y_t) $(Y_t)_{t=0}^\infty$

แบบจำลอง ARMA (p, q) ระบุค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไขของกระบวนการเป็น

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$ นี่เป็นชุดข้อมูล ณ เวลาซึ่งเป็น -algebra ที่สร้างขึ้นโดยค่าที่ล้าหลังของกระบวนการผลลัพธ์ .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

โมเดล GARCH (r, s) ระบุความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขของกระบวนการ $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

หมายเหตุโดยเฉพาะอย่างยิ่งคนแรกที่เท่าเทียม_t) $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

นอกเหนือ : จากการเป็นตัวแทนนี้คุณสามารถเขียน โดยที่เป็นกระบวนการที่มีสัญญาณรบกวนสีขาวที่แข็งแกร่ง แต่สิ่งนี้ตามมาจากวิธีที่กระบวนการกำหนดไว้

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

ทั้งสองรุ่น (สำหรับค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไขและความแปรปรวน) สามารถใช้งานร่วมกันได้อย่างสมบูรณ์แบบโดยที่ค่าเฉลี่ยของกระบวนการสามารถสร้างแบบจำลองเป็น ARMA และความแปรปรวนเป็น GARCH สิ่งนี้นำไปสู่ข้อกำหนดที่สมบูรณ์ของโมเดล ARMA (p, q) -GARCH (r, s) สำหรับกระบวนการดังต่อไปนี้ในการเป็นตัวแทน $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

— tchakravarty
แหล่งที่มา

คุณไม่ควร จำกัด ข้อมูลในเวลาหาก regressors ทั้งหมดล่าช้า

t - 1

$t-1$

— Jase

@Jase หมายเหตุคำจำกัดความ "ที่นี่เป็นชุดข้อมูล ณ เวลาซึ่งคือ -algebra ที่สร้างโดยค่าที่ล้าหลังของกระบวนการผลลัพธ์ " นั่นคือldots) นักเขียนบางคนเขียนนี้เป็นแต่ที่สวนทางกับความคิดของชุดข้อมูลในเวลาที

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

— tchakravarty

ดี! คุณรู้ไหมว่าทำไมเราถึงใช้ซิกม่าพีชคณิตไม่ใช่การกรอง?

— Jase

1

@Jase ลำดับของชุดข้อมูลถือว่ากรอง

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

— tchakravarty

15

แก้ไข:ฉันรู้ว่าคำตอบไม่เพียงพอและได้ให้คำตอบที่แม่นยำยิ่งขึ้น (ดูด้านล่าง - หรืออาจสูงกว่า) ฉันได้แก้ไขอันนี้สำหรับความผิดพลาดจริงและฉันปล่อยให้บันทึก

พารามิเตอร์โฟกัสที่แตกต่างกัน:

ARMA เป็นแบบจำลองสำหรับการรับรู้ของกระบวนการสุ่มที่กำหนดโครงสร้างเฉพาะของค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไข ของกระบวนการ
GARCH เป็นแบบจำลองสำหรับการรับรู้ของกระบวนการสโตแคสติกซึ่งกำหนดโครงสร้างเฉพาะของความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข ของกระบวนการ

~~Stochastic เทียบกับโมเดลที่กำหนดขึ้น:~~

ARMA เป็นรูปแบบสุ่มในแง่ที่ว่าตัวแปร - ความเข้าใจของกระบวนการสุ่ม - มีการระบุเป็นผลรวมของฟังก์ชั่นที่กำหนดของตัวแปรขึ้นอยู่รั้งท้ายและข้อผิดพลาด lagged รุ่น (หมายถึงเงื่อนไข) และคำที่ผิดพลาดสุ่ม
GARCH เป็นรูปแบบที่กำหนดขึ้นในแง่ที่ว่าตัวแปรตาม - ความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขของกระบวนการ - เป็นฟังก์ชันที่กำหนดอย่างหมดจดของตัวแปรที่ล้าหลัง

— Richard Hardy
แหล่งที่มา

1

ความแปรปรวนเงื่อนไขของกระบวนการ GARCH เป็นกำหนดขึ้นในความรู้สึกที่คุณกำหนด, buth กระบวนการ GARCH ไม่ได้ตั้งแต่และเป็นอิสระจากความล่าช้าของเสื้อ

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

— mpiktas

1

@mpiktas, จริง หากแบบจำลอง GARCH มีสองสมการสมการหนึ่งสำหรับเงื่อนไขที่มีเงื่อนไข (ตัวอย่างที่คุณเขียนด้านบน) และอีกอันสำหรับความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไข (ซึ่งสังหรณ์ใจแม้ว่าจะไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์ "สมการหลัก" ของแบบจำลอง) กับสมการหลัง

— Richard Hardy

10

ARMA

พิจารณาที่ตามหลังกระบวนการ ARMA ( ) สมมติว่าความเรียบง่ายมีค่าเฉลี่ยศูนย์และความแปรปรวนคงที่ เงื่อนไขเกี่ยวกับข้อมูล ,สามารถแบ่งออกเป็นที่รู้จักกัน (ที่กำหนดไว้) ส่วนหนึ่ง (ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของเงื่อนไขรับ ) และเป็นส่วนหนึ่งที่สุ่ม : $y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

โดยที่คือความหนาแน่น $D$

ความหมายตามเงื่อนไข นั้นทำตามกระบวนการคล้ายกับ ARMA ( ) แต่ไม่มีเงื่อนไขข้อผิดพลาดเกิดขึ้นพร้อมกันแบบสุ่ม: ที่ ; สำหรับ ; และสำหรับ Q หมายเหตุว่ากระบวนการนี้มีการสั่งซื้อ ( ) มากกว่า ( ) เช่นเดียวกับy_t $\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

นอกจากนี้เรายังสามารถเขียนการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของในรูปของหมายถึงเงื่อนไขที่ผ่านมา (แทนที่จะเป็นค่าที่รับรู้ในอดีต) และพารามิเตอร์แบบจำลองเป็น $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

การแสดงหลังทำให้การเปรียบเทียบ ARMA กับ GARCH และ ARMA-GARCH ง่ายขึ้น

GARCH

พิจารณาที่ตามหลังกระบวนการ GARCH ( ) สมมติว่าความเรียบง่ายมันมีค่าเฉลี่ยคงที่ แล้วก็ $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

โดยที่และคือความหนาแน่น $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

เงื่อนไขแปรปรวน ต่อไปนี้เป็นกระบวนการที่คล้ายกับ ARMA ( ) แต่โดยไม่ต้องคำข้อผิดพลาดแบบสุ่มสมัย $\sigma_t^2$ $s,r$

ARMA-GARCH

พิจารณาที่มีค่าเฉลี่ยศูนย์แบบไม่มีเงื่อนไขและทำตามกระบวนการ ARMA ( ) -GARCH ( ) แล้วก็ $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

โดยที่ ; คือความหนาแน่นบางส่วนเช่นปกติ สำหรับ ; และสำหรับ Q $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

เฉลี่ยเงื่อนไขกระบวนการเนื่องจาก ARMA มีหลักรูปร่างเช่นเดียวกับความแปรปรวนเงื่อนไขกระบวนการเนื่องจาก GARCH เพียงคำสั่งล่าช้าอาจแตกต่างกัน (ให้สำหรับค่าเฉลี่ยภัณฑ์ไม่มีเงื่อนไขของไม่ควรเปลี่ยนผลนี้อย่างมีนัยสำคัญ) ที่สำคัญไม่มีเงื่อนไขข้อผิดพลาดแบบสุ่มเมื่อถูก จำกัด ในดังนั้นทั้งสองจะถูกกำหนดไว้ล่วงหน้า $y_t$ $I_{t-1}$

— Richard Hardy
แหล่งที่มา

3

กระบวนการ ARMA และ GARCH นั้นคล้ายคลึงกันมากในการนำเสนอ เส้นแบ่งระหว่างสองเส้นนั้นบางมากเนื่องจากเราได้ GARCH เมื่อกระบวนการ ARMA ถูกสมมติขึ้นสำหรับความแปรปรวนของข้อผิดพลาด

— user36853
แหล่งที่มา

ความแตกต่างระหว่าง GARCH และ ARMA คืออะไร?

ARMA

GARCH

ARMA-GARCH