ทำไมค่าเฉลี่ยมีแนวโน้มที่จะมีความเสถียรในตัวอย่างที่แตกต่างจากค่ามัธยฐาน?

ส่วน 1.7.2 ของการค้นพบสถิติการใช้ Rโดย Andy Fields และอื่น ๆ ในขณะที่แสดงรายการคุณธรรมของค่าเฉลี่ย vs มัธยฐาน:

... ค่าเฉลี่ยมีแนวโน้มที่จะคงที่ในกลุ่มตัวอย่างที่แตกต่างกัน

สิ่งนี้หลังจากอธิบายถึงคุณงามความดีของคนมัธยฐานเช่น

... ค่ามัธยฐานค่อนข้างไม่ได้รับผลกระทบจากคะแนนสูงสุดที่ปลายด้านหนึ่งของการกระจาย ...

เนื่องจากค่ามัธยฐานค่อนข้างไม่ได้รับผลกระทบจากคะแนนสูงสุดฉันจึงคิดว่ามันจะมีเสถียรภาพมากขึ้นในกลุ่มตัวอย่าง ดังนั้นฉันจึงงงงวยโดยการยืนยันของผู้เขียน เพื่อยืนยันว่าฉันใช้การจำลอง - ฉันสร้างตัวเลขสุ่ม 1M และสุ่มตัวอย่าง 100 ตัวเลข 1,000 ครั้งและคำนวณค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานของแต่ละตัวอย่างแล้วคำนวณ SD ของค่าเฉลี่ยตัวอย่างและค่ามัธยฐาน

nums = rnorm(n = 10**6, mean = 0, sd = 1)
hist(nums)
length(nums)
means=vector(mode = "numeric")
medians=vector(mode = "numeric")
for (i in 1:10**3) { b = sample(x=nums, 10**2); medians[i]= median(b); means[i]=mean(b) }
sd(means)
>> [1] 0.0984519
sd(medians)
>> [1] 0.1266079
p1 <- hist(means, col=rgb(0, 0, 1, 1/4))
p2 <- hist(medians, col=rgb(1, 0, 0, 1/4), add=T)

ในขณะที่คุณสามารถดูวิธีการกระจายอย่างแน่นหนากว่าค่ามัธยฐาน

ในภาพที่แนบมานั้นฮิสโทแกรมสีแดงมีไว้สำหรับคนกลาง - อย่างที่คุณเห็นมันมีความสูงน้อยกว่าและมีหางที่อ้วนขึ้นซึ่งยืนยันการยืนยันของผู้แต่ง

ฉันรู้สึกงุนงงกับสิ่งนี้แม้ว่า! ค่ามัธยฐานที่เสถียรกว่ามีแนวโน้มที่จะแตกต่างกันมากในที่สุดในตัวอย่างอย่างไร ดูเหมือนขัดแย้ง! ข้อมูลเชิงลึกใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม

ค่ามัธยฐานนั้นแข็งแกร่งที่สุดสำหรับค่าผิดปกติ แต่มีความไวสูงต่อเสียงรบกวน หากคุณมีเสียงรบกวนเล็กน้อยในแต่ละจุดมันจะเข้าสู่ค่ามัธยฐานที่ไม่ได้รับการบันทึกตราบใดที่เสียงนั้นเล็กพอที่จะไม่เปลี่ยนลำดับสัมพัทธ์ของคะแนน สำหรับค่าเฉลี่ยมันเป็นวิธีอื่น ๆ เสียงดังเฉลี่ยโดยเฉลี่ย แต่ค่าผิดปกติเพียงครั้งเดียวสามารถเปลี่ยนค่าเฉลี่ยโดยพลการ

การทดสอบของคุณส่วนใหญ่วัดความทนทานต่อเสียงรบกวน แต่คุณสามารถสร้างเสียงที่ค่ามัธยฐานทำงานได้ดีขึ้น หากคุณต้องการตัวประมาณค่าที่มีความทนทานต่อทั้งค่าผิดปกติและเสียงรบกวนให้ทิ้งส่วนที่สามและอันดับที่สามและค่าเฉลี่ยที่เหลือ

ตามที่ @whuber และคนอื่น ๆ ได้กล่าวไว้แถลงการณ์ไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป และถ้าคุณยินดีที่จะหยั่งรู้ได้มากขึ้น - ฉันไม่สามารถติดตามการคำนวณทางคณิตศาสตร์รอบ ๆ ที่นี่ได้ - คุณอาจดูวิธีอื่น ๆ และค่ามัธยฐานคงที่หรือไม่ สำหรับตัวอย่างเหล่านี้สมมติว่าเป็นจำนวนคี่เพื่อที่ฉันจะสามารถรักษาคำอธิบายให้สอดคล้องและเรียบง่าย

1. ลองนึกภาพคุณมีการแพร่กระจายของคะแนนในบรรทัดหมายเลข ทีนี้ลองคิดดูว่าคุณได้รับคะแนนทั้งหมดที่อยู่ตรงกลางแล้วเลื่อนขึ้นไปเป็น 10 เท่าของมูลค่า ค่ามัธยฐานไม่เปลี่ยนแปลงค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่อย่างมีนัยสำคัญ ดังนั้นค่ามัธยฐานจึงดูมีเสถียรภาพมากขึ้น

2. ทีนี้ลองจินตนาการว่าจุดเหล่านี้กระจายออกไปพอสมควร เลื่อนจุดศูนย์กลางขึ้นและลง การย้ายหนึ่งหน่วยการเปลี่ยนแปลงค่ามัธยฐานโดยหนึ่ง แต่ย้ายค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐานในขณะนี้ดูเหมือนจะน้อยกว่าและมีความไวต่อการเคลื่อนไหวเล็ก ๆ ของจุดเดียว

3. ตอนนี้ลองนึกภาพจุดสูงสุดแล้วเคลื่อนอย่างราบรื่นจากจุดสูงสุดไปยังจุดต่ำสุด ค่าเฉลี่ยก็จะราบรื่นเช่นกัน แต่ค่ามัธยฐานจะไม่เคลื่อนไหวอย่างต่อเนื่อง: มันจะไม่เคลื่อนที่เลยจนกว่าจุดสูงของคุณจะต่ำกว่าค่ามัธยฐานก่อนหน้าจากนั้นมันจะเริ่มตามจุดจนกว่ามันจะต่ำกว่าจุดถัดไปจากนั้นค่ามัธยฐานจะไปที่จุดนั้น ไม่ต้องขยับในขณะที่คุณเลื่อนจุดลง [แก้ไขต่อความคิดเห็น]

การเปลี่ยนแปลงจุดต่าง ๆ ของคุณทำให้ค่าเฉลี่ยหรือค่ามัธยฐานดูไม่ราบรื่นหรือเสถียรในบางแง่มุม คณิตศาสตร์ที่น่าเกรงขามที่นี่แสดงให้คุณเห็นการแจกแจงซึ่งคุณสามารถสุ่มตัวอย่างซึ่งตรงกับการทดลองของคุณมากขึ้น แต่หวังว่าสัญชาตญาณนี้จะช่วยได้เช่นกัน

$n$$\mu$$\sigma^2 < \infty$$f$$m$$\tilde{f}$$\tilde{f}(z) = \sigma \cdot f(\mu+\sigma z)$$z \in \mathbb{R}$. ค่าความแปรปรวนแบบซีโมติคของค่าเฉลี่ยตัวอย่างและค่ามัธยฐานตัวอย่างจะได้รับตามลำดับโดย:

$$\mathbb{V}(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n} \quad \quad \quad \quad \quad \mathbb{V}(\tilde{X}_n) \rightarrow \frac{\sigma^2}{n} \cdot \frac{1}{4} \cdot \tilde{f}\Big( \frac{m-\mu}{\sigma} \Big)^{-2}.$$

ดังนั้นเราจึงมี:

$$\frac{\mathbb{V}(\bar{X}_n)}{\mathbb{V}(\tilde{X}_n)} \rightarrow 4 \cdot \tilde{f}\Big( \frac{m-\mu}{\sigma} \Big)^2.$$

$n$

$$\mathbb{V}(\bar{X}_n) < \mathbb{V}(\tilde{X}_n) \quad \quad \iff \quad \quad f_* \equiv \tilde{f} \Big( \frac{m-\mu}{\sigma} \Big) < \frac{1}{2}.$$

$n$$f_* = 1 / \sqrt{2 \pi} = 0.3989423 < 1/2$

ความคิดเห็น: เพียงเพื่อสะท้อนกลับการจำลองของคุณโดยใช้การกระจายที่ SD ของวิธีการและค่ามัธยฐานมีผลตรงข้าม:

โดยเฉพาะการnumsอยู่ในขณะนี้จากการกระจายเลซ (ที่เรียกว่า 'คู่ชี้แจง') ซึ่งสามารถจำลองเป็นความแตกต่างของทั้งสองกระจายชี้แจงกับอัตราเดียว (ที่นี่อัตราเริ่มต้น 1) [อาจเห็นWikipediaเกี่ยวกับการแจกแจงแบบ Laplace]

set.seed(2019)
nums = rexp(10^6) - rexp(10^6)
means=vector(mode = "numeric")
medians=vector(mode = "numeric")
for (i in 1:10^3) { b = sample(x=nums, 10^2); 
  medians[i]= median(b); means[i]=mean(b) }
sd(means)
[1] 0.1442126
sd(medians)
[1] 0.1095946   # <-- smaller

hist(nums, prob=T, br=70, ylim=c(0,.5),  col="skyblue2")
 curve(.5*exp(-abs(x)), add=T, col="red")

หมายเหตุ:เป็นไปได้อีกง่ายแน่ชัดในการเชื่อมโยง @ whuber ของเป็น Cauchy rt(10^6, 1)ซึ่งสามารถจำลองการกระจายเสื้อนักเรียนกับหนึ่งระดับของเสรีภาพ อย่างไรก็ตามหางของมันหนักมากจนทำให้ฮิสโตแกรมที่สวยงามนั้นเป็นปัญหาได้