เหตุใดการผสมของตัวแปรที่แจกแจงสองแบบปกติเท่านั้น bimodal หากค่าเฉลี่ยของพวกเขาแตกต่างกันอย่างน้อยสองเท่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทั่วไป?

28

ภายใต้การผสมผสานของการแจกแจงปกติสองรายการ:

https://en.wikipedia.org/wiki/Multimodal_distribution#Mixture_of_two_normal_distributions

"การผสมของการแจกแจงปกติสองแบบมีพารามิเตอร์ห้าตัวที่จะประมาณ: สองวิธี, ความแปรปรวนสองตัวและพารามิเตอร์การผสมการผสมของการแจกแจงสองแบบปกติที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากันนั้น bimodal เฉพาะในกรณีที่ค่าเฉลี่ยแตกต่างกันอย่างน้อยสองครั้ง ."

ฉันกำลังมองหาคำอธิบายที่ได้มาหรือคำอธิบายที่เข้าใจง่ายว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นจริง ฉันเชื่อว่ามันสามารถอธิบายได้ในรูปแบบของการทดสอบตัวอย่างสองตัวอย่าง:

\frac{μ_{1} - μ_{2}}{σ_{p}}

$\frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma_p}$

โดยที่คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่รวมไว้ $\sigma_p$

bimodal

— เอ็มวาซ
แหล่งที่มา

1

สัญชาตญาณคือถ้าหากค่าใกล้เกินไปจากนั้นจะมีการทับซ้อนกันมากในมวลของความหนาแน่น 2 ดังนั้นความแตกต่างในวิธีการจะไม่เห็นเพราะความแตกต่างจะได้รับการหุ้มด้วยมวลของทั้งสอง ความหนาแน่น หากทั้งสองวิธีนั้นแตกต่างกันเพียงพอมวลของความหนาแน่นทั้งสองจะไม่ทับซ้อนกันมากนักและความแตกต่างของค่าเฉลี่ยจะมองเห็นได้ แต่ฉันต้องการเห็นหลักฐานทางคณิตศาสตร์ของเรื่องนี้ มันเป็นคำสั่งที่น่าสนใจ ฉันไม่เคยเห็นมันมาก่อน

— mlofton

2

สำหรับการผสม 50:50 ของการแจกแจงปกติสองแบบด้วย SDถ้าคุณเขียนความหนาแน่นในรูปแบบเต็มแสดงพารามิเตอร์คุณจะ เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงของอนุพันธ์ที่สองลงชื่อที่จุดกึ่งกลางระหว่างสองหมายถึงเมื่อระยะห่างระหว่างหมายถึงเพิ่มขึ้นจากด้านล่างไปด้านบน

σ,

$\sigma,$

f (x) = 0.5 g_{1} (x) + 0.5 g_{2} (x)

$f(x) = 0.5g_1(x) + 0.5g_2(x)$

2 σ

$2\sigma$

— BruceET

1

ดูที่ "เกณฑ์ของ Rayleigh" en.wikipedia.org/wiki/Angular_resolution#Explanation

— Carl Witthoft

53

รูปนี้จากบทความที่เชื่อมโยงในบทความวิกินั้นมีภาพประกอบที่ดี:

หลักฐานที่พวกเขาให้นั้นขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าการแจกแจงแบบปกตินั้นเป็นเว้าภายใน SD หนึ่งหน่วยของค่าเฉลี่ย (SD นั้นเป็นจุดผันของไฟล์ pdf ปกติซึ่งจะไปจากเว้าถึงนูน) ดังนั้นหากคุณเพิ่มไฟล์ PDF ปกติสองไฟล์เข้าด้วยกัน (ในสัดส่วนที่เท่ากัน) ตราบใดที่ค่าเฉลี่ยของพวกเขาแตกต่างกันน้อยกว่า SDS สองตัว sum-pdf (เช่นส่วนผสม) จะถูกเว้าในพื้นที่ระหว่างสองช่องทางและดังนั้น ค่าสูงสุดทั่วโลกจะต้องอยู่ในจุดที่แน่นอนระหว่างค่าเฉลี่ยทั้งสอง

อ้างอิง: ชิลลิง, MF, Watkins, AE, และ Watkins, W. (2002) ความสูงของมนุษย์ Bimodal คืออะไร? นักสถิติชาวอเมริกัน 56 (3), 223–229 ดอย: 10.1198 / 00031300265

— Ruben van Bergen
แหล่งที่มา

11

+1 นี่เป็นอาร์กิวเมนต์ที่ดีและน่าจดจำ

— whuber

2

คำบรรยายใต้ภาพยังแสดงภาพประกอบที่ดีของการผูก 'ฟลอริด้า' ที่ถูกบิดเบือนใน 'inflection' :-P

— nekomatic

2

@Axeman: ขอบคุณที่เพิ่มการอ้างอิง - เนื่องจากนี่มันระเบิดขึ้นเล็กน้อยฉันวางแผนที่จะเพิ่มมันด้วยตัวเองเพราะฉันแค่ทำซ้ำการโต้เถียงของพวกเขาและฉันไม่ต้องการเครดิตมากเกินไป

— Ruben van Bergen

14

นี่เป็นกรณีที่รูปภาพสามารถหลอกลวงได้เนื่องจากผลลัพธ์นี้เป็นลักษณะพิเศษของสารผสมปกติ : อะนาล็อกไม่จำเป็นต้องมีไว้สำหรับสารผสมอื่น ๆ แม้ว่าจะเป็นส่วนประกอบที่มีการกระจายแบบสมมาตรแบบสมมาตร! ตัวอย่างเช่นการผสมที่เท่าเทียมกันของการแจกแจงของนักเรียนสองคนที่แยกกันโดยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานร่วมกันเล็กน้อยจะน้อยกว่าสองเท่าของพวกเขาจะเป็น bimodal สำหรับข้อมูลเชิงลึกที่แท้จริงเราต้องทำคณิตศาสตร์หรือดึงดูดคุณสมบัติพิเศษของการแจกแจงแบบปกติ

เลือกหน่วยของการวัด (โดย recentering และ rescaling ตามความจำเป็น) ที่จะวางวิธีการของการแจกแจงองค์ประกอบที่ $\pm\mu,$ $\mu\ge 0,$ และเพื่อให้มีความเป็นเอกภาพความแปรปรวนของพวกเขาร่วมกัน Let $p,$ $0 \lt p \lt 1,$ เป็นปริมาณขององค์ประกอบที่มีขนาดใหญ่เฉลี่ยในส่วนผสม สิ่งนี้ทำให้เราสามารถแสดงความหนาแน่นของการผสมในลักษณะทั่วไปอย่างเต็มที่

\sqrt{2 π} f (x; μ, p) = p \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2}) + (1 - p) \exp (- \frac{(x + μ)^{2}}{2}) .

$\sqrt{2\pi}f(x;\mu,p) = p \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2}\right) + (1-p) \exp\left(-\frac{(x+\mu)^2}{2}\right).$

เพราะทั้งสองมีความหนาแน่นเพิ่มองค์ประกอบที่ $x\lt -\mu$ และลดที่ $x\gt \mu,$ เท่านั้นที่เป็นไปได้เกิดขึ้นที่โหมด $-\mu\le x \le \mu.$ ค้นหาพวกมันโดยแยกความแตกต่าง $f$ เทียบกับ $x$ แล้วตั้งค่าเป็นศูนย์ การล้างค่าสัมประสิทธิ์เชิงบวกใด ๆ ที่เราได้รับ

0 = - e^{2 x μ} p (x - μ) + (1 - p) (x + μ) .

$0 = -e^{2x\mu} p(x-\mu) + (1-p)(x+\mu).$

การดำเนินการที่คล้ายกันกับอนุพันธ์อันดับสองของ $f$ และแทนที่ $e^{2x\mu}$ โดยค่าที่กำหนดโดยสมการก่อนหน้านี้บอกเราว่าสัญลักษณ์ของอนุพันธ์อันดับสองที่จุดวิกฤติใด ๆ คือเครื่องหมายของ

f^{''} (x; μ, p) \propto \frac{(1 + x^{2} - μ^{2})}{x - μ} .

$f^{\prime\prime}(x;\mu,p) \propto \frac{(1+x^2-\mu^2)}{x-\mu}.$

ตั้งแต่ตัวหารเป็นลบเมื่อ $-\mu\lt x \lt \mu,$ สัญลักษณ์ของ $f^{\prime\prime}$ เป็นที่ของ $-(1-\mu^2 + x^2).$ เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อ $\mu\le 1,$ ป้ายจะต้องเป็นเชิงลบ อย่างไรก็ตามในการแจกแจงแบบมัลติโมดัล (เนื่องจากความหนาแน่นนั้นต่อเนื่อง) จะต้องมีแอนทายไดดรอระหว่างโหมดสองโหมดโดยที่เครื่องหมายนั้นไม่เป็นลบ ดังนั้นเมื่อ $\mu$ น้อยกว่า $1$ (SD) การกระจายจะต้องเป็นแบบ unimodal

เนื่องจากการแยกของค่าเฉลี่ยคือ $2\mu,$ ข้อสรุปของการวิเคราะห์นี้คือ

ส่วนผสมของการแจกแจงแบบปกติเป็นแบบ unimodal เมื่อใดก็ตามที่ค่าเฉลี่ยถูกคั่นด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทั่วไปไม่เกินสองเท่า

มันมีเหตุผลเทียบเท่ากับข้อความในคำถาม

— whuber
แหล่งที่มา

12

ความคิดเห็นจากด้านบนวางที่นี่เพื่อความต่อเนื่อง:

f (x) = 0.5 g_{1} (x) + 0.5 g_{2} (x)

$f(x)=0.5g_1(x)+0.5g_2(x)$

ความคิดเห็นต่อ:

$\sigma=1.$ $3\sigma, 2\sigma,$ $\sigma,$

รหัส R สำหรับรูป:

par(mfrow=c(1,3))
  curve(dnorm(x, 0, 1)+dnorm(x,3,1), -3, 7, col="green3", 
    lwd=2,n=1001, ylab="PDF", main="3 SD: Dip")
  curve(dnorm(x, .5, 1)+dnorm(x,2.5,1), -4, 7, col="orange", 
    lwd=2, n=1001,ylab="PDF", main="2 SD: Flat")
  curve(dnorm(x, 1, 1)+dnorm(x,2,1), -4, 7, col="violet", 
    lwd=2, n=1001, ylab="PDF", main="1 SD: Peak")
par(mfrow=c(1,3))

— BruceET
แหล่งที่มา

1

คำตอบทั้งหมดนั้นยอดเยี่ยม ขอบคุณ

— mlofton

3

2 / 3

$2/3$

0.001.

$0.001.$

1

0.1 %

$0.1\%$

f

$f$

x_{0})

$x_0)$

f (x_{0}) - f (x) \leq 0.001 f (x_{0}) ⟺ | x - x_{0} | \leq 0.333433,

$f(x_0)-f(x)\le 0.001 f(x_0)\ \iff\ |x-x_0|\le 0.333433,$

0.001

$0.001$

0.95832

$0.95832$

f (x_{0}) - f (x) \leq 0.001 ⟺ | x - x_{0} | \leq 0.47916.

$f(x_0)-f(x)\le 0.001\ \iff\ |x-x_0|\le 0.47916.$

จุดที่ดี จริงๆแล้วสิ่งที่ฉันหมายถึงโดยย่อภาษา 'แบน' เป็นศูนย์ 2 อนุพันธ์ที่ตรงกลาง

— BruceET