ความสัมพันธ์ที่สามารถบรรลุได้สำหรับตัวแปรสุ่ม lognormal

พิจารณา lognormal ตัวแปรสุ่ม$X_1$และ$X_2$กับ$\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$และ$\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ )

$\rho_{\max}$$\rho_{\min}$$\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$และ $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

แต่พวกเขาได้ทำการอ้างอิงถึง comonotonicity และ countercomonotonicity ฉันหวังว่าจะมีคนช่วยให้ฉันเข้าใจว่าพวกเขาเกี่ยวข้องกันอย่างไร (ฉันรู้วิธีที่จะได้รับสิ่งนี้จากการแสดงออกทั่วไป แต่ต้องการที่จะรู้ว่าสิ่งที่ส่วน comonotonicity กำลังพูด)

ฉันจะเริ่มต้นด้วยการให้ความหมายของcomonotonicityและcountermonotonicity จากนั้นฉันจะพูดถึงสาเหตุที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ขั้นต่ำและสูงสุดที่เป็นไปได้ระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัว และในที่สุดฉันจะคำนวณขอบเขตเหล่านี้สำหรับ lognormal ตัวแปรสุ่มและX_2$X_1$$X_2$

Comonotonicity และ countermonotonicity
ตัวแปรสุ่มถูกกล่าวว่าเป็นcomonotonicถ้าcopulaของพวกเขาคือFréchetบนขอบเขตซึ่งแข็งแกร่งที่สุด ประเภทของการพึ่งพา "บวก" มันสามารถแสดงให้เห็นว่าเป็น comonotonic หาก ที่คือตัวแปรสุ่มบางตัวกำลังเพิ่มฟังก์ชั่นและ M ( u 1 , … , u d ) = min ( u 1 , … , u d ) X 1 , … , X d ( X 1 , … , X d ) d = ( h 1 ( Z ) , … , h d ( Z ) $X_1, \ldots, X_d$ $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$
$X_1, \ldots, X_d$Z ชั่วโมง1 , … , h d d

$$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$$ $Z$$h_1, \ldots, h_d$$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$หมายถึงความเท่าเทียมกันในการจัดจำหน่าย ดังนั้นตัวแปรสุ่ม comonotonic เป็นเพียงฟังก์ชั่นของตัวแปรสุ่มเดียว

ตัวแปรสุ่มถูกกล่าวว่าเป็นcountermonotonicถ้า copula ของพวกเขาคือFréchetขอบเขตล่างซึ่งเป็นประเภทที่แข็งแกร่งที่สุดของการ "ลบ" ในการพึ่งพาอาศัยกัน กรณีที่แบ่งเป็นสองส่วน Countermonotonocity ไม่ได้พูดถึงขนาดที่สูง มันสามารถแสดงให้เห็นว่าเป็น countermonotonic หาก ที่คือตัวแปรสุ่มบางตัว และและเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลงตามลำดับหรือในทางกลับกัน$X_1, X_2$ X 1 , X 2 ( X 1 , X 2 ) d = ( h 1 ( Z ) , h 2 ( Z ) ) , Z ชั่วโมง1 ชั่วโมง$W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$

$$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$$ $Z$$h_1$$h_2$

ความสัมพันธ์สำเร็จ
Letและเป็นสองตัวแปรสุ่มที่มีความแปรปรวนอย่างเคร่งครัดในเชิงบวกและ จำกัด และให้และแสดงต่ำสุดและค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เป็นไปได้สูงสุดระหว่างและX_2จากนั้นก็สามารถแสดงให้เห็นว่าX 2 ρ นาที ρ สูงสุด X 1 X $X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$ถ้าหากว่าและนั้นมีการกันเท่านั้นX $X_1$$X_2$
• ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ถ้าหากว่าและเป็น comonotonic เท่านั้นX $X_1$$X_2$

ความสัมพันธ์ที่สามารถบรรลุได้สำหรับตัวแปรสุ่ม lognormal
เพื่อให้ได้เราใช้ความจริงที่ว่าค่าสหสัมพันธ์สูงสุดนั้นมาถึงหากและเป็น comonotonic เท่านั้น ตัวแปรสุ่มและโดยที่เป็น comonotonic เนื่องจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันเพิ่มมากขึ้น (อย่างเคร่งครัด) และด้วยเหตุนี้ขวา) X 1 X 2 X 1 = e Z X 2 = e σ Z Z ∼ N ( 0 , 1 ) ρ สูงสุด = c o r r ( e Z , e σ Z$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$X_1 = e^{Z}$$X_2 = e^{\sigma Z}$$Z \sim {\rm N} (0, 1)$$\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

การใช้คุณสมบัติของตัวแปรสุ่ม lognormalเรามี , , , และความแปรปรวนร่วมคือ ดังนั้น E ( E σ Z ) = อีσ 2 / 2วีR ( อีซี ) = E ( E - 1 ) วีR ( E σ Z ) = อีσ 2 ( อีσ 2 - 1 ) c o v ( e ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$

$$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

การคำนวณที่คล้ายกันกับให้ผลผลิต $X_2 = e^{-\sigma Z}$

$$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

ความคิดเห็น
ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้ที่จะมีคู่ของตัวแปรสุ่มที่ขึ้นอยู่กับอย่างมาก - comonotonicity และ countermonotonicity เป็นประเภทที่แข็งแกร่งที่สุดของการพึ่งพา - แต่มันมีความสัมพันธ์ต่ำมาก ต่อไปนี้แสดงให้เห็นแผนภูมิขอบเขตเหล่านี้เป็นหน้าที่ของ\$\sigma$

นี่คือรหัส R ที่ฉันใช้สร้างแผนภูมิด้านบน

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)