ปัญหา Monty Hall กับ Monty ที่ตกลงมาได้

มอนตี้มีความรู้ที่สมบูรณ์แบบว่าประตูมีแพะอยู่ข้างหลัง (หรือว่างเปล่า) ข้อเท็จจริงนี้ช่วยให้ผู้เล่นเพิ่มอัตราความสำเร็จเป็นสองเท่าเมื่อเวลาผ่านไปโดยสลับ“ เดา” ไปที่ประตูอื่น จะเป็นอย่างไรถ้าความรู้ของมอนตี้น้อยกว่าสมบูรณ์ เกิดอะไรขึ้นถ้าบางครั้งรางวัลอย่างแท้จริงอยู่ในประตูเดียวกับแพะ? แต่คุณไม่สามารถมองเห็นมันจนกว่าคุณจะเลือกและเปิดประตูของคุณ? คุณช่วยฉันในการทำความเข้าใจวิธีคำนวณ IF และเพิ่มขึ้นได้อย่างไร - ผู้เล่นสามารถปรับปรุงความสำเร็จของเขาได้เมื่ออัตราความแม่นยำของ Monty น้อยกว่า 100%? ตัวอย่างเช่น: เกิดอะไรขึ้นถ้า Monty ผิด - โดยเฉลี่ย 50% ของเวลา? ผู้เล่นยังคงได้ประโยชน์จากการเปลี่ยน Guess / Door ของเขาหรือไม่? ฉันคิดว่าถ้ามอนตี้มีโอกาสน้อยกว่า 33.3% ที่จะแก้ไขว่ารางวัลไม่ได้อยู่หลังประตูตัวเลือกที่ดีที่สุดของผู้เล่นคือการไม่เปลี่ยนทางเลือกของเขา คุณช่วยบอกวิธีคำนวณผลประโยชน์ที่อาจเกิดขึ้นจากการสลับโดยการแทรกความน่าจะเป็นต่าง ๆ ของ Monty ที่ถูกต้องเกี่ยวกับรางวัลที่ไม่ได้อยู่หลังประตูหรือไม่? ฉันไม่มีอะไรนอกเหนือจากคณิตศาสตร์ของโรงเรียนมัธยมและอายุ 69 ปีดังนั้นโปรดอ่อนโยน

---

ขอบคุณสำหรับข้อมูลเชิงลึกและสูตรที่มีให้ ดูเหมือนว่าหาก "Fallible Monty" มีความถูกต้อง 66% เท่านั้นในการทำนายการไม่มีรางวัล / รถยนต์ว่ามีประโยชน์เป็นศูนย์ที่จะเปลี่ยนจากทางเลือกเดิมของประตู .... เนื่องจากอัตราความผิดพลาด 33% ของเขาเป็นค่าเริ่มต้น อัตราฐานสำหรับรางวัลอยู่หลังประตูใด ๆ อย่างไรก็ตามหนึ่งสมมติว่าหาก Monty ได้รับดีกว่า 66% ในการทำนายว่าไม่มีการรับรางวัลจากนั้นการสลับจะได้รับยูทิลิตี้ที่มากขึ้น ฉันจะพยายามใช้เหตุผลนี้กับเกมที่ "ผู้เชี่ยวชาญ" สร้าง "การคาดการณ์ของผู้เชี่ยวชาญ" ว่าหนึ่งในสามตัวเลือกที่น่าจะเป็นไปได้เท่าเทียมกันจะเป็นตัวเลือกที่ถูกต้อง ฉันมีความเชื่อมั่นน้อยในผู้เชี่ยวชาญว่าถูกต้องและฉันค่อนข้างแน่ใจว่า "อัตราการเข้าชม" ของเขาจะน้อยกว่า 33% - มากขึ้นเช่น 15% บทสรุปของฉันจากสิ่งนี้จะเป็นอย่างนั้นเมื่อ "เดียวกันตัวเลือกที่เป็นฉันฉันอาจจะไม่ถูกต้องสำหรับการตรวจสอบและควรเปลี่ยนให้เป็นหนึ่งในอีกสอง! ;-)

เริ่มจากปัญหามอนตี้ฮอลล์กันก่อน สามประตูซึ่งอยู่หลังหนึ่งในนั้นคือรถยนต์ อีกสองคนมีแพะอยู่ข้างหลังพวกเขา คุณเลือกประตูหมายเลข 1 และมอนตี้เปิดประตูหมายเลข 2 เพื่อแสดงให้คุณเห็นว่ามีแพะอยู่ข้างหลัง คุณควรเปลี่ยนการเดาเป็นหมายเลข 3 ของประตูหรือไม่ (โปรดทราบว่าตัวเลขที่เราใช้อ้างถึงประตูแต่ละบานไม่สำคัญที่นี่เราสามารถเลือกลำดับใดก็ได้และปัญหาเหมือนกันดังนั้นเพื่อทำให้สิ่งต่าง ๆ ง่ายขึ้นเราก็สามารถใช้หมายเลขนี้ได้)

คำตอบของหลักสูตรคือใช่อย่างที่คุณรู้อยู่แล้ว แต่มาดูการคำนวณเพื่อดูว่ามันเปลี่ยนไปในภายหลัง ให้เป็นดัชนีประตูพร้อมรถยนต์และแสดงถึงเหตุการณ์ที่ Monty เปิดเผยว่าประตู 2 มีแพะ เราจำเป็นต้องคำนวณM) หากสิ่งนี้มีขนาดใหญ่กว่าเราต้องเปลี่ยนการเดาของเราเป็นประตูนั้น (เนื่องจากเรามีตัวเลือกเหลืออยู่สองตัวเท่านั้น) ความน่าจะเป็นนี้ได้รับจาก: (นี่เป็นเพียงการใช้กฎของเบย์กับแบนก่อนบน )เท่ากับ 1: ถ้ารถอยู่หลังประตูหมายเลข 3 Monty ไม่มีทางเลือกอื่นนอกจากเปิดหมายเลขประตู 2 อย่างที่เขาทำ $C$$M$$p(C=3|M)$$1/2$

$$p(C=3|M)=\frac{p(M|C=3)}{p(M|C=1)+p(M|C=2)+p(M|C=3)}$$ $C$$p(M|C=3)$$p(M|C=1)$เท่ากับ : ถ้ารถอยู่ด้านหลังประตู 1 ดังนั้นมอนตี้ก็มีทางเลือกในการเปิดประตูที่เหลืออยู่หนึ่งในนั้นคือ 2 หรือ 3เท่ากับ 0 เพราะมอนตี้ไม่เคยเปิดประตูที่เขา รู้ว่ามีรถ เมื่อกรอกตัวเลขเหล่านี้เราจะได้รับ: ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่เราคุ้นเคย$1/2$$p(M|C=2)$ $$p(C=3|M)=\frac{1}{0.5+0+1}=\frac{2}{3}$$

ตอนนี้ลองมาพิจารณากรณีที่ Monty ไม่มีความรู้ที่สมบูรณ์แบบว่าประตูใดมีรถ ดังนั้นเมื่อเขาเลือกประตูของเขา (ซึ่งเราจะเรียกว่าประตูหมายเลข 2) เขาอาจเลือกรถด้วยบังเอิญเพราะเขาคิดว่ามันมีแพะ ให้เป็นประตูที่ Monty คิดว่ามีรถอยู่และให้เป็นความน่าจะเป็นที่เขาคิดว่ารถอยู่ในสถานที่หนึ่งโดยมีเงื่อนไขตามตำแหน่งที่แท้จริง เราจะคิดว่านี้จะอธิบายโดยพารามิเตอร์เดียวที่กำหนดความถูกต้องของเขาเช่นว่าx) ถ้าเท่ากับ 1 Monty นั้นถูกเสมอ ถ้า$C'$$p(C'|C)$$q$$p(C'=x|C=x) = q = 1-p(C'\neq x|C=x)$$q$$q$คือ 0 Monty ผิดเสมอ (ซึ่งยังคงให้ข้อมูล) ถ้าเป็นข้อมูลของ Monty ไม่ดีไปกว่าการคาดเดาแบบสุ่ม$q$$1/3$

ซึ่งหมายความว่าตอนนี้เรามี:

$$p(M|C=3) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=3)$$ $$= p(M|C'=1)p(C'=1|C=3) + p(M|C'=2)p(C'=2|C=3) + p(M|C'=3)p(C'=3|C=3)$$ $$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}(1-q) + 0\times \frac{1}{2}(1-q) + 1 \times q$$ $$= \frac{1}{4} - \frac{q}{4} + q = \frac{3}{4}q+\frac{1}{4}$$

นั่นคือถ้ารถอยู่ข้างหลังประตู 3 อย่างแท้จริงมีความเป็นไปได้สามอย่างที่สามารถเล่นได้: (1) มอนตี้คิดว่ามันอยู่หลัง 1, (2) มอนตี้คิดว่า 2 หรือ (3) คิดมอนตี้ 3 ตัวเลือกสุดท้ายเกิดขึ้น ด้วยความน่าจะเป็น (ความถี่ที่เขาทำให้ถูกต้อง), อีกสองคนแยกความน่าจะเป็นที่เขาทำผิดระหว่างพวกเขา จากนั้นในแต่ละสถานการณ์ความน่าจะเป็นที่เขาจะเลือกชี้ไปที่ประตูหมายเลข 2 เหมือนที่เขาทำคืออะไร? ถ้าเขาคิดว่ารถอยู่ข้างหลัง 1 ความน่าจะเป็นนั้นคือ 1 ใน 2 เนื่องจากเขาเลือกได้ 2 หรือ 3 ถ้าเขาคิดว่ามันอยู่หลัง 2 เขาจะไม่เลือกที่จะชี้ไปที่ 2 ถ้าเขาคิดว่ามันอยู่ข้างหลัง 3 เขามักจะเลือก 2$q$$(1-q)$

เราสามารถหาความน่าจะเป็นที่เหลือได้ในทำนองเดียวกัน:

$$p(M|C=1) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=1)$$ $$=\frac{1}{2}\times q + 1\times \frac{1}{2}(1-q)$$ $$=\frac{q}{2}+\frac{1}{2}-\frac{q}{2}=\frac{1}{2}$$

$$p(M|C=2) = \sum_x p(M|C'=x)p(C'=x|C=2)$$ $$=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}(1-q) + 1 \times\frac{1}{2}(1-q)$$ $$=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}q$$

เมื่อกรอกข้อมูลทั้งหมดนี้เราจะได้รับ: เป็นการตรวจสุขภาพ เมื่อเราจะเห็นว่าเราได้รับกลับคำตอบเดิมของเรา{3}

$$p(C=3|M)=\frac{\frac{3}{4}q+\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}q+\frac{3}{4}q+\frac{1}{4}}$$ $$=\frac{0.75q+0.25}{1.5}$$ $q=1$$\frac{1}{1.5}=\frac{2}{3}$

ดังนั้นเราควรเปลี่ยนเมื่อไหร่? ฉันจะสมมติความเรียบง่ายที่เราไม่ได้รับอนุญาตให้เปลี่ยนไปที่ประตู Monty ชี้ไปที่ และในความเป็นจริงตราบใดที่ Monty อย่างน้อยน่าจะถูกต้อง (มากกว่าการคาดเดาแบบสุ่ม) ประตูที่เขาชี้ไปจะมีโอกาสน้อยกว่าคนอื่น ๆ ที่มีรถดังนั้นนี่ไม่ใช่ตัวเลือกที่ทำงานได้ สำหรับเราต่อไป ดังนั้นเราจำเป็นต้องพิจารณาความน่าจะเป็นของประตู 1 และ 3 แต่ในขณะที่มันเป็นไปไม่ได้สำหรับรถที่อยู่ด้านหลังประตู 2 ตัวเลือกนี้ตอนนี้มีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์และดังนั้นจึงไม่ใช่กรณีที่เราควรเปลี่ยน เมื่อแต่เราควรสลับเมื่อ (ซึ่งเคยเป็นสิ่งเดียวกัน) ความน่าจะเป็นนี้ได้รับจาก$p(C=3|M)>0.5$$p(C=3|M)>p(C=1|M)$$p(C=1|M)=\frac{0.5}{1.5}=\frac{1}{3}$เช่นเดียวกับในปัญหา Monty Hall ดั้งเดิม (สิ่งนี้สมเหตุสมผลเนื่องจาก Monty ไม่สามารถชี้ไปที่ประตู 1 ได้โดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่อยู่ด้านหลังและดังนั้นเขาจึงไม่สามารถให้ข้อมูลเกี่ยวกับประตูนั้นได้ แต่เมื่อความแม่นยำของเขาลดลงต่ำกว่า 100% ผลกระทบก็คือ 2 มีรถยนต์จริง ๆ ) ดังนั้นเราต้องหาเช่นนั้นว่า : $q$$p(C=3|M) > \frac{1}{3}$

$$\frac{0.75q+0.25}{1.5}>\frac{1}{3}$$ $$0.75q+0.25 > 0.5$$ $$0.75q > 0.25$$ $$q > \frac{1}{3}$$ ดังนั้นโดยทั่วไปนี่เป็นวิธีที่ยืดยาวมากในการค้นหาว่าตราบใดที่ความรู้ของ Monty เกี่ยวกับตำแหน่งที่แท้จริงของรถดีกว่าการคาดเดาแบบสุ่มคุณควรสลับประตู (ซึ่งจริง ๆ แล้วเห็นได้ชัดเมื่อคุณคิดถึงมัน ) นอกจากนี้เรายังสามารถคำนวณได้ว่าเราจะชนะมากแค่ไหนเมื่อเราสลับซึ่งเป็นหน้าที่ของความแม่นยำของ Monty ตามที่ได้รับจาก: (ซึ่งเมื่อให้คำตอบของ 2 ตรงกับความจริงที่ว่า เราเพิ่มโอกาสในการชนะโดยการเปลี่ยนประตูในปัญหา Monty Hall ดั้งเดิม) $$\frac{p(C=3|M)}{p(C=1|M)}$$ $$=\frac{\frac{0.75q+0.25}{1.5}}{\frac{1}{3}}=1.5q+0.5$$ $q=1$

แก้ไข: ผู้คนกำลังถามถึงสถานการณ์ที่เราได้รับอนุญาตให้สลับไปที่ประตูที่ Monty ชี้ไปซึ่งจะได้เปรียบเมื่อคือเมื่อ Monty เป็น "คนโกหก" ที่น่าเชื่อถือ ในสถานการณ์ที่รุนแรงที่สุดเมื่อนี่หมายถึงประตูของมอนตี้คิดว่ามีรถจริงๆแล้วมีแพะ อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าประตูทั้งสองที่เหลือยังสามารถมีรถยนต์หรือแพะได้$q<\frac{1}{3}$$q=0$

ประโยชน์ของการสลับไปที่ประตู 2 มอบให้โดย: ซึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 1 เท่านั้น (และดังนั้นจึงคุ้มค่าที่จะเปลี่ยนไปที่ประตูนั้น) ถ้า , เช่นถ้าซึ่งเรา ก่อตั้งขึ้นแล้วเป็นจุดเปลี่ยน น่าสนใจประโยชน์ที่เป็นไปได้สูงสุดสำหรับการสลับไปที่ประตู 2 เมื่อมีเพียง 1.5 เมื่อเทียบกับอัตราต่อรองที่ชนะของคุณในปัญหา Monty Hall ดั้งเดิม (เมื่อ )

$$\frac{p(C=2|M)}{p(C=1|M)} = \frac{ \frac{0.75 - 0.75q}{1.5} } { \frac{1}{3} } = 1.5-1.5q$$ $1.5q<0.5$$q<\frac{1}{3}$$q=0$$q=1$

โซลูชันทั่วไปได้รับจากการรวมสองกลยุทธ์การสลับ: เมื่อคุณจะสลับไปที่ประตู 3 เสมอ มิฉะนั้นเปลี่ยนไปที่ประตู 2 $q>\frac{1}{3}$

นี่ควรเป็นรูปแบบที่ค่อนข้างง่ายของปัญหา (แม้ว่าฉันจะบันทึกพื้นหลังคณิตศาสตร์ที่ จำกัด ของคุณดังนั้นฉันเดาว่ามันเป็นญาติกัน) ผมขอแนะนำให้คุณพยายามที่จะกำหนดวิธีการเงื่อนไขในการไม่ว่าจะเป็น Monte เป็นความผิดหรือทำผิดได้อย่างเต็มที่ กรณีแรกเป็นเพียงปัญหามอนเต้ฮอลล์ธรรมดาดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำงานที่นั่น ในกรณีที่สองคุณจะถือว่าประตูที่เขาเลือกเป็นแบบสุ่มเหนือประตูทุกบานรวมถึงประตูที่มีรางวัล (กล่าวคือเขาอาจจะยังคงเลือกประตูที่ไม่มีรางวัล แต่ตอนนี้เป็นการสุ่ม) หากคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของการชนะในแต่ละกรณีคุณจะใช้กฎความน่าจะเป็นรวม เพื่อกำหนดความน่าจะเป็นชนะที่เกี่ยวข้องในกรณีที่ Monte มีระดับความผิดพลาดที่ระบุไว้บางส่วน (ระบุโดยความน่าจะเป็นที่เราจะผิดพลาดและผิดพลาดได้ทั้งหมด)

จากความเห็นเกี่ยวกับคำตอบของเบ็นฉันจะเสนอการตีความที่แตกต่างกันสองแบบของ Monty Hall นี้ซึ่งแตกต่างจาก Ruben van Bergen

คนแรกที่ฉันจะเรียก Liar Monty และคนที่สองที่ไม่น่าเชื่อถือ Monty ในทั้งสองเวอร์ชันปัญหาจะดำเนินการดังนี้:

(0) มีประตูสามบานอยู่หลังหนึ่งในนั้นคือรถยนต์และอีกสองหลังเป็นแพะกระจายแบบสุ่ม

(1) ผู้เข้าแข่งขันเลือกประตูโดยการสุ่ม

(2) มอนตี้เลือกประตูที่แตกต่างจากประตูของผู้เข้าประกวดและอ้างว่าแพะอยู่ข้างหลังมัน

(3) ผู้เข้าแข่งขันเสนอให้เปลี่ยนไปที่ประตูที่ไม่ได้รับคะแนนคนที่สามและปัญหาคือ "เมื่อใดที่ผู้เข้าแข่งขันควรเปลี่ยนเพื่อเพิ่มความน่าจะเป็นในการหารถที่อยู่ด้านหลังประตู"

ใน Liar Monty ที่ขั้นตอน (2) หากผู้เข้าแข่งขันเลือกประตูที่มีแพะแล้ว Monty เลือกประตูที่มีรถที่มีความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้ล่วงหน้า (เช่นมีโอกาสอยู่ระหว่าง 0 ถึง 100% ว่าเขาจะโกหกว่า แพะอยู่หลังประตู) โปรดทราบว่าในตัวแปรนี้ Monty ไม่เคยเลือกประตูที่มีรถ (กล่าวคือไม่สามารถโกหกได้) หากผู้แข่งขันเลือกรถในขั้นตอนที่ (1)

ใน Monty ที่ไม่น่าเชื่อถือมีความเป็นไปได้ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าว่า Monty pick ของประตูในขั้นตอนที่ (2) มีรถยนต์ ฉันรับความคิดเห็นของคุณจากคำตอบของเบ็นว่านี่เป็นสถานการณ์ที่คุณสนใจและทั้งสองเวอร์ชั่นต่างจาก Ruben van Bergen โปรดทราบว่า Monty ที่ไม่น่าเชื่อถือนั้นไม่เหมือนกับ Monar Liar; เราจะแยกความแตกต่างอย่างจริงจังระหว่างสองกรณีนี้ในภายหลัง แต่ให้พิจารณาสิ่งนี้ในสถานการณ์นี้ประตูของมอนตี้ไม่สามารถบรรจุรถยนต์ได้มากกว่าของเวลาเนื่องจากผู้แข่งขันมีความน่าจะเป็นที่จะเลือกรถของเวลา .$\frac{2}{3}$$\frac{1}{3}$

ในการตอบปัญหาเราจะต้องใช้สมการบางอย่าง ฉันจะลองและวลีคำตอบของฉันเพื่อให้สามารถเข้าถึงได้ สองสิ่งที่ฉันหวังว่าไม่สับสนเกินไปคือการใช้สัญลักษณ์เชิงพีชคณิตและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข สำหรับอดีตเราจะใช้สัญลักษณ์เพื่อแสดงสิ่งต่อไปนี้:

$$\begin{split} S &= \text{The car is behind the door the contestant can switch to.}\\ \bar{S} &= \text{The car is not behind the door the contestant can switch to.}\\ M &= \text{The car is behind the door Monty chose.}\\ \bar{M} &= \text{The car is not behind the door Monty chose.}\\ C &= \text{The car is behind the door the contestant chose in step (1).}\\ \bar{C} &= \text{The car is not behind the door the contestant chose in step (1).} \end{split}$$

เราใช้เพื่อแสดงว่า "ความน่าจะเป็น " ดังนั้นการรวมกันบางอย่างเช่นหมายถึงความน่าจะเป็นที่รถไม่ได้อยู่หลังประตูมอนตี้เลือก (เช่นที่ใดก็ตามที่คุณเห็นการแสดงออกที่เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์แทนที่สัญลักษณ์ด้วย "อังกฤษ" เทียบเท่า)$\Pr(*)$$*$$\Pr(\bar{M})$

นอกจากนี้เรายังจะต้องมีความเข้าใจเบื้องต้นเกี่ยวกับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขซึ่งประมาณความน่าจะเป็นของสิ่งที่เกิดขึ้นถ้าคุณมีความรู้เกี่ยวกับเหตุการณ์อื่นที่เกี่ยวข้อง ความน่าจะเป็นนี้จะมีการแสดงที่นี่โดยการแสดงออกเช่น{M}) แถบแนวตั้งสามารถคิดได้ว่าเป็นนิพจน์ "ถ้าคุณรู้" เพื่อให้สามารถอ่านได้ว่า "ความน่าจะเป็นที่ประตูผู้เข้าแข่งขันสามารถสลับไปที่รถถ้าคุณรู้ว่า รถไม่ได้อยู่หลังประตู Monty ในปัญหา Monty Hall ดั้งเดิมซึ่งมีขนาดใหญ่กว่าซึ่งสอดคล้องกับกรณีที่ Monty ไม่ได้ให้ข้อมูลใด ๆ แก่คุณ$\Pr(S|\bar{M})$$|$$\Pr(S|\bar{M})$$\Pr(S|\bar{M}) = \frac{2}{3}$$\Pr(S) = \frac{1}{3}$

ตอนนี้ฉันจะแสดงให้เห็นว่า Monty ที่ไม่น่าเชื่อถือเทียบเท่ากับ Liar Monty ใน Liar Monty เราจะได้รับปริมาณความน่าจะเป็นที่ Monty จะโกหกเกี่ยวกับประตูของเขาโดยรู้ว่าผู้แข่งขันไม่ได้เลือกรถ ในมอนตี้ที่ไม่น่าเชื่อถือเราจะได้รับปริมาณความน่าจะเป็นที่มอนตี้อยู่ที่ประตูของเขา การใช้คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและได้รับการจัดเรียงใหม่:$\Pr(M|\bar{C})$$\Pr(M)$ $\Pr(M \text{ and } \bar{C}) = \Pr(\bar{C} | M) \Pr(M) = \Pr(M | \bar{C}) \Pr(\bar{C})$

$$\begin{split} \Pr(M) &= \frac{\Pr(M | \bar{C}) \Pr(\bar{C})}{\Pr(\bar{C} | M)}\\ \frac{3}{2} \Pr(M) &= \Pr(M | \bar{C}), \end{split}$$ ตั้งแต่ความน่าจะเป็นที่รถเป็น ไม่ใช่หลังประตูที่เลือกของผู้เข้าแข่งขันคือและความน่าจะเป็นที่รถไม่ได้อยู่หลังประตูที่เลือกของผู้แข่งขันถ้าเรารู้ว่ามันอยู่ด้านหลังประตูของ Monty เป็นหนึ่งเดียว$\Pr(\bar{C})$$\frac{2}{3}$$\Pr(\bar{C} | M)$

ดังนั้นเราได้แสดงการเชื่อมต่อระหว่าง Monty ที่ไม่น่าเชื่อถือ (แสดงโดย LHS ของสมการข้างต้น) และ Liar Monty (แสดงโดย RHS) ในกรณีที่สุดของ Monty ที่ไม่น่าเชื่อถือที่ Monty เลือกประตูที่ซ่อนรถของเวลานี่เท่ากับ Monty ที่โกหกตลอดเวลาใน Liar Monty หากผู้เข้าแข่งขันได้เลือกแพะอย่างชาญฉลาด .$\frac{2}{3}$

เมื่อแสดงอย่างนี้แล้วฉันจะให้ข้อมูลมากพอที่จะตอบปัญหา Monty Hall ฉบับ Liar ได้ เราต้องการที่จะคำนวณ(S) การใช้กฎความน่าจะเป็นทั้งหมด :$\Pr(S)$

$$\begin{split} \Pr(S) &= \Pr(S|C)\Pr(C) + \Pr(S|\bar{C} \text{ and } M)\Pr(\bar{C} \text{ and } M) + \Pr(S|\bar{C} \text{ and } \bar{M})\Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M})\\ &= \Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M}) \end{split}$$ ตั้งแต่ และ (ทำให้คุณมั่นใจในสิ่งนี้!)$\Pr(S|C) = \Pr(S|\bar{C} \text{ and } M) = 0$$\Pr(S|\bar{C} \text{ and } \bar{M}) = 1$

อย่างต่อเนื่อง:

$$\begin{split} \Pr(S) &= \Pr(\bar{C} \text{ and } \bar{M})\\ &= \Pr(\bar{M} | \bar{C}) \Pr(\bar{C}) \\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\Pr(M | \bar{C})) \end{split}$$

คุณจะเห็นว่าเมื่อมอนตี้อยู่เสมอ (aka ) จากนั้นคุณมีโอกาสชนะถ้าคุณเปลี่ยนเป็นศูนย์เสมอและถ้าเขาไม่เคยโกหกความน่าจะเป็นที่รถอยู่ข้างหลัง ประตูที่คุณสามารถสลับไปเป็น{3}$\Pr(M | \bar{C})) = 1$$\Pr(S)$$\frac{2}{3}$

จากนี้คุณสามารถหากลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับทั้งคนโกหกและคนที่ไม่น่าเชื่อถือ

ภาคผนวก 1

ในการตอบสนองต่อความคิดเห็น (เน้นที่เหมือง):

"ฉันเพิ่มรายละเอียดเพิ่มเติมในความคิดเห็นของฉันไปที่ @alex - Monty ไม่เคยเป็นศัตรูหรือเป็นคนคดเคี้ยวเพียงแค่เชื่อฟังเพราะบางครั้งเขาอาจจะผิดด้วยเหตุผลใดก็ตามและไม่เคยเปิดประตูจริง ๆ การวิจัยแสดงให้เห็นว่า เวลาและรถกลายเป็นจริงนั่นคือความน่าจะเป็นหลังของการถูก 66.6% ของเวลาที่ถูกต้องหรือไม่Monty ไม่เคยเลือกประตูของคุณและคุณจะไม่เลือกเขาสมมติฐานเหล่านี้เปลี่ยนแปลงอะไรหรือไม่ "

นี่คือที่ฉันเข้าใจปัญหา Monty Hall ไม่น่าเชื่อถือนำมาใช้ในช่วงเริ่มต้นของคำตอบของฉัน

ดังนั้นหากประตูของ Monty มีรถของเวลาเรามีความเป็นไปได้ที่จะชนะเมื่อคุณเปลี่ยนไปที่ประตูที่ไม่มีคนขับเป็น:$\frac{1}{3}$

$$\begin{split} \Pr(S) &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\Pr(M | \bar{C})\\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \times \frac{3}{2}\Pr(M) \\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{3}\\ &= \frac{1}{3} \end{split}$$

ดังนั้นจึงไม่มีความแตกต่างระหว่างการสลับที่เหลืออยู่กับประตูเดิมหรือหากได้รับอนุญาตให้สลับไปที่ประตูที่เลือกของ Monty (สอดคล้องกับสัญชาตญาณของคุณ)

ด้วยเหตุผลบางอย่างผู้ดำเนินการตัดสินใจที่จะลบคำตอบของฉันเองสำหรับคำถามของฉันเนื่องจากมี "การอภิปราย" ฉันไม่เห็นวิธีที่ฉันสามารถอธิบายได้ว่าอะไรคือคำตอบที่ดีที่สุดโดยไม่พูดถึงสิ่งที่ทำให้มันใช้ได้ผลสำหรับฉันและจะนำไปใช้ในทางปฏิบัติอย่างไร

ฉันขอขอบคุณข้อมูลเชิงลึกและสูตรที่ให้ไว้ในคำตอบก่อนหน้า แต่ดูเหมือนว่ามันจะเป็นไปได้ว่าหาก "ทำผิดมอนตี้" เป็นเพียง 66% ที่ถูกต้องในการทำนายการขาดของรางวัล / รถแล้ว มีประโยชน์กับ ZERO เปลี่ยนจากทางเลือกเดิมของคุณของประตู .... เพราะอัตราความผิดพลาดของเขา 33% เป็นค่าเริ่มต้น อัตราฐานสำหรับรางวัลอยู่หลังประตูใด ๆ อย่างไรก็ตามหนึ่งสมมติว่าหาก Monty ได้รับดีกว่า 66% ในการทำนายว่าไม่มีการรับรางวัลจากนั้นการสลับจะได้รับยูทิลิตี้ที่มากขึ้น