รู้จัก Var (X), วิธีคำนวณ Var (1 / X)?

หากฉันมีเพียงฉันจะคำนวณอย่างไร $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$

ฉันไม่ได้มีข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับการกระจายของดังนั้นผมจึงไม่สามารถใช้การเปลี่ยนแปลงหรือวิธีการอื่นใดที่ใช้น่าจะเป็นของการกระจายX $X$ $X$

distributions variance data-transformation

— Arat
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่านี่อาจช่วยคุณได้

— Christoph_J

มันเป็นไปไม่ได้.

พิจารณาลำดับ $X_n$ ของตัวแปรสุ่มที่

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0.5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

แล้ว:

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

แต่เข้าใกล้ศูนย์เมื่อไปที่อนันต์: $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $n$

V a r (\frac{1}{X_{n}}) = {(0.5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

ตัวอย่างนี้ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การแปลของแต่ไม่ใช่ $\Var(X)$ $X$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

แต่แม้ว่าเราจะถือว่าเราไม่สามารถคำนวณ : อนุญาต $\mathrm{E}(X)=0$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

P (X_{n} = - 1) = P (X_{n} = 1) = 0.5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

และ

P (X_{n} = 0) = \frac{1}{n} for n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

แล้ววิธีที่ 1ไปที่อินฟินิตี้ แต่สำหรับทุกn $\Var(X_n)$ $n$ $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

— mogron
แหล่งที่มา

คุณสามารถใช้ชุด Taylor เพื่อรับช่วงเวลาที่มีลำดับต่ำของตัวแปรสุ่มที่ถูกแปลง หากการแจกแจงค่อนข้าง 'แน่น' รอบค่าเฉลี่ย (ในแง่ที่เฉพาะเจาะจง) การประมาณค่าอาจทำได้ค่อนข้างดี

ตัวอย่างเช่น

g (X) = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

ดังนั้น

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

มักจะเทอมแรกเท่านั้น

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

ในกรณีนี้ (สมมติว่าฉันไม่ได้ทำผิด) โดยมี ,(X) $g(X)=\frac{1}{X}$ $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipedia: Taylor ขยายช่วงเวลาของฟังก์ชั่นของตัวแปรสุ่ม

---

ตัวอย่างบางส่วนเพื่ออธิบายเรื่องนี้ ฉันจะสร้างตัวอย่างสองรูปแบบ (กระจายแกมม่า) ใน R หนึ่งอันที่มีการกระจายที่ 'ไม่แน่นจนเกินไป' เกี่ยวกับค่าเฉลี่ยและอีกหนึ่งบิตที่กระชับกว่า

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

การประมาณชี้ให้เห็นความแปรปรวนของควรใกล้เคียงกับ $1/a$ $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

การคำนวณพีชคณิตมีค่าความแปรปรวนประชากรที่แท้จริงคือ $1/648 \approx 0.00154$

ทีนี้สำหรับคนที่เข้มงวดมากขึ้น:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

การประมาณชี้ให้เห็นความแปรปรวนของควรใกล้เคียงกับ $1/a$ $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

พีชคณิตแสดงให้เห็นว่าการคำนวณที่ความแปรปรวนของประชากรซึ่งกันและกันคือ0.000104 $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

โปรดสังเกตว่าในกรณีนี้สมมติฐานที่ค่อนข้างอ่อนแอนำไปสู่ข้อสรุปว่าไม่มีค่าเฉลี่ย (ความแปรปรวนจากไหน) สำหรับจะมีอยู่นั่นคือการประมาณในคำตอบจะทำให้เข้าใจผิด :-) ตัวอย่างสมมติฐานคือการที่มีความหนาแน่นที่มีอย่างต่อเนื่องในช่วงรอบศูนย์และเช่นว่า0 ผลที่ตามมาจากนั้นตามเพราะความหนาแน่นจะถูกล้อมรอบห่างจากศูนย์ในบางช่วงเวลาepsilon] แน่นอนว่าสมมติฐานที่ตั้งไว้ไม่ใช่จุดอ่อนที่สุดที่เป็นไปได้

1 / X

$1/X$

X

$X$

f

$f$

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$

— พระคาร์ดินัล

เหตุผลที่อาร์กิวเมนต์ชุดเทย์เลอร์ล้มเหลวก็คือซ่อนคำที่เหลือ (ข้อผิดพลาด) ซึ่งในกรณีนี้คือและพฤติกรรมนี้ไม่ดีรอบ0

\approx

$\approx$

R (x, μ) = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$

x = 0

$x = 0$

— พระคาร์ดินัล

เราจะต้องระมัดระวังเกี่ยวกับพฤติกรรมของความหนาแน่นใกล้ 0 โปรดทราบว่าในตัวอย่างรังสีแกมมาข้างต้นการกระจายตัวของอินเวอร์สคือผกผันแกมม่าซึ่งมีค่า จำกัด จำเป็นต้องมี (เป็นพารามิเตอร์รูปร่างของ แกมม่าที่เราสลับกลับ) สองตัวอย่างมีและ100 ถึงอย่างนั้น (ด้วยการแจกแจงแบบ "ดี" สำหรับการย้อนกลับ) การละเลยเงื่อนไขที่สูงกว่าสามารถทำให้มีอคติได้

α > 1

$\alpha>1$

α

$\alpha$

α = 10

$\alpha = 10$

α = 100

$\alpha = 100$

— Glen_b -Reinstate Monica

สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นไปในทิศทางที่ถูกต้องของการแจกแจงปกติแบบเปลี่ยนกลับซึ่งแทนที่จะเป็นการแจกแจงแบบปกติแบบมาตรฐานซึ่งกันและกัน: en.wikipedia.org/wiki/…

— Felipe G. Nievinski