ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่กระจายอย่างสม่ำเสมอมีการแจกแจงแบบเดียวกันหรือไม่?

22

เรากลิ้งดายแบบ 6 ด้านเป็นจำนวนมาก

การคำนวณความแตกต่าง (ค่าสัมบูรณ์) ระหว่างม้วนและม้วนก่อนหน้านั้นคาดว่าจะมีการกระจายความแตกต่างอย่างสม่ำเสมอหรือไม่

เพื่ออธิบายด้วย 10 ม้วน:

roll num  result diff
1           1     0
2           2     1
3           1     1
4           3     2
5           3     0
6           5     2
7           1     4
8           6     5
9           4     2
10          4     0

จะdiffค่าจะกระจายเหมือนกัน?

distributions uniform

— HeyJude
แหล่งที่มา

13

พล็อตฮิสโตแกรมอย่างน้อยรับความรู้สึก

— gunes

2

ตรวจสอบการกระจาย Poisson

— leftaroundabout

ลักษณะเช่นนี้ .... บ้าน

— มนู H

@ มนู H, ฉันรับรองว่าวันทำการบ้านกำลังจะมาถึงแล้ว

— HeyJude

37

ไม่มันไม่เหมือนกัน

คุณสามารถนับความเป็นไปได้ที่มีโอกาส $36$ เท่ากันสำหรับความแตกต่างที่แน่นอน

     second 1   2   3   4   5   6
first                           
1           0   1   2   3   4   5
2           1   0   1   2   3   4
3           2   1   0   1   2   3
4           3   2   1   0   1   2
5           4   3   2   1   0   1
6           5   4   3   2   1   0

ซึ่งให้การกระจายความน่าจะเป็นสำหรับความแตกต่างที่แท้จริงของ

0    6/36  1/6
1   10/36  5/18
2    8/36  2/9
3    6/36  1/6
4    4/36  1/9
5    2/36  1/18

— เฮนรี่
แหล่งที่มา

27

@onurcanbektas ตารางในคำตอบนี้ขัดแย้งกับการยืนยันของคุณอย่างชัดเจนตัวอย่างเช่นมันแสดงให้เห็นว่ามีเพียงหนึ่งในความแตกต่างที่เป็นไปได้คือ 5 ในขณะที่ 6 ใน 6 เป็น 0 เนื่องจากความเป็นไปได้ทั้ง 36 มีความเป็นไปได้เท่าเทียมกัน

— whuber

13

@onurcanbektas ฉันขอเชิญคุณอีกครั้งเพื่อพิจารณาตาราง เนื่องจากมันมีความแตกต่างสัมบูรณ์เพียง 5 ตัวเท่านั้นจึงไม่ชัดเจนว่าไม่เกินสองความแตกต่างสามารถเท่ากับ 5 ได้หรือไม่

— whuber

14

@onurcanbektas สำหรับความแตกต่างง่าย ๆ (เช่นมีเครื่องหมายดังนั้นจำนวนเต็มตั้งแต่ -5 ถึง +5) การกระจายเป็นการแจกแจงสามเหลี่ยมที่ไม่ต่อเนื่องแบบสมมาตรกับโหมด (ค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด) ที่ 0 สำหรับความแตกต่างที่แน่นอน โหมดคือ 1

— เฮนรี่

2

อาจจะน่าสังเกตว่าความแตกต่างที่เซ็นชื่อแบบโมดูโล 6 มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอแม้ว่า

— Federico Poloni

2

@FedericoPoloni นี่ไม่ชัดเจนหรือไม่? ฉันหมายความว่าฉันไม่เคยคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้มาก่อนอ่านความคิดเห็น แต่ก็ชัดเจนว่านี่เป็นเรื่องจริง

— Cruncher

21

การใช้สัจพจน์พื้นฐานที่สุดเกี่ยวกับความน่าจะเป็นและจำนวนจริงเท่านั้นเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าข้อความที่แข็งแกร่งกว่านี้:

ความแตกต่างของค่าอิสระสุ่มสองค่าที่กระจายแบบไม่คงที่ใด ๆ $X-Y$ ไม่เคยมีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ

(คำสั่งแบบอะนาล็อกสำหรับตัวแปรต่อเนื่องได้รับการพิสูจน์ที่Uniform PDF ของความแตกต่างของสอง rv )

แนวคิดคือโอกาส $X-Y$ เป็นค่าที่สุดต้องน้อยกว่าโอกาสที่ $X-Y$ เป็นศูนย์เพราะมีเพียงวิธีเดียวในการเพิ่ม $X-Y$ ในขณะที่มีหลายวิธีในการสร้างความแตกต่างศูนย์ เนื่องจาก $X$ และ $Y$ มีการแจกแจงแบบเดียวกันดังนั้นจึงสามารถเท่ากัน นี่คือรายละเอียด

ก่อนสังเกตว่าตัวแปรสองตัวเป็นสมมุติฐาน $X$ และ $Y$ ในแต่ละคำถามสามารถบรรลุจำนวน จำกัด เพียง $n$ ของค่ากับความน่าจะเป็นบวกเพราะจะมีอย่างน้อย $n$ เครื่องแบบมอบหมายกระจายพวกเขาทั้งหมดน่าจะเท่ากับความแตกต่างที่แตกต่างและ ถ้า $n$ เป็นอนันต์ดังนั้นจะเป็นจำนวนความแตกต่างที่เป็นไปได้ที่มีค่าบวกความน่าจะเป็นที่เท่ากันดังนั้นผลรวมของโอกาสที่จะเป็นอนันต์ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ถัดไปเนื่องจากความแตกต่างมี จำกัด จึงจะมีขนาดใหญ่ที่สุดในหมู่พวกเขา ความแตกต่างที่ใหญ่ที่สุดสามารถทำได้ก็ต่อเมื่อลบค่าที่น้อยที่สุดของ $Y$ --let เรียกมันว่า $m$ และสมมติว่ามันมีความเป็นไปได้ $q = \Pr(Y=m)$ - จากค่าที่ใหญ่ที่สุดของ $X$ --let เรียกว่าหนึ่ง $M$ ด้วย $p = \Pr(X=M).$ เนื่องจาก $X$ และ $Y$ เป็นอิสระโอกาสของความแตกต่างนี้คือผลผลิตของโอกาสเหล่านี้

\begin{matrix} (*) & Pr (X - Y = M - m) = Pr (X = M) Pr (Y = m) = p q > 0. \end{matrix}

$\Pr(X-Y = M - m) = \Pr(X=M)\Pr(Y=m) = pq \gt 0.\tag{*}$

สุดท้ายเพราะ $X$ และ $Y$ มีการกระจายเดียวกันมีหลายวิธีที่แตกต่างของพวกเขาสามารถผลิตค่า $0.$ ในบรรดาวิธีการเหล่านี้จะมีกรณีที่ $X=Y=m$ และ $X=Y=M.$ เพราะการกระจายนี้เป็น nonconstant, $m$ แตกต่างจาก $M.$ นั่นแสดงให้เห็นว่าทั้งสองกรณีเหตุการณ์เคลื่อนและดังนั้นพวกเขาจะต้องมีส่วนร่วมอย่างน้อยจำนวน $p^2 + q^2$ ที่จะมีโอกาสที่ $X-Y$ เป็นศูนย์ นั่นคือ,

Pr (X - Y = 0) \geq Pr (X = Y = m) + Pr (X = Y = M) = p^{2} + q^{2} .

$\Pr(X-Y=0) \ge \Pr(X=Y=m) + \Pr(X=Y=M) = p^2 + q^2.$

ตั้งแต่สี่เหลี่ยมของตัวเลขไม่ได้ลบ $0 \le (p-q)^2,$ มาจากไหนเราอนุมานจาก $(*)$ ว่า

Pr (X - Y = M - m) = p q \leq p q + (p - q)^{2} = p^{2} + q^{2} - p q < p^{2} + q^{2} \leq Pr (X - Y = 0),

$\Pr(X-Y=M-m)=pq \le pq + (p-q)^2 = p^2 + q^2 - pq \lt p^2 + q^2 \le \Pr(X-Y=0),$

แสดงการกระจายของ $X-Y$ ไม่เหมือนกันQED

แก้ไขเพื่อตอบสนองต่อความคิดเห็น

การวิเคราะห์ที่คล้ายกันของความแตกต่างแน่นอน $|X-Y|$ ตั้งข้อสังเกตว่าเพราะ $X$ และ $Y$ มีการกระจายเดียวกัน $m=-M.$ สิ่งนี้ต้องการให้เราศึกษา $\Pr(X-Y=|M-m|) = 2pq.$ เทคนิคพีชคณิตเดียวกันให้ผลลัพธ์เกือบเหมือนกัน แต่มีความเป็นไปได้ที่และ $2pq=2pq+(p-q)^2$ $2pq+p^2+q^2=1.$ ที่ระบบสมการมีโซลูชั่นที่ไม่ซ้ำกัน $p=q=1/2$ ที่สอดคล้องกับเหรียญยุติธรรม (เป็น "ตายสองด้าน") นอกเหนือจากข้อยกเว้นนี้ผลลัพธ์สำหรับความแตกต่างแบบสัมบูรณ์จะเหมือนกันกับความแตกต่างและด้วยเหตุผลพื้นฐานเดียวกันที่ได้รับ: กล่าวคือความแตกต่างแบบสัมบูรณ์ของตัวแปรสุ่มสองตัวไม่สามารถกระจายอย่างเท่าเทียมกันเมื่อใดก็ตามที่มีความแตกต่างมากกว่าสองประการ ด้วยความน่าจะเป็นในเชิงบวก

(สิ้นสุดการแก้ไข)

ลองใช้ผลลัพธ์นี้กับคำถามที่ถามถึงบางสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย

แต่ละรุ่นม้วนอิสระของตาย (ซึ่งอาจจะเป็นที่ไม่เป็นธรรมตาย) กับตัวแปรสุ่ม $X_i,$ $i=1, 2, \ldots, n.$ ความแตกต่างที่สังเกตได้ในเหล่า $n$ ม้วนเป็นตัวเลข $\Delta X_i = X_{i+1}-X_i.$ เราอาจสงสัยว่าตัวเลข $n-1$ เหล่านี้กระจายกันอย่างไร นั่นเป็นคำถามเกี่ยวกับความคาดหวังทางสถิติ: จำนวนที่คาดหวังของ $\Delta X_i$ นั่นเท่ากับศูนย์เช่น? จำนวนที่คาดหวังของ $\Delta X_i$ เท่ากับ $-1$ คือเท่าใด ฯลฯ

ด้านปัญหาของคำถามนี้ก็คือ $\Delta X_i$ มีความไม่เป็นอิสระ: ยกตัวอย่างเช่น $\Delta X_1 = X_2-X_1$ และ $\Delta X_2 = X_3 - X_2$ เกี่ยวข้องกับการม้วนเดียวกัน $X_2.$

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่เรื่องยาก เนื่องจากความคาดหวังทางสถิติเป็นสารเติมแต่งและความแตกต่างทั้งหมดมีการแจกแจงแบบเดียวกันหากเราเลือกค่าที่เป็นไปได้ $k$ ของความแตกต่างจำนวนที่คาดหวังของความแตกต่างเท่ากับ $k$ ในลำดับทั้งหมดของ $n$ ม้วนคือ $n-1$ เท่าของจำนวนที่คาดหวัง คูณความแตกต่างเท่ากับ $k$ ในขั้นตอนเดียวของกระบวนการ ความคาดหวังในขั้นตอนเดียวนั้นคือ $\Pr(\Delta X_i = k)$ (สำหรับ $i$ ใด ๆ) ความคาดหวังเหล่านี้จะเหมือนกันสำหรับ $k$ ทั้งหมด(นั่นคือสม่ำเสมอ) และถ้าหากพวกเขาจะเหมือนกันสำหรับเดียว $\Delta X_i.$ แต่เราเห็นแล้วว่าไม่มี $\Delta X_i$ มีการกระจายแบบสม่ำเสมอแม้ในขณะที่ความตายอาจมีอคติ ดังนั้นแม้ในความรู้สึกที่ลดลงของความถี่ที่คาดหวังความแตกต่างของม้วนนี้ไม่เหมือนกัน

— whuber
แหล่งที่มา

@Michael จุดที่ดี: ฉันตอบคำถามตามที่ถาม (ซึ่งเป็นเรื่องเกี่ยวกับ "ความแตกต่าง") แทนที่จะเป็นภาพ (ซึ่งชัดเจนหมายถึงความแตกต่างแน่นอน) ใช้เทคนิคเดียวกัน - เพียงแค่ต้องพิจารณาทั้งความแตกต่างสูงสุดและต่ำสุด ในกรณีที่ผู้ที่มีความเป็นไปได้เพียงสอง (พร้อมด้วยศูนย์) เราจะได้รับความเท่าเทียมกันซึ่งเป็นที่ที่ Bernoulli

ผลมาจาก (แสดงมันตัวอย่างเช่นไม่ซ้ำกัน)

(1 / 2)

$(1/2)$

— whuber

คำตอบที่พิสูจน์รุ่นเฉพาะของนี้ก็คือที่นี่

— Reinstate Monica

ขอบคุณ @Ben: ฉันลืมหัวข้อนั้นไป เนื่องจากเป็นการอ้างอิงที่ดีกว่าตอนนี้ฉันเชื่อมโยงโดยตรงไปยังคำตอบนี้

— whuber

12

ในระดับที่ใช้งานง่ายเหตุการณ์แบบสุ่มสามารถกระจายอย่างเท่าเทียมกันหากผลลัพธ์ทั้งหมดมีแนวโน้มเท่ากัน

เป็นเช่นนั้นสำหรับเหตุการณ์สุ่มที่เป็นปัญหาหรือไม่ - ความแตกต่างที่แน่นอนระหว่างลูกเต๋าสองลูก

ในกรณีนี้พอเพียงเพื่อดูความสุดขั้ว - อะไรคือค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดที่ความแตกต่างนี้อาจนำมาใช้?

เห็นได้ชัดว่า 0 มีขนาดเล็กที่สุด (เรากำลังดูความแตกต่างที่แน่นอนและม้วนสามารถเหมือนกัน) และ 5 คือที่ใหญ่ที่สุด ( 6vs 1)

เราสามารถแสดงกรณีที่เป็นไม่สม่ำเสมอโดยแสดงให้เห็นว่า0มีมากขึ้น (หรือน้อยกว่า) 5มีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นมากกว่า

ได้อย่างรวดเร็วมีเพียงสองวิธีที่ 5 ที่จะเกิดขึ้น - ถ้าลูกเต๋าแรกคือ 6 และครั้งที่สอง 1 หรือในทางกลับกัน 0 สามารถเกิดขึ้นได้กี่วิธี

— MichaelChirico
แหล่งที่มา

1

+1 ฉันคิดว่านี่เป็นหัวใจของเรื่อง ฉันได้โพสต์คำถามทั่วไปที่ต้องอาศัยการสังเกตเดียวกันในท้ายที่สุด

— whuber

5

ตามที่ Henry เสนอ ความแตกต่างของการแจกแจงแบบกระจายแบบสม่ำเสมอนั้นไม่ได้กระจายแบบสม่ำเสมอ

เพื่อแสดงสิ่งนี้กับข้อมูลจำลองเราสามารถใช้สคริปต์ R ที่ง่ายมาก:

barplot(table(sample(x=1:6, size=10000, replace=T)))

เราเห็นว่าสิ่งนี้ก่อให้เกิดการกระจายตัวที่สม่ำเสมอ ตอนนี้เรามาดูการกระจายตัวของความแตกต่างที่แน่นอนของสองตัวอย่างสุ่มจากการกระจายตัวนี้

barplot(table(abs(sample(x=1:6, size=10000, replace=T) - sample(x=1:6, size=10000, replace=T))))

— LuckyPal
แหล่งที่มา

6

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกี่ยวข้องกับ CLT ซึ่งเกี่ยวข้องกับการกระจายแบบซีมโทติคของค่า iid จำนวนมาก?

— whuber

2

n

$n$

n

$n$

n > 1

$n>1$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

n = 4

$n=4$

n

$n$

— krubo

3

@Krubo คำถามเดิมถามเกี่ยวกับการกระจายความแตกต่างระหว่างม้วนต่อเนื่องของตาย CLT ไม่มีอะไรจะพูดเกี่ยวกับเรื่องนี้ อันที่จริงไม่ว่าจะตายกี่ครั้งการกระจายความแตกต่างเหล่านั้นจะไม่เข้าเกณฑ์

— whuber

การกระจายตัวนี้มีแนวโน้มที่จะเหมือนกันเนื่องจากจำนวนใบหน้าที่ตายมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่? ไม่แน่ใจว่าจะแสดงอย่างไร แต่โดยสังหรณ์ใจมันรู้สึกเหมือนกับว่ามันมุ่งหน้าไปในทิศทางนั้น แต่ฉันไม่รู้ว่ามันถูก "บล็อก" ที่ไม่มีความรู้ในบางจุดก่อนที่จะแบนพอ

— Cruncher

@ Cruncher คุณสามารถเปลี่ยนจำนวนใบหน้าที่ตายแล้วใน R-Code ได้อย่างง่ายดาย ยิ่งใบหน้ามีมากเท่าไหร่ลักษณะการกระจายบันไดก็จะยิ่งชัดเจนมากขึ้นเท่านั้น '1' มักจะเป็นจุดสูงสุดของบันไดนั้นและมีความแตกต่างที่มากขึ้นความน่าจะเป็นประมาณศูนย์ นอกจากนี้ความแตกต่างของ '0' นั้นหายากกว่า '1' (อย่างน้อยถ้าค่าที่น้อยที่สุดของ die คือ '1')

— LuckyPal

2

คนอื่นทำงานคำนวณแล้วฉันจะให้คำตอบที่ดูเหมือนง่ายแก่ฉันมากขึ้น คุณต้องการที่จะศึกษาผลรวมของสอง unifrom rv (Z = X + (-Y)), การแจกแจงโดยรวมคือผลิตภัณฑ์ convcon (แยก):

P (Z = z) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} P (X = k) P (- Y = z - k)

$P(Z=z) = \sum^{\infty}_{k=-\infty} P(X=k) P(-Y = z-k)$

$z$ $k$ $z$

จากการประมวลผลสัญญาณเรารู้ว่าผลิตภัณฑ์ Convolution นั้นทำงานอย่างไร:

ผลิตภัณฑ์สังวัตนาของชุดฟังก์ชันสองชุด (สองสี่เหลี่ยม) จะให้รูปสามเหลี่ยม นี่คือตัวอย่างของวิกิพีเดียสำหรับฟังก์ชั่นต่อเนื่อง:

$z$ $z$
โดยทั่วไปแล้วเรารู้ว่าฟังก์ชั่นเดียวที่มีความเสถียรโดยการโน้มน้าวใจคือฟังก์ชั่นของ Gaussian ie มีการแจกแจงแบบเกาส์เท่านั้นที่มีความเสถียรโดยการเพิ่ม (หรือมากกว่านั้นคือการรวมเชิงเส้น) นี่ก็หมายความว่าคุณจะไม่ได้รับการแจกแจงแบบเดียวกันเมื่อรวมการแจกแจงแบบเดียวกัน

สำหรับสาเหตุที่เราได้ผลลัพธ์เหล่านั้นคำตอบอยู่ที่การสลายตัวของ Fourrier ของฟังก์ชันเหล่านั้น การแปลง Fourrier ของผลิตภัณฑ์คอนโวลูชันเป็นผลิตภัณฑ์อย่างง่ายของการแปลง Fourrier ของแต่ละฟังก์ชัน สิ่งนี้ให้การเชื่อมโยงโดยตรงระหว่างสัมประสิทธิ์ Fourrier ของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยม

— lcrmorin
แหล่งที่มา

โปรดตรวจสอบความถูกต้องของการอ้างสิทธิ์และตรรกะของคำตอบของคุณ คำถามไม่ได้ว่าการบิดของการแจกแจงแบบสองแบบนั้นเหมือนกันหรือไม่: การบิดของการแจกแจงบางอย่างและการกลับเป็นแบบสม่ำเสมอหรือไม่ และมีตระกูลการกระจายมากกว่าครอบครัวเกาส์ที่มั่นคงภายใต้การ

— โน้มน้าวใจ

คุณพูดถูกเกี่ยวกับการแจกแจงที่มั่นคง สำหรับคำถามฉันค่อนข้างมั่นใจว่านี่เป็นเรื่องเกี่ยวกับความแตกต่างของค่าสุ่มสองค่าที่มีการแจกแจงแบบเดียวกัน (ตามที่ระบุไว้ในชื่อเรื่อง) คำถามที่ว่าการกระจายตัวของการแจกแจงบางอย่างและการกลับรายการนั้นอาจมีขนาดใหญ่กว่าคำถามที่ถามไว้ที่นี่หรือไม่

— lcrmorin

1

ถ้า $x$ และ $y$ เป็นลูกเต๋าสองลูกติดต่อกันคุณสามารถเห็นภาพได้ $|x-y| = k$ (สำหรับ $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ ) ดังต่อไปนี้โดยที่แต่ละสีสอดคล้องกับค่าที่แตกต่างกัน $k$ :

อย่างที่คุณเห็นได้อย่างง่ายดายจำนวนคะแนนของแต่ละสีไม่เหมือนกัน ดังนั้นความแตกต่างจะไม่กระจายอย่างสม่ำเสมอ

— ในวันนี้
แหล่งที่มา

0

ปล่อย $D_t$ แสดงถึงความแตกต่างและ $X$ มูลค่าของม้วนแล้ว $P(D_t = 5) = P(X_t = 6, X_{t-1} = 1) < P((X_t, X_{t-1}) \in \{(6, 3), (5, 2)\}) < P(D_t = 3)$

So the function $P(D_t = d)$ is not constant in $d$ . This means that the distribution is not uniform.

— Hunaphu
แหล่งที่มา