หมายถึงค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ที่น้อยกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับ

ฉันต้องการเปรียบเทียบค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในกรณีทั่วไปกับคำจำกัดความนี้:

M A D = \frac{1}{n - 1} \sum_{1}^{n} | x_{i} - μ |, S D = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}}{n - 1}}

$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$

ที่ไหน $\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$ .

มันเป็นความจริงหรือเปล่า $MAD \le SD$ สำหรับทุกคน $\{x_i\}^n_1$ ?

มันผิดสำหรับ $n=2$ , เพราะ $x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$ สำหรับทุกคน $x, y \ge 0$ .

มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่า:

M A D \leq \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \times S D

$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$

mean standard-deviation mean-absolute-deviation

— Lisbeth
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ไม่โดยทั่วไปสิ่งนี้ไม่เป็นความจริง

วิธีง่ายๆในการดูนี้คือการจำลอง ฉันมักจะแฮ็กวงวนอนันต์ซึ่งจะหยุดถ้ามันพบตัวอย่างที่ตรงกันข้าม ถ้ามันใช้เวลานานฉันก็เริ่มคิดว่าการอ้างสิทธิ์อาจเป็นจริงหรือไม่ ในกรณีปัจจุบันรหัส R ของฉันมีลักษณะดังนี้:

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

มันให้ตัวอย่างตัวอย่างนี้:

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

— สเตฟาน Kolassa
แหล่งที่มา

นั่นเป็นวิธีที่ชาญฉลาดในการใช้การจำลอง! บันทึกฉันจากการตอบที่ไม่ถูกต้องว่าผลลัพธ์จะคงอยู่เสมอเนื่องจากความไม่เท่าเทียมของ Jensen ... ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่สามารถใช้ได้เมื่อคุณหารด้วย

n - 1

$n-1$ แทน

n

$n$

— CloseToC

อย่างไรก็ตามฉันคิดว่าบางทีคำตอบที่เปรียบเทียบ

s_{n}

$s_n$ ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยด้วย

n

$n$ ฉันคิดว่าส่วนจะเป็นประโยชน์เพราะจะให้บริบทกับตัวอย่าง

— Glen_b -Reinstate Monica

นี่คือวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่มากขึ้น ประการแรกอาจเป็นความจริงที่ว่าเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ แน่นอนว่าจากมุมมองของการค้นหาตัวอย่างเคาน์เตอร์นี่เป็นสิ่งที่ยอมรับได้ ดังนั้นการตั้งค่า $\mu = 0$ การยกกำลังสองทั้งสองของความไม่เท่าเทียมกันที่เสนอและการคูณผ่าน (n-1) ด้านซ้ายจะถูกนำเสนอด้วยความไม่เท่าเทียมที่เสนอ -

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

มันดูคาว (n-1) ไม่เพียงพอที่จะชดเชยสำหรับทุกสิ่ง $|x_i| |x_j|$ ข้อกำหนด โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าทั้งหมด $x_i$ เหมือนกันในค่าสัมบูรณ์ การเดาครั้งแรกของฉันคือ n = 4 และ $x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$ . นี่นำไปสู่ $\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$ . ฉันคิดว่าสิ่งนี้เป็นที่รู้จักกันดีสำหรับผู้ที่สนใจในความไม่เท่าเทียมกัน

— Meh
แหล่งที่มา

สำหรับทุกคนแม้กระทั่ง

n

$n$ คุณสามารถใช้สิ่งก่อสร้างของคุณ (ทุก ๆ

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm 1$ ) และ

M A D = \frac{n}{n - 1} > \sqrt{\frac{n}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n}{n-1} > \sqrt{\frac {n}{n-1}} = SD$ ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นจริงได้

M A D \leq S D

$MAD \leq SD$ เพื่อทุกสิ่ง

x_{i}

$x_i$ .

— Sextus Empiricus

สำหรับทุกคี่

n

$n$ คุณสามารถใช้สิ่งก่อสร้างของฉัน (

x_{0} = - 2

$x_0=-2$ ,

x_{1} = x_{2} = 1

$x_1=x_2=1$ แล้วทุก ๆ

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm1$ กับการสลับบวกลบ) แล้วคุณมี

M A D = \frac{n + 1}{n - 1} > \sqrt{\frac{n + 3}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n+1}{n-1} > \sqrt {\frac {n+3}{n-1}} = SD$ เมื่อความไม่เท่าเทียมสามารถทำให้ชัดเจนได้โดยการคูณด้วย

n - 1

$n-1$ และการยกกำลังสองอย่างที่มันจะกลายเป็น

n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2} (n + 3) (n - 1) = n^{2} + 2 n - 3

$n^2+2n+1 = (n+1)^2 \> (n+3)(n-1) =n^2+2n-3$

— Sextus Empiricus

แต่มันไม่เป็นความจริงเลย

M A D > S D

$MAD > SD$ เป็นไปได้ทั้งหมด

x_{i}

$x_i$ . เงื่อนไข

| x_{i} | | x_{j} |

$|x_i| |x_j|$ (มี

n^{2}

$n^2$ ของพวกเขา) สามารถชดเชยได้โดย

(n - 1)

$(n-1)$ เมื่อจำนวนที่เพียงพอของ

x_{i}

$x_i$ มีขนาดเล็ก

— Sextus Empiricus

@Martijn All I was saying was that doing a little algebra pointed the way to finding counter-examples. I by no means think, and I don't think I even gave the impression I thought, that the inequality was always false or true.

— meh

ความคิดเห็น "(n-1) ไม่เพียงพอที่จะชดเชยสำหรับ ... " ฟังดูยากสำหรับฉัน ในบางกรณีอาจเพียงพอ

— Sextus Empiricus