วิธีคำนวณความแปรปรวนแบบรวมรวมของกลุ่มตั้งแต่สองกลุ่มขึ้นไปที่ได้รับผลต่างกลุ่มที่รู้จักค่าเฉลี่ยและขนาดตัวอย่าง

สมมติว่ามีองค์ประกอบแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม (และ ) ความแปรปรวนของกลุ่มแรกคือและความแปรปรวนของกลุ่มที่สองคือ\องค์ประกอบที่ตัวเองจะถือว่าเป็นที่ไม่รู้จัก แต่ฉันรู้ว่าหมายถึงและ\ $m+n$ $m$ $n$ $\sigma_m^2$ $\sigma^2_n$ $\mu_m$ $\mu_n$

มีวิธีคำนวณความแปรปรวนรวมหรือไม่ $\sigma^2_{(m+n)}$

ความแปรปรวนไม่ได้จะต้องมีความเป็นกลางเพื่อให้เป็นตัวหารและไม่ได้n-1) $(m+n)$ $(m+n-1)$

variance pooling

— user1809989
แหล่งที่มา

เมื่อคุณบอกว่าคุณรู้วิธีการและความแปรปรวนของกลุ่มเหล่านี้พวกเขาจะพารามิเตอร์หรือค่าตัวอย่าง? หากเป็นค่าเฉลี่ย / ผลต่างตัวอย่างคุณไม่ควรใช้

μ

$\mu$ และ

σ

$\sigma$ ...

— Jonathan Christensen

ฉันแค่ใช้สัญลักษณ์เป็นตัวแทน ไม่อย่างนั้นคงยากที่จะอธิบายปัญหาของฉัน

— user1809989

สำหรับค่าตัวอย่างเรามักใช้ตัวอักษรละติน (เช่น

m

$m$ และ

s

$s$ ) ตัวอักษรกรีกมักจะสงวนไว้สำหรับพารามิเตอร์ การใช้สัญลักษณ์ "ถูกต้อง" (คาดว่า) จะช่วยให้คุณสื่อสารได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

— Jonathan Christensen

ไม่ต้องกังวลฉันจะติดตามมันต่อจากนี้ไป! ไชโย

— user1809989

@ Jonathan เพราะนี่ไม่ใช่คำถามเกี่ยวกับตัวอย่างหรือการประมาณหนึ่งถูกต้องตามกฎหมายสามารถใช้มุมมองที่

และ

เป็นจริงค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการกระจายเชิงประจักษ์ของชุดของข้อมูลจึงสมควรใช้การชุมนุมของตัวอักษรกรีกมากกว่า ตัวอักษรละตินเพื่ออ้างถึงพวกเขา

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

— whuber

คำตอบ:

ใช้คำจำกัดความของค่าเฉลี่ย

μ_{1 : n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

$\mu_{1:n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

และความแปรปรวนตัวอย่าง

σ_{1 : n}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ_{1 : n})}^{2} = \frac{n - 1}{n} (\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ_{1 : n})}^{2})

$\sigma_{1:n}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(x_i - \mu_{1:n}\right)^2 = \frac{n-1}{n}\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(x_i - \mu_{1:n}\right)^2\right)$

(ระยะสุดท้ายในวงเล็บคือความแปรปรวนเป็นกลางประมาณการมักจะคำนวณโดยเริ่มต้นในซอฟต์แวร์ทางสถิติ) เพื่อหาผลรวมของสี่เหลี่ยมของข้อมูลทั้งหมดฉันลองสั่งดัชนีเพื่อให้กำหนดองค์ประกอบของกลุ่มแรกและกำหนดองค์ประกอบของกลุ่มที่สอง แยกผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมตามกลุ่มแล้วแสดงอีกสองส่วนในแง่ของความแปรปรวนและความหมายของชุดย่อยของข้อมูล: $x_i$ $i$ $i=1,\ldots,n$ $i=n+1,\ldots,n+m$

\begin{aligned} (m + n) (σ_{1 : m + n}^{2} + μ_{1 : m + n}^{2}) & = \sum_{i = 1}^{1 : n + m} x_{i}^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + \sum_{i = n + 1}^{n + m} x_{i}^{2} \\ = n (σ_{1 : n}^{2} + μ_{1 : n}^{2}) + m (σ_{1 + n : m + n}^{2} + μ_{1 + n : m + n}^{2}) . \end{aligned}

$\eqalign{ (m+n)(\sigma^2_{1:m+n} + \mu_{1:m+n}^2) &= \sum_{i=1}^{1:n+m} x_i^2 \\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=n+1}^{n+m} x_i^2 \\ &= n(\sigma^2_{1:n} + \mu_{1:n}^2) + m(\sigma^2_{1+n:m+n} + \mu_{1+n:m+n}^2). }$

การแก้ปัญหาเชิงพีชคณิตสำหรับในแง่ของปริมาณอื่น ๆ (รู้จัก) ให้ผลตอบแทน $\sigma^2_{m+n}$

σ_{1 : m + n}^{2} = \frac{n (σ_{1 : n}^{2} + μ_{1 : n}^{2}) + m (σ_{1 + n : m + n}^{2} + μ_{1 + n : m + n}^{2})}{m + n} - μ_{1 : m + n}^{2} .

$\sigma^2_{1:m+n} = \frac{n(\sigma^2_{1:n} + \mu_{1:n}^2) + m(\sigma^2_{1+n:m+n} + \mu_{1+n:m+n}^2)}{m+n} - \mu^2_{1:m+n}.$

แน่นอนว่าการใช้วิธีเดียวกันนั้นสามารถแสดงในรูปของกลุ่มได้เช่นกัน $\mu_{1:m+n} = (n\mu_{1:n} + m\mu_{1+n:m+n})/(m+n)$

ผู้มีส่วนร่วมนิรนามชี้ให้เห็นว่าเมื่อค่าเฉลี่ยตัวอย่างเท่ากัน (ดังนั้น ) วิธีแก้ปัญหาสำหรับคือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของ ความแปรปรวนตัวอย่างของกลุ่ม $\mu_{1:n}=\mu_{1+n:m+n}=\mu_{1:m+n}$ $\sigma^2_{m+n}$

— whuber
แหล่งที่มา

แท็ก "การบ้าน" ไม่ได้หมายความว่าคำถามนั้นเป็นคำถามระดับประถมหรือโง่ ๆ : ใช้สำหรับคำถามที่เรียนรู้ด้วยตนเองที่สามารถรวมข้อความค้นหาระดับการวิจัยได้ มันแยกความแตกต่างของงานประจำคำถามที่ไม่มีบริบทมากหรือน้อย (ของการเรียงลำดับที่โดยทั่วไปอาจผ่อนผันฟอรัมคณิตศาสตร์) จากคำถามที่ใช้เฉพาะ

— whuber

ฉันไม่เข้าใจข้อความแรกของคุณ:

โดยเฉพาะฉันได้

ซึ่งต้องการ

n (σ^{2} + μ^{2}) = \sum (x - μ)^{2} + n μ^{2} \overset{?}{=} \sum x^{2}

$n(\sigma^2+\mu^2) = \sum (x - \mu)^2 + n\mu^2 \stackrel{?}{=} \sum x^2$

\sum [(x - μ)^{2} + μ^{2}] = \sum [x^{2} - 2 x μ]

$\sum [(x-\mu)^2+\mu^2] = \sum [x^2-2x\mu]$

μ = 0

$\mu = 0$ ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า? คุณช่วยกรุณาอธิบายเรื่องนี้?

— DarioP

@Dario

\sum (x - μ)^{2} + n μ^{2} = (\sum x^{2} - 2 μ \sum x + n μ^{2}) + n μ^{2} = \sum x^{2} - 2 n μ^{2} + 2 n μ^{2} = \sum x^{2} .

$\sum(x-\mu)^2+n\mu^2=(\sum x^2 - 2\mu\sum x + n \mu^2)+n\mu^2 = \sum x^2 - 2n\mu^2 + 2n\mu^2 = \sum x^2.$

— whuber

โอ้ใช่ฉันทำผิดพลาดเครื่องหมายโง่ ๆ ในที่มาตอนนี้ชัดเจนขอบคุณ !!

— DarioP

ฉันเดาว่านี่สามารถขยายเป็นจำนวนตัวอย่างโดยพลการตราบใดที่คุณมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนสำหรับแต่ละตัวอย่าง คำนวณ pooled (ลำเอียง) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในการวิจัยเป็นเพียงsqrt(weighted.mean(u^2 + rho^2, n) - weighted.mean(u, n)^2)ที่n, uและrhoเป็นพาหะเท่ากับความยาว เช่นn=c(10, 14, 9)สำหรับสามตัวอย่าง

— Jonas Lindeløv

ฉันจะใช้สัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับค่าเฉลี่ยตัวอย่างและผลต่างตัวอย่างในคำตอบนี้แทนที่จะเป็นสัญลักษณ์ที่ใช้ในคำถาม การใช้สัญลักษณ์มาตรฐานสูตรอื่นสำหรับความแปรปรวนตัวอย่างที่รวมกลุ่มของสองกลุ่มสามารถพบได้ในO'Neill (2014) (ผลลัพธ์ 1):

\begin{aligned} s_{pooled}^{2} & = \frac{1}{n_{1} + n_{2} - 1} [(n_{1} - 1) s_{1}^{2} + (n_{2} - 1) s_{2}^{2} + \frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}} ({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2})^{2}] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} s_\text{pooled}^2 &= \frac{1}{n_1+n_2-1} \Bigg[ (n_1-1) s_1^2 + (n_2-1) s_2^2 + \frac{n_1 n_2}{n_1+n_2} (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)^2 \Bigg]. \\[10pt] \end{aligned} \end{equation}$

สูตรนี้ทำงานโดยตรงกับค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่างของกลุ่มย่อยสองกลุ่มและไม่ต้องการการคำนวณระดับกลางของค่าเฉลี่ยกลุ่มตัวอย่าง (หลักฐานการแสดงผลในกระดาษที่เชื่อมโยง)

— Reinstate Monica
แหล่งที่มา

-3

ใช่ด้วยค่าเฉลี่ยจำนวนตัวอย่างและความแปรปรวนหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างสองกลุ่มขึ้นไปคุณสามารถคำนวณความแปรปรวนหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มที่รวมกันได้อย่างแน่นอน

หน้าเว็บนี้อธิบายวิธีการใช้งานและสาเหตุที่ใช้งาน นอกจากนี้ยังมีซอร์สโค้ดใน Perl: http://www.burtonsys.com/climate/composite_standard_deviations.html

BTW ตรงกันข้ามกับคำตอบข้างต้น

\begin{aligned} n (σ^{2} + μ^{2}) \neq \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \end{aligned}

$\eqalign{ n(\sigma^2 + \mu^2) \space\space \ne \space\space \sum_{i=1}^n x_i^2 }$

ดูตัวคุณเองเช่นใน R:

> x = rnorm (10,5,2)
> x
 [1] 6.515139 8.273285 2.879483 3.624233 6.199610 3.683164 4.921028 8.084591
 [9] 2.974520 6.049962
> mean (x)
[1] 5.320502
> sd (x)
[1] 2.007519
> sum (x ** 2)
[1] 319.3486
> 10 * (mean (x) ** 2 + sd (x) ** 2)
[1] 323.3787

— เดฟเบอร์ตัน
แหล่งที่มา

เป็นเพราะคุณลืมปัจจัย n-1 เช่นลองด้วย n * (หมายถึง (x) ** 2 + sd (x) ** 2 / (n) * (n-1))

— user603

user603 คุณกำลังพูดเรื่องอะไร

— Dave Burton

Rsd(c(-1,1))1.4142141sqrt(9/10)*sd(x)sd(x)

σ

$\sigma$

μ

$\mu$ n <- 10; x <- rnorm(n,5,2); m <- mean(x); s <- sd(x) * sqrt((n-1)/n); m2 <- sum(x^2); c(lhs=n * (m^2 + s^2), rhs=m2)