การแจกแจงอื่นนอกเหนือจากปกติที่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเป็นอิสระ

ฉันสงสัยว่ามีการแจกแจงนอกเหนือจากปกติที่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเป็นอิสระจากกัน (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งซึ่งความแปรปรวนไม่ใช่หน้าที่ของค่าเฉลี่ย)

distributions

— โวล์ฟกัง
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจคำถามถูกต้องหรือไม่ คุณกำลังถามว่ามีการแจกแจงนอกเหนือจากปกติที่ระบุโดยค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนหรือไม่? ในแง่หนึ่งความแปรปรวนเป็นฟังก์ชันของค่าเฉลี่ยเนื่องจากเป็นการวัดการกระจายตัวรอบค่าเฉลี่ย แต่ฉันเดาว่านี่ไม่ใช่สิ่งที่คุณมีอยู่ในใจ

คุณหมายถึงค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

และความแปรปรวนตัวอย่าง

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

เป็นอิสระ คำถามที่ดี ! บางทีการคาดการณ์ตัวแปรสุ่ม Gaussian จะรักษาความเป็นอิสระ?

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

— robin girard

ศรีกันต์พูดถูก หากคำถามถูกถามเกี่ยวกับ "ค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวน" คำตอบคือ "ไม่" หากคำถามเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของประชากรคำตอบคือใช่ เดวิดให้ตัวอย่างที่ดีด้านล่าง

เพื่ออธิบายให้ชัดเจนสิ่งที่ฉันหมายถึงคือ สำหรับการกระจายปกติค่าเฉลี่ย

และความแปรปรวน

อย่างเต็มที่ลักษณะการกระจายและ

ไม่ได้เป็นหน้าที่ของμ

สำหรับการแจกแจงอื่น ๆ สิ่งนี้ไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่นสำหรับการแจกแจงทวินามเรามีค่าเฉลี่ย

และความแปรปรวน

ดังนั้นความแปรปรวนเป็นฟังก์ชันของค่าเฉลี่ย ตัวอย่างอื่น ๆ ที่มีการกระจายรังสีแกมมาที่มีพารามิเตอร์

(ขนาด) และ

(รูปร่าง) ที่เฉลี่ย

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$ และความแปรปรวนเป็น

ดังนั้นความแปรปรวนเป็นจริง

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$

— Wolfgang

โปรดพิจารณาแก้ไขคำถามของคุณเนื่องจากคำตอบที่คุณเลือกไว้เป็นคำตอบที่คุณต้องการจะไม่ตอบคำถามตามที่อธิบายไว้ (และอีกคำถามหนึ่งตอบ) ขณะนี้คุณกำลังใช้คำว่า "อิสระ" ในลักษณะที่เป็นไปได้ ตัวอย่างของคุณที่มี Gamma แสดงสิ่งนี้: หนึ่งสามารถแก้ไขค่าแกมม่าได้ในแง่ของค่าเฉลี่ย (mu) และความแปรปรวน (sigma) เนื่องจากเราสามารถกู้คืน theta = sigma / mu และ kappa = mu ^ 2 / sigma กล่าวอีกนัยหนึ่งฟังก์ชัน "ความเป็นอิสระ" ของพารามิเตอร์มักไม่มีความหมาย (ยกเว้นตระกูลพารามิเตอร์เดี่ยว)

— whuber

คำตอบ:

หมายเหตุ: โปรดอ่านคำตอบโดย @G Jay Kerns และดูCarlin and Lewis 1996หรือการอ้างอิงความน่าจะเป็นที่คุณชื่นชอบสำหรับพื้นหลังในการคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเป็นค่าที่คาดหวังและช่วงเวลาที่สองของตัวแปรสุ่ม

การสแกนอย่างรวดเร็วของภาคผนวก A ใน Carlin และ Lewis (1996) แสดงการแจกแจงต่อไปนี้ซึ่งคล้ายกันในเรื่องนี้กับเรื่องปกติโดยที่พารามิเตอร์การกระจายตัวเดียวกันไม่ได้ถูกใช้ในการคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ตามที่ระบุโดย @robin เมื่อคำนวณการประมาณค่าพารามิเตอร์จากตัวอย่างจำเป็นต้องใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างเพื่อคำนวณ sigma

หลายตัวแปรปกติ

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = Σ

$Var(X) = \Sigma$

tและหลายตัวแปร t:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a R (X) = ν σ^{2} / (ν - 2)

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

เลขชี้กำลังสองเท่า:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a R (X) = 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

Cauchy: ด้วยคุณสมบัติบางอย่างมันอาจจะเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของ Cauchy ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ

$E(X)$ $Var(X)$

การอ้างอิง

Carlin, Bradley P. , และ Thomas A. Louis 1996. Bayes และ Empirical Bayes วิธีการสำหรับการวิเคราะห์ข้อมูล, 2nd ed. แชปแมนและฮอลล์ / ซีอาร์ซีนิวยอร์ก

— David LeBauer
แหล่งที่มา

ในใด ๆของครอบครัวที่ตั้งระดับความแปรปรวนเฉลี่ยและจะมีการทำงานที่เป็นอิสระในแบบนี้!

— whuber

เดวิดเลขชี้กำลังสองเท่าเป็นตัวอย่างที่ยอดเยี่ยม ขอบคุณ! ฉันไม่คิดอย่างนั้น การแจกแจงแบบ t เป็นตัวอย่างที่ดีเช่นกัน แต่ไม่ใช่ E (X) = 0 และ Var (X) = v / (v-2)? หรือ Carlin และคณะ (1996) กำหนดเวอร์ชันทั่วไปของการแจกแจงแบบ t ที่เลื่อนในความหมายและปรับขนาดโดย sigma ^ 2?

— Wolfgang

คุณถูกต้องการแจกแจงแบบ t ดูเหมือนจะมีลักษณะบ่อยครั้งด้วยค่าเฉลี่ย = 0 และความแปรปรวน = 1 แต่รูปแบบไฟล์ PDF ทั่วไปสำหรับ t ที่ให้บริการโดย Carlin และ Louis ได้รวมทั้ง sigma และ mu ไว้อย่างชัดเจน พารามิเตอร์ nu อธิบายถึงความแตกต่างระหว่างปกติและ t

— David LeBauer

ในความเป็นจริงคำตอบคือ "ไม่" ความเป็นอิสระของค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนเป็นลักษณะการแจกแจงแบบปกติ สิ่งนี้แสดงโดย Eugene Lukacs ใน "การจำแนกลักษณะของการแจกแจงแบบปกติ", พงศาวดารของสถิติคณิตศาสตร์, ฉบับที่ 13, ฉบับที่ 1 (มี.ค. , 1942), หน้า 91-93

ฉันไม่รู้สิ่งนี้ แต่ Feller "ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นและแอปพลิเคชั่นเล่มที่สอง" (1966, pg 86) กล่าวว่า RC Geary พิสูจน์เรื่องนี้เช่นกัน

@onestop ฉันคิดว่ามันเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่โชคร้ายในยุคของฉัน มันไม่ได้เป็นการพูดเกินจริงที่จะบอกว่าหนังสือของเฟลเลอร์ได้ปฏิวัติวิธีการสร้างความน่าจะเป็น - ทั่วโลก ส่วนใหญ่ของสัญกรณ์สมัยใหม่ของเราเป็นเพราะเขา หนังสือของเขาเป็นหนังสือที่น่าจะเป็นในการศึกษามานานหลายทศวรรษ บางทีพวกเขาควรจะยังคงเป็น BTW: ฉันได้เพิ่มชื่อสำหรับผู้ที่ไม่เคยได้ยินหนังสือของเขา

ฉันถามคำถามเกี่ยวกับลักษณะตัวละครที่สนุกสนาน

— robin girard

เจย์ขอบคุณสำหรับการอ้างอิงถึงกระดาษโดย Lukacs ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าการกระจายตัวตัวอย่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนนั้นเป็นอิสระจากการแจกแจงแบบปกติเท่านั้น สำหรับช่วงเวลากลางที่สองนั้นมีการแจกแจงบางอย่างซึ่งไม่ใช่หน้าที่ของช่วงเวลาแรก (ดาวิดให้ตัวอย่างที่ดี)

— Wolfgang

Geary, RC (1936), "การกระจายตัวของอัตราส่วน 'นักเรียน' สำหรับตัวอย่างที่ไม่ปกติ," วารสารสมาคมสถิติแห่งราชอาณาจักร, Suppl. 3, 178–184

— vqv