ข้อใดที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปรสุ่มแบบกระจายทั่วไป

14

ฉันมีตัวแปรสุ่มx_0, มีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน1 RVs มีการกระจายตามปกติที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน1ทุกอย่างเป็นอิสระร่วมกัน $X_0,X_1,\dots,X_n$ $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$

Letหมายถึงกรณีที่เป็นที่ใหญ่ที่สุดของเหล่านี้คือX_n) ฉันต้องการที่จะคำนวณหรือประมาณการ[E] ฉันกำลังมองหาการแสดงออกสำหรับเป็นหน้าที่ของหรือประมาณการที่เหมาะสมหรือประมาณสำหรับ[E] $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

ในใบสมัครของฉัน $n$ ได้รับการแก้ไข ( $n=61$ ) และฉันต้องการค้นหาค่าที่เล็กที่สุดสำหรับ $\mu$ ที่ทำให้ $\Pr[E] \ge 0.99$ แต่ฉันอยากรู้เกี่ยวกับคำถามทั่วไปเช่นกัน

probability normal-distribution

— ใบสำคัญแสดงสิทธิอนุพันธ์
แหล่งที่มา

วิธีที่มีขนาดใหญ่เป็น

n

$n$ ? ควรมีการแสดงออกเชิงซีมโทติคที่ดีโดยใช้ทฤษฎีตัวอย่างขนาดใหญ่

— whuber

@whuber ขอบคุณ! ฉันแก้ไขคำถาม: ในกรณีของฉันn

n = 61

$n=61$ แม้ว่า

n = 61

$n=61$ จะไม่ใหญ่พอที่จะนับว่ามีขนาดใหญ่หากมีการประมาณค่าซีมโทติคที่ดีในกรณีที่

n

$n$ มีขนาดใหญ่นั่นก็น่าสนใจ

— DW

5

ใช้บูรณาการเชิงตัวเลข4.91912496

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

— whuber

14

การคำนวณความน่าจะเป็นดังกล่าวได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางโดยวิศวกรการสื่อสารภายใต้ชื่อสัญญาณ -ary orthogonal โดยที่ตัวแบบคือหนึ่งในเท่ากับพลังงานที่มีโอกาสเท่ากันที่สัญญาณ orthogonal ถูกส่งและผู้รับพยายามที่จะตัดสินใจว่า เอาต์พุตของตัวกรองตรงกับสัญญาณ ตามเงื่อนไขของสัญญาณที่ส่งออกตัวอย่างผลลัพธ์ของตัวกรองที่ตรงกันคือ (ตามเงื่อนไข) ตัวแปรสุ่มตามปกติของหน่วยอิสระตัวแปร ตัวอย่างผลลัพธ์ของตัวกรองที่ตรงกับสัญญาณที่ส่งเป็น ตัวแปรสุ่มในขณะที่ผลลัพธ์ของตัวกรองอื่น ๆ ทั้งหมดคือ $M$ $M$ $M$ $N(\mu,1)$ $N(0,1)$ ตัวแปรสุ่ม

เงื่อนไขความน่าจะเป็นของการตัดสินใจที่ถูกต้อง (ซึ่งในบริบทปัจจุบันคือเหตุการณ์ ) ปรับอากาศในคือ โดยที่คือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบสะสมของมาตรฐาน ตัวแปรสุ่มปกติและด้วยเหตุนี้ความน่าจะเป็นแบบไม่มีเงื่อนไขคือ โดยที่ $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} < α ∣ X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$ เป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่นปกติมาตรฐาน ไม่มีนิพจน์แบบปิดสำหรับค่าของอินทิกรัลนี้ซึ่งต้องถูกประเมินเป็นตัวเลข วิศวกรยังสนใจในเหตุการณ์เสริม - การตัดสินใจผิดพลาด - แต่ไม่ต้องการคำนวณสิ่งนี้เป็น เนื่องจากสิ่งนี้ ต้องมีการประเมินอย่างครบถ้วนของส่วนประกอบสำหรับ เพื่อความแม่นยำของตัวเลขที่สำคัญจำนวนมากและการประเมินดังกล่าวนั้นยากและใช้เวลานาน แต่อินทิกรัลสำหรับ สามารถรวมเข้าด้วยกันเพื่อรับ

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$

1 - P (C)

$1-P(C)$

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$ อินทิกรัลนี้ง่ายต่อการประเมินตัวเลขและค่าของฟังก์ชันนั้นถูกสร้างกราฟและทำเป็นตาราง (แต่น่าเสียดายสำหรับ ) ในบทที่ 5 ของวิศวกรรมระบบโทรคมนาคมโดย Lindsey และ Simon, Prentice-Hall 1973, Dover กด 2534 อีกทางหนึ่งวิศวกรใช้สหภาพแรงงานหรือ Bonferroni อสมการ โดยที่เป็นฟังก์ชั่นการแจกแจงสะสมแบบปกติ

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

\begin{aligned} P {X_{0} < max_{i} X_{i}} & = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} P {X_{0} < X_{i}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

จากการรวมกันเราจะเห็นว่าค่าที่ต้องการสำหรับ ถูกล้อมรอบด้วย ซึ่งมีค่าที่5.09 นี่มีขนาดใหญ่กว่าค่าที่แน่นอนมากขึ้น ได้รับจาก @whuber โดยการรวมตัวเลข $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

การอภิปรายและรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการส่งสัญญาณสัญญาณ -ary orthogonal สามารถดูได้ที่ pp. 161-179 ของบันทึกการบรรยายของฉัน สำหรับชั้นเรียนในระบบการสื่อสาร ' $M$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

4

คำตอบอย่างเป็นทางการ:

การแจกแจงความน่าจะเป็น (ความหนาแน่น) สำหรับค่าสูงสุดของ iid คือ: โดยที่คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและเป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสม . $N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

จากนี้คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่มากกว่าอื่น ๆ ผ่าน $X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

คุณอาจต้องพิจารณาถึงการประมาณค่าต่างๆเพื่อจัดการกับสิ่งนี้สำหรับแอปพลิเคชันเฉพาะของคุณ

— เดฟ
แหล่งที่มา

6

+1 จริง ๆ แล้วอินทิกรัลสองชั้นจะทำให้อินทิกรัลเดี่ยวง่ายขึ้นตั้งแต่ให้ซึ่งเป็นคำตอบเดียวกับฉัน

\int_{y}^{\infty} p (x_{0}) d x_{0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$

— Dilip Sarwate