การผ่อนคลายลากรองจ์ในบริบทของการถดถอยของสันเขา

ใน "องค์ประกอบของการเรียนรู้ทางสถิติ" (2nd ed), p63, ผู้เขียนให้สองสูตรต่อไปนี้ของปัญหาการถดถอยสัน:

$$\hat{\beta}^{ridge} = \underset{\beta}{\operatorname{argmin}} \left\{ \sum_{i=1}^N(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p x_{ij} \beta_j)^2 + \lambda \sum_{j=1}^p \beta_j^2 \right\}$$

และ

$$\hat{\beta}^{ridge} = \underset{\beta}{\operatorname{argmin}} \sum_{i=1}^N(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p x_{ij} \beta_j)^2 \text{, subject to } \sum_{j=1}^p \beta_j^2 \leq t.$$

มันก็อ้างว่าทั้งสองจะเทียบเท่าและมีการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างพารามิเตอร์และที$\lambda$$t$

มันจะปรากฏว่าสูตรแรกคือการผ่อนคลายลากรองจ์ที่สอง อย่างไรก็ตามฉันไม่เคยมีความเข้าใจอย่างชาญฉลาดว่าการผ่อนคลายของลากรองจ์นั้นเป็นอย่างไร

มีวิธีง่าย ๆ ที่จะแสดงให้เห็นว่าสูตรทั้งสองมีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริงหรือไม่? ถ้าฉันต้องเลือกฉันชอบสัญชาตญาณมากกว่าความโหดร้าย

ขอบคุณ

จดหมายที่สามารถแสดงให้เห็นได้ง่ายที่สุดโดยใช้ซองจดหมายทฤษฎีบท

$\lambda \cdot t$$\lambda$

$t$$t$$\beta$$\lambda \cdot t$

$t$

ฉันถือว่านี่คือการติดต่อทางจดหมาย Hastie และคณะ กำลังอ้างถึง