Multivariate Central Limit Theorem (CLT) มีไว้เมื่อตัวแปรมีการพึ่งพาอาศัยกันอย่างสมบูรณ์แบบหรือไม่?

ชื่อสรุปคำถามของฉัน แต่เพื่อความชัดเจนลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆดังต่อไปนี้ ให้ , n กำหนด: และ คำถามของฉัน:ถึงแม้ว่าและขึ้นอยู่อย่างสมบูรณ์เมื่อทำและมาบรรจบกัน ถึงการแจกแจงแบบปกติร่วมว่า ? $X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ $i = 1, ..., n$

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$

T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$

S_{n}

$S_n$

T_{n}

$T_n$

n = 1

$n = 1$

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

แรงจูงใจ: แรงจูงใจของฉันสำหรับคำถามเกิดจากความจริงที่ว่ามันรู้สึกแปลก ๆ (แต่น่าอัศจรรย์) ที่ $S_n$ และ $T_n$ นั้นสมบูรณ์แบบเมื่อ $n = 1$ แต่ความหมายของตัวแปรหลายตัวแปร CLT คือพวกมันเข้าใกล้อิสรภาพในขณะที่ $n \rightarrow \infty$ (สิ่งนี้จะตามมาเนื่องจาก $S_n$ และ $T_n$ ไม่มีการกันสำหรับทั้งหมด $n$ ดังนั้นหากพวกเขามีข้อต่อร่วมเชิงเส้นกำกับจากนั้นพวกเขาก็จะต้องเป็นอิสระเชิงเส้นกำกับด้วย)

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับคำตอบหรือความคิดเห็น!

ป.ล. ถ้าคุณสามารถให้การอ้างอิงใด ๆ ฯลฯ แล้วดีกว่า!

— Colin T Bowers
แหล่งที่มา

ไม่มีคำตอบ แต่เป็นความคิดเห็น ฉันไม่พบสิ่งนี้ที่น่าประหลาดใจมาก การพึ่งพาที่คุณทราบสำหรับ n = 1 จะลดลงอย่างรวดเร็วเมื่อ n เพิ่มขึ้น

— Erik

@egbutter ได้ให้คำตอบที่ดี หากคุณยังคงมองหาทางเลือกหรือปรีชาเพิ่มเติมเพิ่มเติม ping ฉันและฉันจะเห็นเกี่ยวกับการเขียนสิ่งที่แตกต่างกันเล็กน้อย

— พระคาร์ดินัล

@ cardinal ขอบคุณมากสำหรับข้อเสนอนี้ แต่ฉันมีความสุขมากในตอนนี้ - ฉันได้รับรางวัลเพื่อความเป็นส่วนตัว ฉันคิดว่าฉันมีสัญชาตญาณ จุดประสงค์หลักของฉันในการโพสต์คือการดูว่ามีใครบางคนกระโดดเข้ามาและพูดว่า "ไม่ไม่คุณทำผิดไปหมดเพราะ ... " :-) ไชโย

— โคลิน T Bowers

คำตอบ:

คำตอบสั้น ๆ ที่ผมเข้าใจคิวของคุณคือ "ใช่ แต่ ..." อัตราการบรรจบกันใน S, T และช่วงเวลาอื่น ๆ ไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน - ตรวจสอบการกำหนดขอบเขตกับBerry-Esseen ทฤษฎีบท

ในกรณีที่ฉันเข้าใจผิด q ของคุณ Sn และ Tn จับ CLT ภายใต้เงื่อนไขของการพึ่งพาที่อ่อนแอ (การผสม): ตรวจสอบCLTของ Wikipedia สำหรับกระบวนการที่ขึ้นต่อกัน

CLT เป็นเช่นทฤษฎีบททั่วไป - การพิสูจน์พื้นฐานไม่ต้องการอะไรมากไปกว่าฟังก์ชั่นพิเศษของ Sn และ Tn ที่รวมเข้ากับฟังก์ชั่นมาตรฐานปกติแล้วเลวีต่อเนื่องทฤษฎีบทบอกว่าการบรรจบกันของฟังก์ชั่นพิเศษ

จอห์นคุกให้คำอธิบายที่ดีของข้อผิดพลาด CLT ที่นี่

— egbutter
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. ฉันไม่ได้กังวลกับอัตราการบรรจบกันเท่าที่คำถามนี้เกี่ยวข้องหรือไม่ว่า CLT จะอยู่ภายใต้เงื่อนไขทั่วไปมากขึ้นเช่นการพึ่งพา สิ่งที่ฉันหวังจริงๆคือการอ้างอิงหรือข้อความที่แสดงให้เห็นถึงการใช้งานของตัวแปรหลายตัวแปร CLT เมื่อองค์ประกอบที่ ith ของผลรวมแต่ละรายการแสดงการพึ่งพาอาศัยกันแบบสมบูรณ์แบบในเวลาเดียวกัน ต่อมาฉันได้พบการอ้างอิงใน "Stochastic Limit Theory" ของ Davidson ที่ระบุว่า CLT หลายตัวแปรได้รับการพึ่งพาอาศัยกันแบบเผด็จการตามอำเภอใจ แต่ฉันยังคงมองหาคำสั่งที่เข้มงวดเล็กน้อย

— โคลิน T Bowers

ดูเหมือนว่าคุณคิดมากเกินไป คุณอยู่ใน [1, n] องค์ประกอบ "ร่วมสมัย" ที่คุณอ้างถึงหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นประเด็นสำคัญคือ Sn และ Tn ของคุณจะยังคงบรรจบกัน (คุณสามารถพิสูจน์ได้ด้วยตัวคุณเองโดยใช้วิธีเดียวกับ "CLT โรงเรียนเก่า" ที่กล่าวถึงข้างต้น) - แต่สำหรับ i ข้อผิดพลาดของพวกเขาจะ จงแตกต่าง. นั่นไม่ได้เปลี่ยนความจริงที่ว่า CLT ถืออยู่ ความแตกต่างหลากหลาย / ไม่แตกต่างกันไม่สำคัญ

— egbutter

ใช่ฉันเป็นองค์ประกอบที่เกิดขึ้นพร้อมกัน คำแนะนำที่ดีเกี่ยวกับการใช้ตัวอย่างผ่านการพิสูจน์ ฉันได้ทำสิ่งนี้จริง ๆ และไม่พบปัญหาใด ๆ ซึ่งทำให้ฉันกังวลใจมากขึ้น บางทีฉันอาจจะคิดมากเกินไปในตอนนี้ :-) ขอบคุณอีกครั้งสำหรับคำตอบ หากไม่มีใครมีคำตอบในตอนท้ายของวันฉันจะทำเครื่องหมายคำตอบของคุณ ไชโย

— โคลิน T Bowers

แน่นอนฉันสามารถเห็นอกเห็นใจ - ฉันมักจะทำสิ่งเดียวกัน! :)

— egbutter

แน่นอนว่ามันไม่ได้พิสูจน์อะไรเลย แต่ฉันมักจะหาการจำลองและการพล็อตกราฟให้มีประโยชน์มากสำหรับการทำความเข้าใจกับผลลัพธ์ทางทฤษฎี

นี่เป็นกรณีที่ง่ายมาก เราสร้างตัวแปรย่อยแบบสุ่มรายการและคำนวณและ ; ทำซ้ำคูณ พล็อตเป็นกราฟสำหรับและ1000มันง่ายที่จะเห็นการลดลงของการพึ่งพาอาศัยเมื่อเพิ่ม ; ที่กราฟแทบแยกไม่ออกจากความเป็นอิสระ $n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— หงษ์อ้อย
แหล่งที่มา