สถิติที่เพียงพอสำหรับคนธรรมดา

ใครช่วยอธิบายสถิติที่เพียงพอในศัพท์พื้นฐานได้ไหม? ฉันมาจากภูมิหลังทางวิศวกรรมและฉันได้ผ่านสิ่งต่างๆมากมาย แต่ไม่สามารถหาคำอธิบายที่เข้าใจง่าย

สถิติที่เพียงพอจะสรุปข้อมูลทั้งหมดที่มีอยู่ในตัวอย่างเพื่อที่คุณจะได้ประมาณพารามิเตอร์เดียวกันว่าเราให้ตัวอย่างหรือสถิติเอง เป็นการลดข้อมูลโดยไม่สูญเสียข้อมูล

นี่คือตัวอย่างหนึ่ง สมมติว่ามีการกระจายแบบสมมาตรประมาณศูนย์ แทนที่จะมอบตัวอย่างให้คุณฉันมอบตัวอย่างค่าสัมบูรณ์ให้คุณแทน (นั่นคือสถิติ) คุณไม่ได้เห็นป้าย แต่คุณรู้ว่าการแจกแจงนั้นสมมาตรดังนั้นสำหรับค่าที่กำหนดx , - xและxนั้นมีโอกาสเท่ากัน (ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเท่ากับ0.5 ) เพื่อให้คุณสามารถพลิกเหรียญยุติธรรม ถ้ามันปรากฏขึ้นให้ทำxนั้นเป็นลบ หากก้อยทำให้เป็นบวก นี่ให้ตัวอย่างจากX ′ซึ่งมีการแจกแจงแบบเดียวกับข้อมูลดั้งเดิม$X$$x$$-x$$x$$0.5$$x$$X'$$X$. คุณสามารถสร้างข้อมูลจากสถิติได้ นั่นคือสิ่งที่ทำให้เพียงพอ

ในแง่คชกรรมคุณมีคุณสมบัติที่สังเกต$X$และพารามิเตอร์Θ$\Theta$การกระจายทุน$X,\Theta$ระบุไว้ แต่ปัจจัยเป็นเงื่อนไขการจำหน่ายของ$X\mid \Theta$และการกระจายก่อนΘ$\Theta$สถิติ$T$ก็เพียงพอแล้วสำหรับรุ่นนี้และถ้าหากการกระจายหลังของ$\Theta\mid X$เป็นเช่นเดียวกับที่$\Theta\mid T(X)$ , สำหรับทุกการกระจายก่อน Θ$\Theta$ในคำพูดความไม่แน่นอนที่อัปเดตของคุณเกี่ยวกับ$\Theta$หลังจากทราบถึงคุณค่าของ$X$เป็นเช่นเดียวกับความไม่แน่นอนของการอัปเดตของคุณเกี่ยวกับ$\Theta$หลังจากที่รู้ค่าของ$T(X)$ ,สิ่งที่ข้อมูลก่อนที่คุณมีเกี่ยวกับ Θ$\Theta$โปรดทราบว่าความพอเพียงเป็นแนวคิดที่ขึ้นกับโมเดล

สมมติว่าคุณมีเหรียญและคุณไม่รู้ว่ามันยุติธรรมหรือไม่ ในคำอื่น ๆ ก็มีความน่าจะเป็น$p$ของมาถึงหัว ( $H$ ) และ$1 - p$ของมาถึงหาง ( $T$ ) และคุณไม่ทราบว่าค่าของพี$p$

คุณพยายามที่จะเข้าใจแนวคิดของค่าของ$p$โดยการโยนเหรียญหลาย ๆ ครั้งพูด$n$ครั้ง

สมมติว่า$n = 5$และผลที่คุณเกิดขึ้นได้เป็นลำดับ$(H, H, T, H, T)$ )

ตอนนี้คุณต้องการให้เพื่อนนักสถิติของคุณประเมินค่า$p$สำหรับคุณและอาจบอกคุณได้ว่าเหรียญมีแนวโน้มที่จะยุติธรรมหรือไม่ คุณต้องบอกข้อมูลอะไรเพื่อให้พวกเขาสามารถทำการคำนวณและทำการสรุปได้

คุณสามารถบอกพวกเขาทั้งหมดของข้อมูลคือ$(H, H, T, H, T)$ ) จำเป็นไหม? คุณสามารถสรุปข้อมูลนี้โดยไม่สูญเสียข้อมูลที่เกี่ยวข้องได้หรือไม่?

เป็นที่ชัดเจนว่าลำดับของการโยนเหรียญนั้นไม่เกี่ยวข้องเพราะคุณกำลังทำสิ่งเดียวกันสำหรับการโยนเหรียญแต่ละครั้งและการโยนเหรียญไม่ได้มีอิทธิพลต่อกันและกัน หากผลลัพธ์เป็น$(H, H, T, T, H)$แทนเช่นข้อสรุปของเราจะไม่แตกต่างกัน มันตามมาว่าสิ่งที่คุณต้องบอกเพื่อนนักสถิติของคุณคือการนับจำนวนหัวที่มี

เราแสดงนี้โดยบอกจำนวนหัวเป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับพี

ตัวอย่างนี้ให้รสชาติของแนวคิด อ่านต่อหากคุณต้องการดูว่ามันเชื่อมต่อกับคำจำกัดความที่เป็นทางการหรือไม่

อย่างเป็นทางการสถิติเพียงพอสำหรับพารามิเตอร์หากกำหนดค่าของสถิติการกระจายความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ไม่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์

ในตัวอย่างนี้ก่อนที่เราจะได้รู้จำนวนหัวน่าจะเป็นของผลใด ๆ เป็น$p^\text{number of heads}(1 - p)^\text{n - number of heads}$จำนวนของหัว เห็นได้ชัดว่านี้ขึ้นอยู่กับพี$p$

แต่เมื่อเรารู้ว่าจำนวนของหัวคือ 3 (หรือค่าอื่น ๆ ) ผลลัพธ์ทั้งหมดที่มี 3 หัว ( $(H, H, T, H, T)$ , $(H, H, T, T, H)$$...$ . . ) มีแนวโน้มที่จะเท่าเทียมกัน (ในความเป็นจริงมีความเป็นไปสิบเพื่อให้พวกเขาทุกคนมีความน่าจะเป็น$1/10$ ) ดังนั้นการกระจายไม่ได้มีอะไรที่จะทำอะไรกับหน้า$p$หมายความว่าผลลัพธ์ที่เราสังเกตเห็นนั้นจะไม่บอกข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ$p$$p$

$p$$\text{number of heads}$$\text{number of heads}$$p$