ขอบเขตบนของความหนาแน่นของโคคูล่า?

Fréchet-Hoeffding ผูกไว้บนใช้กับฟังก์ชั่นการกระจายเชื่อมและมันจะได้รับจาก

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

มีความคล้ายคลึงกัน (ในแง่ที่ว่ามันขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของขอบ) สำหรับความหนาแน่นของแทนที่จะเป็น CDF หรือไม่? $c(u_1,...,u_d)$

การอ้างอิงใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

— คอปโปลา
แหล่งที่มา

คุณกำลังมองหาขอบเขตแบบไหน? คำอธิบายปัญหาที่แท้จริงของคุณอาจช่วยได้ ในทางเทคนิคคำตอบคือ "ไม่" ในสองวิธีที่แตกต่างกัน: (i) อาจไม่มีความหนาแน่น (!) และ (b) ถ้ามีเราสามารถเปลี่ยนได้ในชุดของศูนย์การวัดให้มีขนาดใหญ่เท่ากับเรา ' d ชอบ เรารู้ว่าบางสิ่งบางอย่างแม้ว่า โดยเฉพาะสมมติว่ามีอยู่แล้วและปล่อยให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ไฮเปอร์) ที่มีความยาวด้านÄ_i จากนั้นแน่นอน

c

$c$

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— พระคาร์ดินัล

เนื่องจากคุณสามารถสร้างตัวอย่างที่ตอบสนองต่อข้อ จำกัด นี้ได้อย่างง่ายดายฉันจึงสงสัยว่าจะมีไม่มากเกินกว่าจะพูดได้ แต่ฉันไม่ได้คิดอย่างรอบคอบ

— พระคาร์ดินัล

@cardinal ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ อันที่จริงฉันกำลังสมมติว่าความหนาแน่นอยู่เพื่อหลีกเลี่ยงคดีเล็ก ๆ น้อย ๆ ฉันกำลังมองหาขอบเขตบนในแง่ของความหนาแน่นของชายขอบ ฉันสนใจเป็นพิเศษเกี่ยวกับแบบเกาส์เกาส์

— Coppola

ถ้าเป็นโคคูล่าความหนาแน่นทั้งหมดจะเป็นรูปแบบเดียวกันนั่นคือฟังก์ชันคงที่ :)

— พระคาร์ดินัล

@cardinal ให้อภัยภาษาฝรั่งเศสของฉัน ขอให้ฉันใช้ถ้อยคำใหม่อีกครั้ง Gaula copula (ซึ่งฉันสนใจเป็นพิเศษ) มอบให้โดย(x_j) ที่ไหนและ(x_j)) นี้เช่นไม่สามารถ จำกัด โดยผลิตภัณฑ์(x_j) ดังนั้นฉันกำลังมองหาขอบเขตบนอีกอันที่เกี่ยวข้องกับระยะขอบเท่านั้น และแน่นอนฉันพยายามถามคำถามในลักษณะทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับขอบเขตดังกล่าวข้างต้น ขอโทษสำหรับคำที่คลุมเครือของฉัน

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$

— Coppola

พูดโดยทั่วไปแล้วไม่มี ตัวอย่างเช่นในกรณี bivariate gaussian copula ปริมาณในเลขชี้กำลังมีจุดอานที่ (0,0) ดังนั้นจึงระเบิดเป็นอนันต์ในสองทิศทาง หากคุณเจอความหนาแน่นของโคคูล่าที่อยู่ในขอบเขตที่จริงแล้วโปรดแจ้งให้เราทราบ!

— MHankin
แหล่งที่มา

คุณช่วยอธิบายความหมายของ "ปริมาณในเลขชี้กำลัง" ได้ไหม? การปรากฏตัวของ "จุดอานม้า" ดูเหมือนจะไม่สอดคล้องกับคำนิยามมาตรฐานของการแจกแจงแบบเกาส์

— whuber

@whuber ความหนาแน่นของ copula Gaussian ไม่ใช่ Gaussian มาตรฐาน ถ้าคุณดูที่ความคิดเห็นของคอปโปลาด้านบนคุณจะสังเกตได้ว่าความหนาแน่นแบบเกาส์เซียนมีค่า

คาดหวังเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบผกผัน เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบผกผันควรเป็นค่ากึ่งบวกแน่นอนแบบสมมาตร แต่ -I อนุญาตสำหรับความไม่แน่นอนเชิงบวกดังนั้นจึงเป็นจุดอาน มันมีอยู่เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเมื่อแปลงจาก

เป็น

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— MHankin

ใช่ฉันรู้ - แต่นั่นไม่ใช่สิ่งที่คำตอบของคุณหมายถึง เชื่อมนี้จะแปรตามความสัมพันธ์เมทริกซ์

แต่สำหรับการใด ๆ เช่น

มันเป็นหน้าที่ของที่

เท่านั้น เช่นนี้ไม่เคย "ระเบิดเป็นอนันต์" ไม่มีเมทริกซ์สหสัมพันธ์

ถูกต้อง(นั่นคือ, ไม่ได้สร้าง) ซึ่ง copula นี้มีขอบเขตไม่ จำกัด นี่คือเหตุผลที่ฉันขอคำชี้แจงจากคุณ

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

— whuber

@ เมื่อฉันเพิ่งส่งอีเมลถึงคุณถึงตัวอย่างที่เขียนได้ในเชิงลึกของตัวอย่างของฉัน แจ้งให้เราทราบหากคุณคิดว่ามันถูกต้องซึ่งในกรณีนี้ฉันจะเพิ่มไปยังคำตอบของฉันด้านบน [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin