ผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบทวินามและปัวซอง

หากเรามีตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวและฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของคืออะไร? $X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$ $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ $X_1 + X_2$

NBนี่ไม่ใช่การบ้านสำหรับฉัน

— มัตเตโอฟาซิโอ
แหล่งที่มา

ฉันเดาว่าคุณพยายามที่จะโน้มน้าวใจเหรอ? en.wikipedia.org/wiki/…คุณติดอยู่ที่ไหน ฉันคิดว่าไม่มีรูปแบบปิดมิฉะนั้นการแก้ปัญหาอาจจะอยู่ที่นี่: en.wikipedia.org/wiki/…

— Stephan Kolassa

ใช่นั่นคือสิ่งที่ฉันพยายาม แต่บางทีฉันได้พบคำตอบที่นี่: mathstatica.com/SumBinomialPoisson Kummer ฟังก์ชั่น hypergeometric ไหลมารวมกัน.. ฮึ !

— Matteo Fasiolo

ฉันได้อ่านแท็กการบ้านตามการใช้งานบนเว็บไซต์นี้แล้ว ไชโย :-)

— พระคาร์ดินัล

นวนิยายหมายถึงใหม่ (ไม่รู้จักหรือเผยแพร่มาก่อน) ฉันไม่เห็นด้วยว่าการใช้วิธีการที่เป็นที่รู้จักในการแก้ปัญหาใหม่ทำให้การบ้านเป็นเรื่องเดียวกันสำหรับบทความวารสารส่วนใหญ่ที่ตีพิมพ์ผลการแจกแจง

— wolfies

ในกรณีอื่น ๆ ในสถิติที่ฟังก์ชัน hypergeometric ปรากฏขึ้นพร้อมกับข้อโต้แย้งสำคัญคุณสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการจดชวเลขสำหรับผลรวมโดยนัย (จำกัด ) ในการแปลงหากคุณต้องการ ข้อดีของการแสดงออกเช่นนี้คือมีวิธีการมากมายที่จะจัดการกับมันในรูปแบบที่เรียบง่ายขึ้นและมักจะสามารถประเมินได้โดยไม่ต้องดำเนินการรวมจริง

— whuber

คำตอบ:

คุณจะจบลงด้วยสองสูตรที่แตกต่างกันสำหรับหนึ่งสำหรับ และสำหรับn วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ไขปัญหานี้คือการคำนวณผลิตภัณฑ์ของและ . จากนั้นคือสัมประสิทธิ์ของในผลิตภัณฑ์ ไม่มีการทำให้เข้าใจง่ายของผลรวมเป็นไปได้ $p_{X_1+X_2}(k)$ $0 \leq k < n$ $k \geq n$ $\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$ $\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$ $p_{X_1+X_2}(k)$ $z^k$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

ให้สูตรปิดในแง่ของฟังก์ชั่น hypergeometric ทั่วไป (GHF) บอกเป็นนัยในคำตอบอื่น ๆ (GHF ในกรณีนี้เป็นเพียงพหุนาม จำกัด จริง ๆ ดังนั้นจึงเป็นชวเลขสำหรับผลรวมแน่นอน) ฉันใช้เมเปิ้ลเพื่อหาผลรวมด้วย ผลลัพธ์นี้:

P (X_{1} + X_{2} = k) = \sum_{x_{1} = 0}^{min (n, k)} (\binom{n}{x_{1}}) p^{x_{1}} (1 - p)^{n - x_{1}} e^{- λ} \frac{λ^{k - x_{1}}}{(k - x_{1})!} = \frac{{(1 - p)}^{n} e^{- λ} λ^{k}}{Γ (k + 1)}_{2} F_{0} (- k, - n;; - \frac{p}{(p - 1) λ})

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

Dilip Sarwate กล่าวเมื่อ 7 ปีที่แล้วว่าไม่มีความเป็นไปได้ที่จะทำให้เข้าใจง่าย อย่างไรก็ตามฉันคิดว่ามันมีประโยชน์ที่จะต้องทราบว่าแม้จะไม่มีการทำให้เข้าใจง่ายการคำนวณค่อนข้างตรงไปตรงมาในสเปรดชีตหรือภาษาการเขียนโปรแกรมใด ๆ

นี่คือการดำเนินการใน R:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]

— Pere
แหล่งที่มา

ดิลิปไม่ได้แสดงให้เห็นว่าไม่มีความเรียบง่ายของจำนวนเงินที่เป็นไปได้: เขากล่าวเช่นนั้นเป็นการยืนยัน (และการยืนยันไม่ปรากฏว่าถูกต้อง) หากคุณไปตามลิงก์ที่ให้บริการโดย OP จะมีวิธีแก้ปัญหาในแง่ของฟังก์ชั่น hypergeometric แบบไหลมารวมกัน

— wolfies

@wolfies - นั่นจะเป็นจุดที่น่าสนใจมากในคำตอบใหม่สำหรับคำถามเก่านี้ น่าสนใจกว่าของฉัน

— Pere

วิธีที่เร็วกว่าสำหรับ n ขนาดใหญ่ในทวินามและแลมบ์ดาขนาดใหญ่จะเกี่ยวข้องกับการแปลงฟูริเยร์ที่รวดเร็ว (หรือคล้ายกัน) ฉันประสบความสำเร็จในการใช้ปัญหาหลายอย่างในโลกแห่งความจริงที่การสนทนาไม่สะดวกสบายทางพีชคณิต แต่คำตอบเชิงตัวเลขนั้นเพียงพอและมีการเพิ่มตัวแปรอิสระหลายตัว

— Glen_b

ความคิดเห็นของ Re @ Glen_b สำหรับค่าที่มากขึ้นของและสนทนาด้วยกำลังดุร้ายนี้กลายเป็นเรื่องยุ่งยาก ยิ่งไปกว่านั้นความท้าทายไม่ใช่เพื่อนำไปใช้ แต่เพื่อค้นหาจุดปลายที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณอาร์เรย์: การแก้ไขที่ 10 จะไม่ลดลงอย่างเห็นได้ชัด วิธีการที่เชื่อถือได้วิธีหนึ่งคือการตั้งค่าเป็นเปอร์เซนต์ไทล์ของการแจกแจงที่มากที่สุดเช่นจากนั้นคำนวณสำหรับช่วงและจากนั้น "สับ" ผลลัพธ์ (ด้วย) ก่อนดำเนินการกับผลิตภัณฑ์ด้านนอก เมื่อมีขนาดใหญ่ใช้ขั้นตอนที่คล้ายกับความน่าจะเป็นทวินาม

n

$n$

λ

$\lambda$ dpoisxxx<-qpois(0:1+c(1,-1)*1e-6, lambda)dpoisxzapsmalln

— whuber

จริง ฉันทำสิ่งที่คล้ายกับแอปพลิเคชันของฉัน - ออกไปไกลพอให้ปริมาณที่ต้องการเท่าที่จำเป็น

— Glen_b -Reinstate Monica