ทฤษฎีขีด จำกัด กลางสำหรับค่ามัธยฐานตัวอย่าง

ถ้าฉันคำนวณค่ามัธยฐานของจำนวนการสังเกตที่มากพอจากการแจกแจงแบบเดียวกันทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางจะระบุว่าการกระจายของค่ามัธยฐานจะประมาณการกระจายตัวแบบปกติหรือไม่? ความเข้าใจของฉันคือว่านี่เป็นความจริงด้วยวิธีการของกลุ่มตัวอย่างจำนวนมาก แต่มันก็เป็นความจริงกับมัธยฐาน?

ถ้าไม่เป็นเช่นนั้นการกระจายตัวพื้นฐานของค่ามัธยฐานตัวอย่างคืออะไร

หากคุณทำงานในแง่ของตัวแปรตัวบ่งชี้ (เช่นถ้าและอย่างอื่น) คุณสามารถนำทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางไปใช้กับค่าเฉลี่ยของได้โดยตรงและโดยใช้วิธีเดลต้าเปลี่ยนให้เป็น กระจายปกติ asymptotic สำหรับซึ่งจะหมายความว่าคุณจะได้รับปกติ asymptotic สำหรับ quantiles คงที่ของX$Z_i = 1$$X_i \leq x$$0$$Z$F - 1 X ( ˉ Z ) X$F_X^{-1}(\bar{Z})$$X$

ดังนั้นไม่ใช่แค่ค่ามัธยฐาน แต่เป็นควอไทล์, 90 เปอร์เซ็นต์, ... ฯลฯ

คับถ้าเรากำลังพูดถึง TH quantile ตัวอย่างในตัวอย่างขนาดใหญ่พอที่เราได้รับว่ามันประมาณจะมีการแจกแจงแบบปกติที่มีความหมาย TH ประชากร quantileและความแปรปรวน2)$q$$q$$x_q$$q(1-q)/(nf_X(x_q)^2)$

ดังนั้นสำหรับค่ามัธยฐาน ( ), ความแปรปรวนในตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่พอที่จะอยู่ที่ประมาณ2)$q = 1/2$$1/(4nf_X(\tilde{\mu})^2)$

คุณต้องการเงื่อนไขทั้งหมดตามทางที่จะรักษาไว้ดังนั้นมันจึงไม่สามารถใช้ได้ในทุกสถานการณ์ แต่สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องโดยที่ความหนาแน่นของควอนตัมประชากรนั้นเป็นบวกและเปลี่ยนแปลงได้ ฯลฯ ...

นอกจากนี้มันไม่ได้เก็บไว้สำหรับควอนไทล์ที่รุนแรงเพราะ CLT ไม่ได้เตะในนั้น (ค่าเฉลี่ยของ Z จะไม่เป็นแบบปกติเชิงเส้นกำกับ) คุณจำเป็นต้องมีทฤษฎีที่แตกต่างสำหรับค่าสุดขีด

---

แก้ไข: คำวิจารณ์ของ whuber's ถูกต้อง; สิ่งนี้จะใช้ได้ถ้าเป็นค่ามัธยฐานของประชากรมากกว่าค่ามัธยฐานตัวอย่าง อาร์กิวเมนต์ต้องได้รับการแก้ไขเพื่อให้สามารถใช้งานได้จริง$x$

แนวคิดหลักคือการแจกแจงการสุ่มตัวอย่างของค่ามัธยฐานนั้นง่ายในการแสดงในแง่ของฟังก์ชันการกระจาย แต่มีความซับซ้อนมากขึ้นในการแสดงในแง่ของค่ามัธยฐาน เมื่อเราเข้าใจว่าฟังก์ชั่นการกระจายสามารถแสดงค่าเป็นความน่าจะเป็นและกลับมาได้อีกครั้งมันง่ายที่จะได้รับการแจกแจงตัวอย่างที่แน่นอนของค่ามัธยฐาน จำเป็นต้องมีการวิเคราะห์พฤติกรรมของฟังก์ชันการแจกแจงใกล้ค่ามัธยฐานเพื่อแสดงให้เห็นว่านี่เป็นสัญญาณปกติ

(การวิเคราะห์เดียวกันนี้ใช้งานได้กับการกระจายตัวตัวอย่างของควอไทล์ใด ๆ

ฉันจะไม่พยายามอย่างเข้มงวดในการอธิบายนี้ แต่ฉันจะทำมันออกมาเป็นขั้นตอนที่แสดงให้เห็นถึงความชอบธรรมในลักษณะที่เข้มงวดหากคุณมีใจที่จะทำเช่นนั้น

---

ปรีชา

นี่เป็นภาพรวมของกล่องที่บรรจุอะตอมของก๊าซร้อนอะตอม 70 อะตอม:

ในภาพแต่ละภาพฉันพบตำแหน่งที่ปรากฏเป็นเส้นแนวตั้งสีแดงซึ่งแยกอะตอมเป็นสองกลุ่มเท่ากันระหว่างด้านซ้าย (วาดเป็นจุดสีดำ) และขวา (จุดสีขาว) นี่เป็นค่ามัธยฐานของตำแหน่ง: 35 ของอะตอมอยู่ทางซ้ายและ 35 ไปทางขวา ค่ามัธยฐานเปลี่ยนแปลงเนื่องจากอะตอมเคลื่อนที่แบบสุ่มรอบกล่อง

เราสนใจที่จะกระจายตำแหน่งกลางนี้ คำถามดังกล่าวเป็นคำตอบโดยการกลับขั้นตอนของฉัน: ให้แรกวาดเส้นแนวตั้งที่ใดที่หนึ่งพูดในสถานที่xโอกาสครึ่งอะตอมจะอยู่ทางซ้ายของและครึ่งทางขวาของมันคืออะไร? อะตอมทางด้านซ้ายมีโอกาสที่จะอยู่ทางซ้าย อะตอมทางด้านขวามีโอกาสที่จะอยู่ทางขวา สมมติว่าตำแหน่งของพวกเขามีความเป็นอิสระทางสถิติโอกาสเพิ่มขึ้นให้สำหรับโอกาสของการกำหนดค่านี้ การกำหนดค่าที่เทียบเท่าสามารถบรรลุได้สำหรับการแยกอะตอมออกเป็นสองx x 1 - x x 35 ( 1 - x ) 35 70 $x$$x$$x$$1-x$$x^{35}(1-x)^{35}$$70$$35$- ชิ้นส่วนองค์ประกอบ การเพิ่มหมายเลขเหล่านี้สำหรับการแยกที่เป็นไปได้ทั้งหมดนั้นมีโอกาส

$${\Pr}(x\text{ is a median}) = C x^{n/2} (1-x)^{n/2}$$

โดยที่คือจำนวนทั้งหมดของอะตอมและเป็นสัดส่วนกับจำนวนของการแบ่งอะตอมเป็นสองกลุ่มย่อยที่เท่ากันC $n$$C$$n$

สูตรนี้จะระบุการกระจายของค่ามัธยฐานเป็นเบต้า$(n/2+1, n/2+1)$การกระจาย

ตอนนี้ให้พิจารณากล่องที่มีรูปร่างที่ซับซ้อนมากขึ้น:

ค่ามัธยฐานอีกครั้งแตกต่างกันไป เนื่องจากกล่องอยู่ใกล้ใจกลางกล่องจึงมีปริมาตรไม่มากนัก: มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในปริมาตรที่ครอบครองโดยครึ่งซ้ายของอะตอม (สีดำอีกครั้ง) - หรือเราอาจยอมรับเช่นกันพื้นที่ไปทางซ้ายตามที่แสดงในตัวเลขเหล่านี้ - สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงที่ค่อนข้างใหญ่ในตำแหน่งแนวนอนของค่ามัธยฐาน ในความเป็นจริงเนื่องจากพื้นที่ที่ถูกตัดแบ่งโดยส่วนแนวนอนขนาดเล็กของกล่องนั้นเป็นสัดส่วนกับความสูงที่นั่นการเปลี่ยนแปลงของค่ามัธยฐานจะถูกหารด้วยความสูงของกล่อง สิ่งนี้ทำให้ค่ามัธยฐานเป็นตัวแปรสำหรับกล่องนี้มากกว่ากล่องสี่เหลี่ยมเนื่องจากอันนี้อยู่ตรงกลางที่ต่ำกว่ามาก

ในระยะสั้นเมื่อเราวัดตำแหน่งของค่ามัธยฐานในแง่ของพื้นที่ (ไปทางซ้ายและขวา) การวิเคราะห์ดั้งเดิม (สำหรับกล่องสี่เหลี่ยม) จะไม่มีการเปลี่ยนแปลง รูปร่างของกล่องจะทำให้การแจกแจงซับซ้อนเท่านั้นหากเรายืนยันในการวัดค่ามัธยฐานในรูปของตำแหน่งแนวนอน เมื่อเราทำเช่นนั้นความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่และการแสดงตำแหน่งจะแปรผกผันกับความสูงของกล่อง

มีมากกว่าที่จะเรียนรู้จากภาพเหล่านี้ เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อมีอะตอมเพียงไม่กี่กล่อง (อย่างใดอย่างหนึ่ง) มีโอกาสมากขึ้นที่ครึ่งหนึ่งของพวกเขาจะคลี่คลายคลัสเตอร์ไปด้านใดด้านหนึ่งโดยไม่ตั้งใจ เมื่อจำนวนอะตอมเพิ่มขึ้นโอกาสที่ความไม่สมดุลจะลดลงอย่างมาก ในการติดตามเรื่องนี้ฉันใช้ "ภาพยนตร์" - ชุดยาว 5000 เฟรม - สำหรับกล่องโค้งที่เต็มไปด้วยจากนั้นมี ,จากนั้นและในที่สุดก็มีอะตอมและสังเกตค่ามัธยฐาน นี่คือฮิสโทแกรมของตำแหน่งมัธยฐาน:15 75 $3$$15$$75$$375$

เห็นได้ชัดว่าสำหรับจำนวนอะตอมที่เพียงพอการกระจายของตำแหน่งมัธยฐานเริ่มดูเป็นรูประฆังและขยายให้แคบลง: ซึ่งดูเหมือนว่าผลลัพธ์ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางใช่ไหม

---

ผลลัพธ์เชิงปริมาณ

แน่นอนว่า "กล่อง" แสดงให้เห็นถึงความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของการแจกแจง: ด้านบนคือกราฟของฟังก์ชันความหนาแน่น (PDF) ดังนั้นพื้นที่แสดงถึงความน่าจะเป็น การวางจุดแบบสุ่มและเป็นอิสระภายในกล่องและสังเกตตำแหน่งแนวนอนเป็นวิธีหนึ่งในการดึงตัวอย่างจากการแจกแจง (นี่คือแนวคิดเบื้องหลังการสุ่มตัวอย่างการปฏิเสธ )$n$

รูปถัดไปเชื่อมต่อแนวคิดเหล่านี้

มันดูซับซ้อน แต่จริงๆแล้วค่อนข้างง่าย มีสี่แปลงที่เกี่ยวข้องที่นี่:

1. พล็อตด้านบนแสดงให้เห็นถึงรูปแบบไฟล์ PDF ของการกระจายพร้อมกับหนึ่งตัวอย่างแบบสุ่มของขนาดnค่าที่มากกว่าค่ามัธยฐานจะแสดงเป็นจุดสีขาว ค่าน้อยกว่าค่ามัธยฐานเป็นจุดสีดำ ไม่จำเป็นต้องมีขนาดแนวตั้งเพราะเรารู้ว่าพื้นที่ทั้งหมดเป็นเอกภาพ$n$

2. พล็อตกลางคือฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับการแจกแจงแบบเดียวกัน: มันใช้ความสูงเพื่อแสดงถึงความน่าจะเป็น มันแบ่งปันแกนแนวนอนของมันกับพล็อตแรก แกนแนวตั้งของมันต้องอยู่ระหว่างถึงเพราะมันหมายถึงความน่าจะเป็น$0$$1$

3. พล็อตด้านซ้ายนั้นหมายถึงให้อ่านไปด้านข้าง: เป็น PDF ของการแจกแจงเบต้ามันแสดงให้เห็นว่าค่ามัธยฐานในกล่องจะแตกต่างกันอย่างไรเมื่อวัดค่ามัธยฐานในแง่ของพื้นที่ไปทางซ้ายและขวาของกลาง (แทนที่จะวัดตามตำแหน่งแนวนอน) ฉันได้สุ่มคะแนนจาก PDF นี้ตามที่แสดงและเชื่อมต่อพวกเขาด้วยเส้นประแนวนอนไปยังตำแหน่งที่เกี่ยวข้องใน CDF ดั้งเดิม: นี่คือวิธีที่ปริมาณ (วัดที่ด้านซ้าย) ถูกแปลงเป็นตำแหน่ง (วัดข้ามด้านบนกึ่งกลาง และกราฟิกด้านล่าง) หนึ่งในจุดเหล่านี้จริง ๆ แล้วสอดคล้องกับค่ามัธยฐานที่แสดงในพล็อตด้านบน; ฉันวาดเส้นแนวตั้งที่เป็นของแข็งเพื่อแสดงว่า$(n/2+1, n/2+1)$$16$

4. พล็อตด้านล่างคือความหนาแน่นของการสุ่มตัวอย่างของค่ามัธยฐานที่วัดโดยตำแหน่งแนวนอน มันได้มาจากการแปลงพื้นที่ (ในพล็อตซ้าย) ไปยังตำแหน่ง สูตรการแปลงได้รับจากการผกผันของ CDF ดั้งเดิม: นี่เป็นเพียงความหมายของ CDF ผกผัน! (กล่าวอีกนัยหนึ่ง CDF แปลงตำแหน่งเป็นพื้นที่ด้านซ้ายส่วน Inverse CDF จะแปลงกลับจากพื้นที่หนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่ง) ฉันได้พล็อตเส้นประแนวตั้งเพื่อแสดงว่าจุดสุ่มจากพล็อตซ้ายถูกแปลงเป็นจุดสุ่มภายในพล็อตล่าง . ขั้นตอนการอ่านข้ามจากนี้ไปจะบอกให้เราทราบว่าจะไปจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่งได้อย่างไร

ให้เป็น CDF ของการกระจายดั้งเดิม (แผนกลาง) และ CDF ของการกระจายเบต้า เพื่อหาโอกาสที่เฉลี่ยอยู่ทางด้านซ้ายของบางตำแหน่ง , ใช้งานครั้งแรกเพื่อให้ได้พื้นที่ที่ด้านซ้ายของในกล่อง: นี่คือตัวเอง การกระจายเบต้าที่ด้านซ้ายบอกเรามีโอกาสที่ว่าครึ่งหนึ่งอะตอมจะอยู่ภายในหนังสือเล่มนี้ให้ : นี่คือ CDF ของค่ามัธยฐานตำแหน่ง ในการค้นหา PDF (ดังแสดงในตารางด้านล่าง) ให้หาอนุพันธ์:$F$$G$$x$$F$$x$$F(x)$$G(F(x))$

$$\frac{d}{dx}G(F(x)) = G'(F(x))F'(x) = g(F(x))f(x)$$

โดยที่คือ PDF (พล็อตด้านบน) และคือเบต้า PDF (พล็อตด้านซ้าย)$f$$g$

นี่คือสูตรที่แน่นอนสำหรับการแจกแจงค่ามัธยฐานสำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่อง (ด้วยความระมัดระวังในการตีความบางอย่างมันสามารถนำไปใช้กับการแจกจ่ายใด ๆ ไม่ว่าจะต่อเนื่องหรือไม่)

---

ผลเชิงซีโมติก

เมื่อมีขนาดใหญ่มากและไม่มีการกระโดดที่ค่ามัธยฐานของค่ามัธยฐานตัวอย่างจะต้องแตกต่างกันอย่างมากรอบค่ามัธยฐานที่แท้จริงของการกระจาย นอกจากนี้สมมติว่า PDFนั้นต่อเนื่องใกล้ ,ในสูตรก่อนหน้านี้จะไม่เปลี่ยนแปลงมากนักจากค่าที่กำหนดโดย ยิ่งไปกว่านั้นจะไม่เปลี่ยนแปลงมากนักจากมูลค่าของมันที่นั่น: เป็นการสั่งซื้อครั้งแรก,$n$$F$$\mu$$f$$\mu$ $f(x)$$\mu,$$f(\mu).$$F$

$$F(x) = F\left(\mu + (x-\mu)\right) \approx F(\mu) + F^\prime(\mu)(x-\mu) = 1/2 + f(\mu)(x-\mu).$$

ดังนั้นด้วยการประมาณที่พัฒนามากขึ้นเมื่อเติบโตขึ้นมาก$n$

$$g(F(x))f(x) \approx g\left(1/2 + f(\mu)(x-\mu)\right) f(\mu).$$

นั่นเป็นเพียงการเปลี่ยนตำแหน่งและขนาดของการกระจายเบต้า การลดปริมาณโดยจะแบ่งความแปรปรวนของมันด้วย (ซึ่งดีกว่าไม่ใช่ศูนย์!) อนึ่งความแปรปรวนของเบต้านั้นใกล้เคียงกับมาก$f(\mu)$$f(\mu)^2$$(n/2+1, n/2+1)$$n/4$

การวิเคราะห์นี้สามารถมองได้ว่าการประยุกต์ใช้ด้วยวิธีเดลต้า

สุดท้าย Betaจะอยู่ที่ประมาณปกติขนาดใหญ่nมีหลายวิธีที่จะเห็นสิ่งนี้ บางทีที่ง่ายที่สุดคือดูลอการิทึมของ PDF ใกล้กับ :$(n/2+1, n/2+1)$$n$$1/2$

$$\log\left(C(1/2 + x)^{n/2}(1/2-x)^{n/2}\right) = \frac{n}{2}\log\left(1-4x^2\right) + C' = C'-2nx^2 +O(x^4).$$

(ค่าคงที่และเพียงแค่ทำให้พื้นที่รวมทั้งหมดเป็นเอกภาพ) ผ่านลำดับที่สามในจากนั้นนี่จะเหมือนกับบันทึกของ PDF ปกติที่มีความแปรปรวน (อาร์กิวเมนต์นี้สร้างขึ้นอย่างเข้มงวดโดยใช้คุณลักษณะหรือการสร้างฟังก์ชันที่สะสมแทนการบันทึกของ PDF)$C$$C'$$x,$$1/(4n).$

เมื่อรวมทั้งหมดนี้เราจึงสรุปได้ว่า

• การกระจายของค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างมีความแปรปรวนประมาณ ,$1/(4 n f(\mu)^2)$

• และมันจะอยู่ที่ประมาณปกติขนาดใหญ่ ,$n$

• ทั้งหมดให้ PDFเป็นแบบต่อเนื่องและไม่ใช่ศูนย์ที่ค่ามัธยฐาน$f$$\mu.$

@EngrStudent ส่องสว่างคำตอบบอกเราว่าเราควรคาดหวังผลที่แตกต่างกันเมื่อการกระจายอย่างต่อเนื่องและเมื่อมันไม่ต่อเนื่อง (กราฟ "สีแดง" ที่การกระจาย asymptotic ของค่ามัธยฐานตัวอย่างล้มเหลวที่จะดูเหมือนปกติสอดคล้องกับการแจกแจงทวินาม (3), รูปทรงเรขาคณิต (11), hypergeometric (12), ลบทวินาม (14), ปัวซอง (18), ชุดแยก (22)

และแน่นอนว่าเป็นกรณีนี้ เมื่อการกระจายไม่ต่อเนื่องสิ่งต่าง ๆ ก็ซับซ้อน ฉันจะแสดงหลักฐานสำหรับกรณีที่เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่องโดยเฉพาะอย่างยิ่งการทำไม่เกินรายละเอียดคำตอบที่ได้รับจาก @Glen_b แล้วฉันจะหารือเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อการกระจายไม่ต่อเนื่องเป็นแหล่งอ้างอิงสำหรับผู้ที่สนใจดำน้ำ ใน.

การกระจาย
อย่างต่อเนื่องอย่างต่อเนื่องพิจารณาคอลเลกชันของตัวแปรสุ่มแบบสุ่มอย่างต่อเนื่อง iidพร้อมฟังก์ชันการแจกแจง (cdf)และฟังก์ชันความหนาแน่น(x) กำหนดโดยที่เป็นฟังก์ชันตัวบ่งชี้ ดังนั้นจึงเป็น Bernoulli rv โดยมี $\{X_1,...X_n\}$$F_X(x) = P(X_i\le x)$$F'_X(x)=f_X(x)$$Z_i\equiv I\{X_i\le x\}$$I\{\}$$Z_i$

$$E(Z_i) = E\left(I\{X_i\le x\}\right) = P(X_i\le x)=F_X(x),\;\; \text{Var}(Z_i) = F_X(x)[1-F_X(x)],\;\; \forall i$$

ให้เป็นค่าเฉลี่ยตัวอย่างของ iid Bernoullis เหล่านี้ซึ่งกำหนดไว้สำหรับคงที่เมื่อ ซึ่งหมายความว่า ทฤษฎีการ จำกัด ส่วนกลางใช้และเรามี$Y_n(x)$$x$

$$Y_n(x) = \frac 1n\sum_{i=1}^nZ_i$$ $$E[Y_n(x)] = F_X(x),\;\; \text{Var}(Y_n(x)) = (1/n)F_X(x)[1-F_X(x)]$$

$$\sqrt n\Big(Y_n(x) - F_X(x)\Big) \rightarrow_d \mathbb N\left(0,F_X(x)[1-F_X(x)]\right)$$

โปรดทราบว่าคือไม่ใช่อย่างอื่นนอกเหนือจากฟังก์ชั่นการกระจายเชิงประจักษ์ ด้วยการใช้ "Delta Method" เรามีฟังก์ชั่นต่อเนื่องและ differentiableด้วยอนุพันธ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ณ จุดที่น่าสนใจเราได้รับ$Y_n(x) = \hat F_n(x)$$g(t)$$g'(t)$

$$\sqrt n\Big(g[\hat F_n(x)] - g[F_X(x)]\Big) \rightarrow_d \mathbb N\left(0,F_X(x)[1-F_X(x)]\cdot\left(g'[F_X(x)]\right)^2\right)$$

ตอนนี้เลือกโดยที่หมายถึงฟังก์ชันผกผัน นี่คือฟังก์ชั่นที่ต่อเนื่องและ differentiable (เนื่องจาก คือ) และโดยทฤษฎีฟังก์ชันเรา$g(t) \equiv F^{-1}_X(t),\;\; t\in (0,1)$$^{-1}$$F_X(x)$

$$g'(t)=\frac {d}{dt}F^{-1}_X(t) = \frac 1{f_x\left(F^{-1}_X(t)\right)}$$

การแทรกผลลัพธ์เหล่านี้ลงในในวิธีเดลต้าที่ได้รับผลเชิงซีโมติกที่เรามี$g$

$$\sqrt n\Big(F^{-1}_X(\hat F_n(x)) - F^{-1}_X(F_X(x))\Big) \rightarrow_d \mathbb N\left(0,\frac {F_X(x)[1-F_X(x)]}{\left[f_x\left(F^{-1}_X(F_X(x))\right)\right]^2} \right)$$

และทำให้ง่ายขึ้น

$$\sqrt n\Big(F^{-1}_X(\hat F_n(x)) - x\Big) \rightarrow_d \mathbb N\left(0,\frac {F_X(x)[1-F_X(x)]}{\left[f_x(x)\right]^2} \right)$$

.. สำหรับการแก้ไขใด ๆxตอนนี้ตั้งค่า , ค่ามัธยฐาน (จริง) ของประชากร จากนั้นเรามีและผลลัพธ์ทั่วไปข้างต้นจะกลายเป็นสำหรับกรณีที่เราสนใจ$x$$x=m$$F_X(m) = 1/2$

$$\sqrt n\Big(F^{-1}_X(\hat F_n(m)) - m\Big) \rightarrow_d \mathbb N\left(0,\frac {1}{\left[2f_x(m)\right]^2} \right)$$

แต่ลู่ไปตัวอย่างแบ่งเมตร นี้เป็นเพราะ$F^{-1}_X(\hat F_n(m))$$\hat m$

$$F^{-1}_X(\hat F_n(m)) = \inf\{x : F_X(x) \geq \hat F_n(m)\} = \inf\{x : F_X(x) \geq \frac 1n \sum_{i=1}^n I\{X_i\leq m\}\}$$

ด้านขวามือของความไม่เท่าเทียมกันแปรสภาพเป็นและเล็กที่สุดซึ่งในที่สุดคือค่ามัธยฐานตัวอย่าง$1/2$$x$$F_X \geq 1/2$

ดังนั้นเราจึงได้รับ

$$\sqrt n\Big(\hat m - m\Big) \rightarrow_d \mathbb N\left(0,\frac {1}{\left[2f_x(m)\right]^2} \right)$$ ซึ่งเป็นศูนย์กลาง จำกัด ทฤษฎีบทสำหรับค่ามัธยฐานตัวอย่างสำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องอย่างแน่นอน

แจกแจงต่อเนื่อง
เมื่อกระจายเป็นที่ไม่ต่อเนื่อง (หรือเมื่อกลุ่มตัวอย่างมีความสัมพันธ์) จะได้รับการถกเถียงกันอยู่ว่าว่า "คลาสสิก" ความหมายของ quantiles ตัวอย่างและด้วยเหตุนี้ของค่ามัธยฐานยังอาจจะทำให้เข้าใจผิดในสถานที่แรกเป็นแนวคิดทางทฤษฎีจะเป็น ใช้ในการวัดสิ่งที่หนึ่งพยายามวัดโดย quantiles
ไม่ว่าในกรณีใดก็ตามมันถูกจำลองว่าภายใต้นิยามแบบดั้งเดิม (ที่เราทุกคนรู้) การแจกแจงแบบซีมโทติคของค่ามัธยฐานตัวอย่างไม่ปกติและการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง

อีกทางเลือกหนึ่งของคำจำกัดความของปริมาณตัวอย่างคือการใช้แนวคิดของฟังก์ชั่น "mid-distribution" ซึ่งถูกกำหนดเป็น

$$F_{mid}(x) = P(X\le x) - \frac 12P(X=x)$$

นิยามของตัวอย่างปริมาณผ่านแนวคิดของฟังก์ชั่นการกระจายกลางสามารถเห็นได้ว่าเป็นลักษณะทั่วไปที่สามารถครอบคลุมเป็นกรณีพิเศษการกระจายอย่างต่อเนื่อง แต่ก็ยังไม่ได้อย่างต่อเนื่องเช่นกัน

สำหรับกรณีของการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องท่ามกลางผลลัพธ์อื่น ๆ พบว่าค่ามัธยฐานตัวอย่างตามที่นิยามไว้ผ่านแนวคิดนี้มีการแจกแจงแบบปกติเชิงเส้นกำกับด้วย ... ความแปรปรวนที่ดูซับซ้อน

สิ่งเหล่านี้ส่วนใหญ่เป็นผลลัพธ์ล่าสุด การอ้างอิงคือMa, Y. , Genton, MG, & Parzen, E. (2011) คุณสมบัติเชิงซีมของควอนไทล์ตัวอย่างของการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง พงศาวดารของสถาบันคณิตศาสตร์สถิติ 63 (2), 227-243 ที่หนึ่งสามารถค้นหาการสนทนาและเชื่อมโยงไปยังวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องที่มีอายุมากกว่า

ใช่มันเป็นและไม่เพียง แต่สำหรับค่ามัธยฐาน แต่สำหรับตัวอย่างใด ๆ คัดลอกจาก บทความนี้เขียนโดย TS Ferguson อาจารย์ที่ UCLA (หน้าของเขาอยู่ที่นี่ ) ซึ่งน่าสนใจเกี่ยวกับการกระจายการแจกแจงค่าเฉลี่ยตัวอย่างและตัวอย่างปริมาณเรามี:

ให้เป็น IID กับฟังก์ชั่นการกระจาย , ความหนาแน่นของหมายถึงและความแปรปรวน จำกัด 2 Letและให้แสดงว่า -th quantile ของเพื่อให้P สมมติว่าความหนาแน่นของเป็นอย่างต่อเนื่องและในเชิงบวกที่x_pให้แสดงถึงตัวอย่าง -th quantile แล้วก็$X_1, . . . ,X_n$$F(x)$$f(x)$$\mu$$\sigma^2$$0 < p < 1$$x_p$$p$$F$$F(x_p) = p$$f(x)$$x_p$$Y_n = X_{(n:\lceil np\rceil)}$$p$

$$\sqrt n(Y_n − x_p) \xrightarrow{d} N(0, p(1 − p)/(f(x_p))^2)$$

สำหรับ (ค่ามัธยฐาน) และคุณมี CLT สำหรับค่ามัธยฐาน$p=1/2 \Rightarrow x_p=m$

$$\sqrt n(Y_n − m) \xrightarrow{d} N\left(0, [2f(m)]^{-2}\right)$$

ฉันชอบคำตอบการวิเคราะห์ที่ได้รับจาก Glen_b มันเป็นคำตอบที่ดี

มันต้องการรูปภาพ ฉันชอบรูปภาพ

นี่คือพื้นที่ของความยืดหยุ่นในการตอบคำถาม:

• มีการกระจายในโลกมากมาย ระยะทางมีแนวโน้มที่จะแตกต่างกันไป
• เพียงพอมีความหมายต่างกัน สำหรับตัวอย่างการนับทฤษฏีบางครั้งต้องมีการนับตัวอย่างเดียวเพื่อให้ได้ "เพียงพอ" สำหรับการสาธิตอัตราความบกพร่องต่ำโดยใช้ความไม่แน่นอนของทวินามนับร้อยหรือพันตัวอย่าง

สำหรับมาตรฐานทั่วไปฉันใช้รหัส MatLab ต่อไปนี้:

mysamples=1000;

loops=10000;

y1=median(normrnd(0,1,mysamples,loops));

cdfplot(y1)

และฉันได้พล็อตต่อไปนี้เป็นเอาต์พุต:

เหตุใดจึงไม่ทำเช่นนี้กับการแจกแจงแบบ "มีอยู่ในตัว" อีก 22 ตัวยกเว้นการใช้โพรบพล็อต (ที่เส้นตรงมีความหมายเหมือนปกติมาก)

และนี่คือซอร์สโค้ดสำหรับมัน:

mysamples=1000;

loops=600;

y=zeros(loops,23);

y(:,1)=median(random('Normal', 0,1,mysamples,loops));

y(:,2)=median(random('beta', 5,0.2,mysamples,loops));
y(:,3)=median(random('bino', 10,0.5,mysamples,loops));
y(:,4)=median(random('chi2', 10,mysamples,loops));
y(:,5)=median(random('exp', 700,mysamples,loops));

y(:,6)=median(random('ev', 700,mysamples,loops));
y(:,7)=median(random('f', 5,3,mysamples,loops));
y(:,8)=median(random('gam', 10,5,mysamples,loops));
y(:,9)=median(random('gev', 0.24, 1.17, 5.8,mysamples,loops));
y(:,10)=median(random('gp', 0.12, 0.81,mysamples,loops));

y(:,11)=median(random('geo', 0.03,mysamples,loops));
y(:,12)=median(random('hyge', 1000,50,20,mysamples,loops));
y(:,13)=median(random('logn', log(20000),1.0,mysamples,loops));
y(:,14)=median(random('nbin', 2,0.11,mysamples,loops));
y(:,15)=median(random('ncf', 5,20,10,mysamples,loops));

y(:,16)=median(random('nct', 10,1,mysamples,loops));
y(:,17)=median(random('ncx2', 4,2,mysamples,loops));
y(:,18)=median(random('poiss', 5,mysamples,loops));
y(:,19)=median(random('rayl', 0.5,mysamples,loops));
y(:,20)=median(random('t', 5,mysamples,loops));

y(:,21)=median(random('unif',0,1,mysamples,loops));
y(:,22)=median(random('unid', 5,mysamples,loops));
y(:,23)=median(random('wbl', 0.5,2,mysamples,loops));


figure(1); clf
hold on

for i=2:23
    subplot(4,6,i-1)

    probplot(y(:,i))
    title(['Probplot of ' num2str(i)])
    axis tight

    if not(isempty(find(i==[3,11,12,14,18,22])))
        set(gca,'Color','r')
    end

end

เมื่อฉันเห็นหลักฐานการวิเคราะห์ฉันอาจคิดว่า "ในทางทฤษฎีพวกเขาทั้งหมดอาจเหมาะสม" แต่เมื่อฉันลองแล้วฉันสามารถอารมณ์ด้วย "มีหลายวิธีนี้ไม่ทำงานได้ดีมักเกี่ยวข้องกับการแยกหรือ จำกัด มาก ค่านิยม "และสิ่งนี้อาจทำให้ฉันต้องการที่จะระมัดระวังมากขึ้นเกี่ยวกับการใช้ทฤษฎีกับสิ่งที่ค่าใช้จ่ายเงิน

โชคดี.