ค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบเกาส์แปลงด้วยฟังก์ชันโลจิสติก

ทั้งฟังก์ชั่นโลจิสติกและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมักจะแสดง\ฉันจะใช้และสำหรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน$\sigma$$\sigma(x) = 1/(1+\exp(-x))$$s$

ฉันมีเซลล์ประสาทลอจิสติกพร้อมอินพุตสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานฉันรู้ ฉันหวังว่าความแตกต่างจากค่าเฉลี่ยนั้นสามารถประมาณได้ดีจากเสียงเกาส์เซียนบางส่วน ดังนั้นที่มีการละเมิดเล็กน้อยของสัญกรณ์สมมติมันผลิต2)) ค่าที่คาดหวังของคืออะไร ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานอาจจะมีขนาดใหญ่หรือเล็กเมื่อเทียบกับหรือ1การประมาณรูปแบบปิดที่ดีสำหรับค่าที่คาดหวังจะเกือบดีเท่ากับโซลูชันแบบปิด$\mu$$s$$\sigma(\mu + N(0,s^2))=\sigma(N(\mu,s^2))$$\sigma(N(\mu,s^2))$$s$$\mu$$1$

ฉันไม่คิดว่ามีโซลูชันแบบปิดอยู่ สิ่งนี้สามารถถูกมองได้ว่าเป็นรูปแบบสังวัตนาและฟังก์ชันลักษณะเฉพาะสำหรับความหนาแน่นของโลจิสติกส์นั้นเป็นที่รู้จัก ( ) แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะช่วยได้มากแค่ไหน เครื่องคิดเลขสัญลักษณ์ผกผันก็ไม่สามารถที่จะยอมรับความหนาแน่นที่ของการบิดของความหนาแน่นของการกระจายโลจิสติกและการกระจายปกติมาตรฐานซึ่งแสดงให้เห็น แต่ไม่ได้พิสูจน์ว่าไม่มีหนึ่งประถมง่าย หลักฐานเพิ่มเติมจากสถานการณ์: ในเอกสารบางฉบับเกี่ยวกับการเพิ่มสัญญาณรบกวนแบบเกาส์ไปยังเครือข่ายประสาทด้วยเซลล์ประสาทลอจิสติกเอกสารไม่ได้ให้การแสดงออกในรูปแบบปิดเช่นกัน$\pi t ~\text{csch} ~\pi t$$0$

คำถามนี้เกิดขึ้นในการพยายามทำความเข้าใจข้อผิดพลาดในการประมาณค่าเฉลี่ยฟิลด์ในเครื่อง Boltzman

ต่อไปนี้เป็นสิ่งที่ฉันใช้

เขียนที่2) เราสามารถใช้การขยายตัวของซีรี่ส์เทย์เลอร์$\sigma(N(\mu,s^2)) = \sigma(\mu + X)$$X \sim N(0,s^2)$

$\sigma(\mu + X) = \sigma(\mu) + X \sigma'(\mu) + \frac{X^2}{2} \sigma''(\mu)+ ... + \frac{X^n}{n!}\sigma^{(n)}(\mu) + ...$

$\begin{eqnarray} E[\sigma(\mu + X)] & =& E[\sigma(\mu)] + E[X \sigma'(\mu)] + E[\frac{X^2}{2} \sigma''(\mu)] + ... \newline & = & \sigma(\mu) + 0 + \frac{s^2}{2}\sigma''(\mu) + 0 + \frac{3s^4}{24}\sigma^{(4)}(\mu)+ ... + \frac{s^{2k}}{2^k k!}\sigma^{(2k)}(\mu) ... \end{eqnarray}$

มีปัญหาการบรรจบกัน ฟังก์ชันลอจิสติกมีขั้วที่ดังนั้นที่ ,คี่ ความแตกต่างไม่เหมือนกับคำนำหน้าที่ไร้ประโยชน์ แต่การประมาณแบบนี้อาจไม่น่าเชื่อถือเมื่อมีความสำคัญ$\exp(-x) = -1$$x = k \pi i$$k$$P(|X| \gt \sqrt{\mu^2 + \pi^2})$

ตั้งแต่เราสามารถเขียนสัญญาซื้อขายล่วงหน้าของเป็นพหุนามใน(x) ยกตัวอย่างเช่นและ 4 ค่าสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้องกับOEIS A028246$\sigma'(x) = \sigma(x) (1-\sigma(x))$$\sigma(x)$$\sigma(x)$$\sigma'' = \sigma-3\sigma^2+2\sigma^3$$\sigma''' = \sigma - 7\sigma^2 + 12 \sigma^3 - 6\sigma^4$

สิ่งที่คุณมีที่นี่เป็นตัวแปรสุ่มที่ตาม logit ปกติ (หรือโลจิสติกปกติ) การกระจาย (ดูวิกิพีเดีย ), ที่อยู่,2) ช่วงเวลาของการแจกแจงแบบปกติของ logit ไม่มีวิธีการวิเคราะห์$\mbox{logit}[x] \sim N(\mu, s^2)$

แต่แน่นอนหนึ่งสามารถรับได้ผ่านการรวมตัวเลข หากคุณใช้ R จะมีแพ็คเกจlogitnormที่มีทุกสิ่งที่คุณต้องการ ตัวอย่าง:

install.packages("logitnorm")
library(logitnorm)
momentsLogitnorm(mu=1, sigma=2)

อัตราผลตอบแทนนี้:

> momentsLogitnorm(mu=1, sigma=2)
      mean        var 
0.64772644 0.08767866

ดังนั้นมีฟังก์ชั่นอำนวยความสะดวกที่จะให้ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนโดยตรงกับคุณ