ตามเงื่อนไขทั้งหมด, การกระจายตัวของทวินามลบคืออะไร

หากเป็น IID ทวินามลบแล้วสิ่งคือการกระจายของได้รับ$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = N\quad$ ?

$N$แก้ไข

หากเป็นปัวซองดังนั้นเงื่อนไขโดยรวมเป็นมัลติโนเมียล ฉันไม่แน่ใจว่ามันเป็นเรื่องจริงสำหรับทวินามลบหรือไม่เพราะมันเป็นปัวซองผสม$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

ในกรณีที่คุณอยากรู้นี่ไม่ใช่ปัญหาการบ้าน

ขออภัยสำหรับคำตอบที่ล่าช้า แต่สิ่งนี้ทำให้ฉันเหมือนกันและฉันก็พบคำตอบ การกระจายตัวเป็น Dirichlet-Multinomial และ neg แต่ละตัว การแจกแจงทวินามไม่จำเป็นต้องเหมือนกันตราบใดที่ปัจจัย Fano (อัตราส่วนความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ย) เท่ากัน

คำตอบยาว:

หากคุณกำหนดค่า NB เป็น:

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

จากนั้นและและ$E(X) = \lambda$$Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$แสดงถึง

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

จากนั้นรับความน่าจะเป็นที่ได้รับผลรวม:

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

ที่คือโอกาสในการ Dirichlet-Multinomial นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ายกเว้นค่าสัมประสิทธิ์พหุนามจำนวนมากของเงื่อนไขในเศษส่วนทางด้านซ้ายมือจะถูกยกเลิกซึ่งจะทำให้คุณมีเงื่อนไขของฟังก์ชันแกมมาที่เหมือนกับใน DM โอกาส$DM$

นอกจากนี้โปรดทราบว่าพารามิเตอร์ของรุ่นนี้ไม่สามารถระบุได้ว่าเป็นการเพิ่มขึ้นในพร้อมกับการลดลงพร้อมกันในทั้งหมดผลลัพธ์ในโอกาสเดียวกัน$\theta$$\lambda_i$

การอ้างอิงที่ดีที่สุดที่ฉันมีสำหรับเรื่องนี้คือส่วนที่ 2-3.1 ของGuimarães & Lindrooth (2007): การควบคุมสำหรับ overdispersion ในจัดกลุ่มตามเงื่อนไข logit โมเดล: โปรแกรมง่ายคอมพิวเตอร์ของการถดถอย Dirichlet-พหุนาม - มันเป็น paywalled โชคไม่ดี แต่ผมก็ไม่สามารถที่จะ ค้นหาข้อมูลอ้างอิงที่ไม่ใช่ paywalled