สหสัมพันธ์หรือสัมประสิทธิ์การตัดสินใจเกี่ยวข้องกับเปอร์เซ็นต์ของค่าที่ตกไปตามเส้นการถดถอยหรือไม่?

สหสัมพันธ์, , เป็นการวัดความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างสองตัวแปร ค่าสัมประสิทธิ์ของการตัดสินใจเป็นการวัดความแปรปรวนในตัวแปรหนึ่งที่สามารถอธิบาย "การเปลี่ยนแปลง" ในอีกตัวแปรหนึ่ง$r$$r^2$

ตัวอย่างเช่นถ้าความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรแล้ว0.64 ดังนั้น 64% ของความแปรปรวนในหนึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยความแตกต่างในอีก ขวา?r 2 = $r = 0.8$$r^2 = 0.64$

คำถามของฉันสำหรับตัวอย่างที่ระบุไว้ข้อความใดข้อความหนึ่งต่อไปนี้ถูกต้อง?

1. 64% ของค่าอยู่ในแนวเส้นถดถอย
2. 80% ของค่าอยู่ในแนวเส้นถดถอย

ส่วนแรกของเรื่องนี้ถูกต้องโดยทั่วไป - แต่มันเป็น 64% ของการเปลี่ยนแปลงที่อธิบายโดยรุ่น ในการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่าย: Y ~ X หากคือ. 64 นั่นหมายความว่าการเปลี่ยนแปลงใน Y 64% นั้นถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่าง Y และ X เป็นไปได้ที่จะมีความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งกับต่ำมากถ้าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นเชิงเส้นอย่างยิ่งR $R^2$$R^2$

เกี่ยวกับคำถามที่มีหมายเลขสองข้อของคุณไม่ถูกต้อง อันที่จริงก็เป็นไปได้ว่าจะไม่มีการจุดอาจอยู่ตรงบนเส้นถดถอย นั่นไม่ใช่สิ่งที่ถูกวัด ค่อนข้างเป็นคำถามที่ว่าจุดเฉลี่ยอยู่ใกล้กับเส้นตรงมากแค่ไหน หากจุดทั้งหมดหรือเกือบทั้งหมดอยู่ใกล้ (แม้ว่าจะไม่มีเส้นใดตรงเลย) ดังนั้นจะสูง หากคะแนนส่วนใหญ่อยู่ไกลจากเส้นจะต่ำ หากคะแนนส่วนใหญ่อยู่ใกล้ แต่ไม่มากนักการถดถอยนั้นไม่ถูกต้อง (ปัญหาค่าผิดปกติ) สิ่งอื่น ๆ อาจผิดพลาดได้เช่นกันR $R^2$$R^2$

นอกจากนี้ฉันออกจากความคิดของ "ไกล" ค่อนข้างคลุมเครือ สิ่งนี้จะขึ้นอยู่กับการกระจายของ X ออกไป ทำให้ความคิดเหล่านี้แม่นยำเป็นส่วนหนึ่งของสิ่งที่คุณเรียนรู้ในหลักสูตรการถดถอย ฉันจะไม่เข้าไปที่นี่

คุณถูกต้องกับส่วนแรกของคำสั่งของคุณ วิธีการทั่วไปของการตีความสัมประสิทธิ์การตัดสินใจคือเปอร์เซ็นต์ของการแปรผันของตัวแปรตาม ( ) ที่เราสามารถอธิบายได้ด้วยตัวแปรอธิบาย การตีความและการสืบทอดที่แท้จริงของสัมประสิทธิ์การตัดสินใจสามารถพบได้ที่นี่ y V a r ( y ) R $R^{2}$$y$$Var(y)$$R^{2}$

http://economictheoryblog.com/2014/11/05/the-coefficient-of-determination-latex-r2/

อย่างไรก็ตามการตีความที่รู้จักกันในทางที่น้อยกว่าของค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจคือการตีความว่ามันเป็นเป็นค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สัน Squared ระหว่างค่าสังเกตและค่าติดตั้ง{i} หลักฐานที่แสดงว่าค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจเทียบเท่ากับสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ Squared Pearson ระหว่างค่าที่สังเกตได้และค่าติดตั้งสามารถพบได้ที่นี่ปีผมYฉัน Y ฉันY$R^{2}$$y_{i}$$\hat{y}_{i}$$y_{i}$$\hat{y}_{i}$

http://economictheoryblog.com/2014/11/05/proof/

ในมุมมองของฉันเหล่านี้เป็นวิธีเดียวที่มีความหมายแปลความหมายของค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ{2} มันตามที่สองงบที่คุณทำไม่ได้จะมาจาก{2}R $R^{2}$$R^{2}$

Niether 1 หรือ 2 ถูกต้อง

สมมติว่าคุณกำลังพยายามทำนายชุดของค่าจากชุดของค่าโดยใช้การถดถอยเชิงเส้น แบบจำลองของคุณคือ$\pmb{y}$$\pmb{x}$

โดยที่มีเสียงดัง หมายความว่าสามารถอธิบายความแปรปรวนของได้64% โดยความแปรปรวนในภายใต้โมเดลของคุณ ความแปรปรวนที่เหลือ ( เช่นความแปรปรวนที่ไม่ได้อธิบาย) คือ 0.36 นั่นคือถ้า:R 2 = .64 y $\epsilon_i \sim \mathcal{N(0,\sigma^2)}$$R^2=.64$$y$$x$

แล้วก็