การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องนี้คืออะไร (สมการส่วนต่างแบบเรียกซ้ำ) ที่ฉันได้รับ

ฉันเจอเกมนี้ในคอมพิวเตอร์และต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับพฤติกรรมของมัน มันมาจากการตัดสินใจว่าเหตุการณ์บางอย่างควรเกิดขึ้นหลังจากการกระทำของผู้เล่นจำนวนหนึ่งหรือไม่ รายละเอียดนอกเหนือจากนี้ไม่เกี่ยวข้อง ดูเหมือนว่าเหมาะสมกับสถานการณ์อื่น ๆ และฉันพบว่ามันน่าสนใจเพราะง่ายต่อการคำนวณและสร้างหางยาว

ทุกขั้นตอนเกมสร้างตัวเลขสุ่มเครื่องแบบ<1 ถ้าเหตุการณ์จะถูกเรียกใช้ หลังจากเหตุการณ์เกิดขึ้นอีกครั้งเกมจะรีเซ็ตn = 0และทำงานตามลำดับอีกครั้ง ฉันสนใจเพียงเหตุการณ์เดียวที่เกิดขึ้นสำหรับปัญหานี้เพราะนั่นหมายถึงการกระจายที่เกมใช้อยู่ (นอกจากนี้คำถามใด ๆ เกี่ยวกับเหตุการณ์หลายรายการสามารถตอบด้วยแบบจำลองเหตุการณ์เดียว)0 ≤ X < 1 X < p ( n ) n = $n$$0 \leq X < 1$$X < p(n)$$n = 0$

"ความผิดปกติ" หลักที่นี่คือพารามิเตอร์ความน่าจะเป็นในการแจกแจงนี้เพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไปหรืออีกทางหนึ่งเกณฑ์เพิ่มขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป ในตัวอย่างมันเปลี่ยนแปลงเป็นเส้นตรง แต่ฉันคิดว่าอาจใช้กฎอื่น หลังจาก$n$ขั้นตอนหรือการกระทำโดยผู้ใช้

$$p(n) = kn$$

สำหรับบางคนคง$0 < k < 1$<1 ในบางจุด$n_{\max}$เราได้รับ$p(n_{\max}) \geq 1$1 เหตุการณ์รับประกันได้ว่าจะเกิดขึ้นในขั้นตอนนั้น

ฉันสามารถระบุได้ว่า

$$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$$ และ $$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$$ สำหรับ PMF $f(n)$และ CDF $F(n)$(n) โดยสรุปความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นในขั้นตอนที่$n$เท่ากับความน่าจะเป็น$p(n)$น้อยกว่าความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นแล้วในขั้นตอนก่อนหน้านี้

นี่คือพล็อตจากเพื่อนของเรา Monte Carlo เพื่อความสนุกสนานกับ$k \approx 0.003$0.003 ค่ามัธยฐานทำงานได้ถึง 21 และเฉลี่ยถึง 22

นี่เทียบเท่ากับสมการผลต่างลำดับที่หนึ่งจากการประมวลผลสัญญาณดิจิตอลซึ่งเป็นพื้นหลังของฉันดังนั้นฉันจึงพบว่ามันค่อนข้างแปลกใหม่ ฉันรู้สึกทึ่งกับความคิดที่ว่า$p(n)$อาจแตกต่างกันไปตามสูตรใดก็ได้

คำถามของฉัน:

1. การกระจายนี้มีชื่อว่าอะไรถ้ามี?
2. มีวิธีใดที่จะได้รับนิพจน์สำหรับโดยไม่มีการอ้างอิงถึง ?F ( n $f(n)$$F(n)$
3. มีตัวอย่างอื่น ๆ ของการกระจายแบบเรียกซ้ำแบบไม่ต่อเนื่องเช่นนี้หรือไม่?

แก้ไข กระบวนการที่ชี้แจงเกี่ยวกับการสร้างหมายเลขสุ่ม

ในแง่หนึ่งสิ่งที่คุณทำคือการแจกแจงค่าจำนวนเต็มแบบไม่ลบทั้งหมด

ลองแยกคำอธิบายของกระบวนการสุ่มสักครู่แล้วจดจ่อกับการสอบถามซ้ำในคำถาม

หากแล้วแน่นอน{n-1} ถ้าเราเขียนการสอบถามซ้ำครั้งที่สองนี้ในรูปของฟังก์ชันการเอาตัว รอด (ที่มีการแจกแจง ) เราจะได้รับสิ่งที่ชี้นำและง่ายต่อการจัดการ ชัดเจน และอื่น ๆ ดังนั้นตราบใดที่ลำดับของเรารับค่าในและไม่ได้มาบรรจบกันอย่างรวดเร็วจนเกินศูนย์เราจะได้ฟังก์ชันการเอาตัวรอดที่ถูกต้อง (เช่น monotonically ลดลงเป็นศูนย์เป็น )F n = p n + ( 1 - p n ) F n - 1 S n = 1 - F n = P ( T > n ) T F S n = 1 - F n = ( 1 - p n ) S $f_n = p_n (1 - F_{n-1})$$F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$$T$$F$S n = n ∏ k = 0 ( 1 - p k

$$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$$ ( p n ) [ 0 , 1 ] n → $$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$$ $(p_n)$$[0,1]$$n \to \infty$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

ข้อเสนอ : ลำดับรับค่าในเป็นตัวกำหนดการแจกแจงของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่าลบถ้าหากและการแจกแจงดังกล่าวทั้งหมดมีลำดับที่สอดคล้องกัน (แม้ว่ามันอาจจะไม่ซ้ำกัน)[ 0 , 1 ] - ∞ ∑ n = 0บันทึก( 1 - p n ) = $(p_n)$$[0,1]$

$$-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$$

ดังนั้นการเรียกซ้ำที่เขียนในคำถามคือทั่วไปอย่างเต็มที่ : ใด ๆ กระจายติดลบมูลค่ามีลำดับที่สอดคล้องกัน การค่าเป็น[0,1][ 0 , 1 $(p_n)$$[0,1]$

อย่างไรก็ตามการสนทนาไม่เป็นความจริง นั่นคือมีลำดับมีค่าในที่ไม่สอดคล้องกับการแจกแจงที่ถูกต้องใด ๆ (โดยเฉพาะให้พิจารณาสำหรับและสำหรับ )[ 0 , 1 ] 0 < p n < 1 n ≤ N p n = 0 n > $(p_n)$$[0,1]$$0 < p_n < 1$$n \leq N$$p_n = 0$$n > N$

แต่เดี๋ยวก่อนมีอีกมาก!

เราได้พูดถึงการเชื่อมโยงกับการวิเคราะห์การอยู่รอดและมันคุ้มค่าที่จะสำรวจสิ่งนี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ในการวิเคราะห์การอยู่รอดคลาสสิกกับการกระจายอย่างต่อเนื่องอย่างและสอดคล้องกับความหนาแน่นของที่ ฟังก์ชั่นอันตรายถูกกำหนดให้เป็น f h ( t ) = f ( t $F$$f$

$$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$$

อันตรายสะสมแล้วและการวิเคราะห์อย่างง่ายของการแสดงตราสารอนุพันธ์ที่ จากนี้เราได้ทันทีสามารถให้ลักษณะของฟังก์ชั่นอันตรายที่ยอมรับ: มันเป็นใด ๆ ฟังก์ชั่นที่วัดดังกล่าวว่าสำหรับทุกและ เป็น\S ( t ) = exp ( - Λ ( t ) ) = exp ( - ∫ t 0 h ( s $\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$h h ( t ) ≥ 0 t ∫ t 0 h ( s

$$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$$ $h$$h(t) \geq 0$$t$t → $\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$$t \to \infty$

เราได้รับ recursion ที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชั่นการเอาชีวิตรอดไปยังที่อยู่ด้านบนโดยสังเกตว่าสำหรับ$t > t_0$

$$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$$

สังเกตโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่าเราสามารถเลือกเป็นค่าคงที่ทีละชิ้นโดยแต่ละชิ้นมีความกว้าง 1 และอินทิกรัลแปรเปลี่ยนเป็นอินฟินิตี้ นี่จะให้ฟังก์ชันการอยู่รอด ที่ตรงกับจำนวนเต็มที่ไม่ต่อเนื่องที่ต้องการใด ๆ ที่มีค่าหนึ่งในแต่ละจำนวนเต็มบวก$h(t)$$S(t)$

เชื่อมต่อกลับเข้ากับเคสแบบไม่ต่อเนื่อง

เพื่อให้ตรงกับที่ไม่ต่อเนื่องที่ต้องการในแต่ละจำนวนเต็มเราควรเลือกฟังก์ชั่นอันตรายที่เป็นค่าคงที่ทีละชิ้นเช่น onนี่เป็นการพิสูจน์ข้อที่สองของเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับลำดับเพื่อกำหนดการแจกแจงที่ถูกต้อง$S(n)$

$$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$$ $(n-1,n]$$(p_n)$

หมายเหตุว่าสำหรับขนาดเล็ก , ซึ่งมีการเชื่อมต่อการแก้ปัญหาระหว่างการทำงานของสารอันตรายของการกระจายอย่างต่อเนื่องและการกระจายที่ไม่ต่อเนื่องที่มีฟังก์ชั่นการอยู่รอดการจับคู่ใน จำนวนเต็ม$p_n$$-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

Postscript : ในฐานะที่เป็นบันทึกสุดท้ายตัวอย่างในคำถามไม่ เป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็นโดยไม่มีการดัดแปลงที่เหมาะสมเป็น ที่และการตั้งค่าสำหรับ\$p_n = k n$$f_n$$n = \lceil k^{-1} \rceil$$f_n = 0$$n > \lceil k^{-1} \rceil$

ในกรณีเรามีคุณสมบัติที่รู้จักกันบ้าง เราสามารถแก้ไขความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำได้$p(n) = p < 1$

$$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$$

มีทางออก

$$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$$ ซึ่งเป็นกระจายทางเรขาคณิต เป็นการศึกษาที่ดี

กรณีทั่วไปมากขึ้นของอาจไม่สามารถคำนวณในรูปแบบปิดและดังนั้นจึงน่าจะไม่ได้มีการกระจายที่รู้จักกัน$p(n)$

กรณีอื่น ๆ :

1. $p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$มีทางออก ซึ่งไม่ใช่การกระจายที่รู้จักกันทั่วไป $$F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$$
2. กำหนด (หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันการเอาตัวรอดในสถิติ) ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำข้างต้นจะลดลงในรูปแบบที่ง่ายขึ้น: $S(n) = 1-F(n)$ $$S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$$
3. จากตัวอย่างของคุณก็จะปรากฏขึ้นคุณต้องการฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นในการnทางเลือกของคุณไม่ดีเพราะการวิเคราะห์ของการแบ่งที่ 1 นักคณิตศาสตร์และนักสถิติชอบสิ่งที่ราบรื่น ดังนั้นฉันจึงเสนอ ซึ่งและลู่เข้าสู่ 1 การแก้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำกับนี้มีรูปแบบการวิเคราะห์ที่ดี: พิจารณา . สถิติที่ทราบคือ $p(n)$$n$$p(n) = kn$$p>1$ $$p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$$ $p(0) = p$$p(n)$S(n)=1-F(n)=(1-p) n + $$F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$$ ∞ ∑ i=0S(i)=E[N]E[N]=(1-p)e(1-p$S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $$\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$$ ซึ่งถ้าคุณจำแคลคูลัสได้ดูเหมือนว่าอนุกรมของเทย์เลอร์เอ็กซ์โปเนนเชียลดังนั้น $$E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$$