นี่เป็นวิธีที่ถูกต้องในการอัพเดทความน่าจะเป็นอย่างต่อเนื่องโดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์หรือไม่?

สมมติว่าฉันกำลังพยายามหาความน่าจะเป็นที่ไอศครีมที่ชื่นชอบของใครบางคนคือวานิลลา

ฉันรู้ว่าคน ๆ นี้ก็ชอบดูหนังสยองขวัญด้วย

ฉันต้องการหาความน่าจะเป็นที่ไอศครีมที่ชื่นชอบของบุคคลนั้นคือวานิลลาเนื่องจากพวกเขาเพลิดเพลินกับภาพยนตร์สยองขวัญ

ฉันรู้สิ่งต่อไปนี้:

$5\%$ ของผู้คนเลือกวานิลลาเป็นไอศครีมที่ชื่นชอบ (นี่คือของฉัน ) $P(A)$
$10\%$ ของผู้ที่ชื่นชอบไอศครีมวานิลลาก็ชอบภาพยนตร์สยองขวัญเช่นกัน (นี่คือของฉัน ) $P(B|A)$
$1\%$ ของคนที่ชื่นชอบไม่ใช่ไอศกรีมวานิลลาก็ชอบหนังสยองขวัญ (นี่คือของฉัน ) $P(B|\lnot A)$

ดังนั้นฉันคำนวณแบบนี้: ฉันพบว่า (ปัดเศษเป็นสิบหลักที่ใกล้ที่สุด) มีโอกาสที่ไอศครีมที่ชื่นชอบของแฟนหนังสยองขวัญคือวานิลลา

P (A | B) = \frac{0.05 \times 0.1}{(0.05 \times 0.1) + (0.01 \times (1 - 0.05))}

$P(A|B)=\frac{0.05\times0.1}{(0.05 \times 0.1)+(0.01 \times(1-0.05))}$

P (A | B) = 0.3448

$P(A|B) = 0.3448$

34.48 %

$34.48\%$

แต่แล้วฉันก็รู้ว่าบุคคลนั้นได้ดูหนังสยองขวัญในช่วง 30 วันที่ผ่านมา นี่คือสิ่งที่ฉันรู้:

$34.48\%$ เป็นความน่าจะเป็นด้านหลังที่วานิลลาเป็นคนชื่นชอบไอศครีมรสชาติ -ในปัญหาต่อไปนี้ $P(A)$
$20\%$ ของผู้ที่ชื่นชอบไอศครีมวานิลลาได้ดูหนังสยองขวัญในช่วง 30 วันที่ผ่านมา
$5\%$ ของผู้ที่ไม่ชอบไอศกรีมวานิลลาได้เห็นภาพยนตร์สยองขวัญในช่วง 30 วันที่ผ่านมา

สิ่งนี้จะให้: เมื่อปัดเศษ

\frac{0.3448 \times 0.2}{(0.3448 \times 0.2) + (0.05 \times (1 - 0.3448))} = 0.6779

$\frac{0.3448\times0.2}{(0.3448\times0.2)+(0.05\times(1-0.3448))} = 0.6779$

ดังนั้นตอนนี้ฉันเชื่อว่ามีโอกาสที่แฟนหนังสยองขวัญชอบไอศกรีมเพราะพวกเขาเคยดูหนังสยองขวัญในช่วง 30 วันที่ผ่านมา $67.79\%$

แต่เดี๋ยวก่อนมีอีกอย่างหนึ่ง ฉันได้เรียนรู้ด้วยว่าบุคคลนั้นเป็นเจ้าของแมว

นี่คือสิ่งที่ฉันรู้:

$67.79\%$ เป็นความน่าจะเป็นหลังที่ได้รับการปรับปรุงซึ่งวานิลลาเป็นคนชื่นชอบไอศกรีมรสชาติ -ในปัญหาต่อไปนี้ $P(A)$
$40\%$ ของผู้ที่ชื่นชอบไอศครีมวานิลลาก็มีแมวเป็นของตัวเอง
$10\%$ ของผู้ที่ชื่นชอบไม่ใช่ไอศครีมวานิลลาก็มีแมวเป็นของตัวเอง

สิ่งนี้ให้: เมื่อปัดเศษ

\frac{0.6779 \times 0.4}{(0.6779 \times 0.4) + (0.1 \times (1 - 0.6779))} = 0.8938

$\frac{0.6779\times0.4}{(0.6779\times 0.4)+(0.1\times(1-0.6779))} = 0.8938$

โดยทั่วไปคำถามของฉันจะลดลงเป็นอย่างนี้: ฉันได้ปรับปรุงความน่าจะเป็นโดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์อย่างถูกต้องหรือไม่? ฉันได้รับสิ่งผิดปกติในวิธีการของฉันหรือไม่?

probability bayes

— user1626730
แหล่งที่มา

รัก = ชื่นชอบ? คุณไม่ได้โพสต์องศาแห่งความรัก ถ้าคุณรักมันก็เป็นที่ชื่นชอบของคุณ ชี้แจงหากจำเป็น

— generic_user

จุดดี. ฉันเปลี่ยน "ความรัก" เป็น "รายการโปรด" มันไม่ถูกต้องตามหลักไวยากรณ์ แต่พูดน้อยกว่าพูดว่า "เลือกวานิลลาเพื่อรสชาติไอศกรีมที่พวกเขาโปรดปราน" ฉันหวังว่าจะล้างสิ่งต่างๆ

— user1626730

สิ่งนี้ไม่ถูกต้อง การอัปเดตตามลำดับของประเภทนี้จะทำงานเฉพาะเมื่อข้อมูลที่คุณได้รับตามลำดับนั้นเป็นอิสระ (เช่นการสังเกต iid ของตัวแปรสุ่ม) หากการสังเกตแต่ละครั้งไม่เป็นอิสระเช่นในกรณีนี้คุณต้องพิจารณาการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม วิธีที่ถูกต้องในการอัปเดตคือการย้อนกลับไปก่อนพบความน่าจะเป็นร่วมที่ใครบางคนรักหนังสยองขวัญได้เห็นภาพยนตร์สยองขวัญในช่วง 30 วันที่ผ่านมาและเป็นเจ้าของแมวที่พวกเขาทำหรือไม่เลือกวานิลลา รสชาติไอศกรีมที่ชื่นชอบแล้วอัปเดตในขั้นตอนเดียว

การอัปเดตตามลำดับเช่นนี้เมื่อข้อมูลของคุณไม่เป็นอิสระจะทำให้ความน่าจะเป็นหลังของคุณสูงหรือต่ำกว่าที่ควรจะเป็น

— Jonathan Christensen
แหล่งที่มา

คุณหมายความว่าอย่างไรเมื่อ "ข้อมูลที่คุณได้รับตามลำดับมีความเป็นอิสระ" หากคุณหมายถึง "เป็นอิสระจากเหตุการณ์ที่คุณพยายามคาดการณ์" คุณรู้ไหมว่าฉันจะบอกได้อย่างไรว่าข้อมูลที่ฉันได้รับมีความเป็นอิสระหรือไม่?

— user1626730

เงื่อนไขที่เป็นอิสระได้รับเหตุการณ์ที่คุณพยายามที่จะทำนาย หากพวกเขาเป็นอิสระจากเหตุการณ์ที่คุณพยายามคาดการณ์พวกเขาจะไม่ทำอะไรให้คุณดี สำหรับวิธีที่คุณสามารถบอกได้ - คุณต้องคิดว่าข้อมูลของคุณคืออะไร ในกรณีนี้ไม่ว่าจะมีคนดูหนังสยองขวัญใน 30 วันที่ผ่านมาชัดเจนหรือไม่ว่าพวกเขารักหนังสยองขวัญ

— Jonathan Christensen

เมื่อคุณพูดว่า "เป็นอิสระตามเงื่อนไข" ฉันเดาว่าคุณหมายถึงว่า P (B) แต่ละคน (เช่นรักหนังสยองขวัญและเป็นเจ้าของแมว) ไม่เกี่ยวข้องกันใช่ไหม ถ้าเป็นเช่นนั้นตัวแปรการเป็นเจ้าของแมวจะไม่ขึ้นอยู่กับความรักในหนังสยองขวัญหรือไม่?

— user1626730

ใช่คุณสามารถโต้แย้งว่าการเป็นเจ้าของแมวนั้นเป็นอิสระจากความรักในหนังสยองขวัญ แม้ว่ามันอาจจะไม่ใช่ผู้หญิงที่มีแนวโน้มที่จะรักแมวและมีแนวโน้มที่จะรักภาพยนตร์สยองขวัญน้อยกว่า

— Jonathan Christensen

อืมฉันไม่แน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไรโดยการเพิ่มบิตเกี่ยวกับผู้หญิงและแมว คุณช่วยอธิบายเพิ่มเติมได้ไหม

— user1626730