ความแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่มที่ถูกแปลง

ฉันมีสองตัวแปรสุ่มและ0 $X > 0$ $Y > 0$

เนื่องจากฉันสามารถประมาณฉันจะประมาณ

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— user7064
แหล่งที่มา

คำถามที่ผ่านมานี้ถามเกี่ยวกับสหสัมพันธ์แทนความแปรปรวนร่วม แต่เกี่ยวข้อง: stats.stackexchange.com/questions/35941/…

— Douglas Zare

หนึ่งสามารถใช้แนวทางการขยายตัวของเทย์เลอร์:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

แก้ไข:

ใช้ ,(Y) $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

ใช้การขยายแบบหลายตัวแปรเทย์เลอร์เพื่อคำนวณการประมาณเพื่อ (ในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างในตอนท้ายของ "ช่วงเวลาแรก" ในลิงก์ซึ่งทำกรณีที่ง่ายกว่าของและใช้การขยายแบบไม่รวมตัวแปรเพื่อคำนวณการประมาณเพื่อและ (ตามที่กำหนดในส่วนแรกของส่วนเดียวกัน) เพื่อความแม่นยำที่คล้ายกัน จากสิ่งเหล่านั้นคำนวณความแปรปรวนร่วม (โดยประมาณ) $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

เมื่อขยายออกไปถึงระดับการประมาณที่ใกล้เคียงกันเป็นตัวอย่างในลิงก์ฉันคิดว่าคุณท้ายด้วยคำศัพท์ในค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรแต่ละตัว (ไม่ถูกแปลง) และความแปรปรวนร่วม

แก้ไข 2:

แต่นี่เป็นเคล็ดลับเล็กน้อยที่อาจช่วยความพยายามบางอย่าง:

โปรดทราบว่าและและ(V) $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

ได้รับ เรามี

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

แก้ไข: ขั้นตอนสุดท้ายนั้นตามมาจากการประมาณเทย์เลอร์ซึ่งดีสำหรับขนาดเล็ก(รับ ) $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(การประมาณนั้นแน่นอนสำหรับ ,ปกติ: ) $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

ให้ $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

และให้จากนั้น $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(แก้ไข :)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

ดังนั้น . นี่ควรเป็นสิ่งที่แน่นอนสำหรับ bivariate gaussian $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

หากคุณใช้การประมาณครั้งแรกแทนที่จะเป็นครั้งที่สองคุณจะได้การประมาณที่แตกต่างกันที่นี่

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

กรุณาให้รายละเอียดเพิ่มเติมหน่อยได้ไหม? อย่างไรก็ตามขอขอบคุณสำหรับคำแนะนำ

— user7064

แก้ไขเพื่อดูรายละเอียด

— Glen_b -Reinstate Monica

ขอบคุณ @Glend_b ฉันจะยอมรับเมื่อมีการเพิ่มรายละเอียด ในขณะเดียวกัน +1 :-)

— user7064

ไม่ต้องห่วง; ฉันยุ่งในเวลานั้นลืมไปโดยสิ้นเชิง แก้ไขแล้ว

— Glen_b

โดยทั่วไปจะใช้งานได้ดีกว่าสำหรับตัวแปรที่ไม่ใช่แบบเกาส์หากความแปรปรวนของและมีขนาดเล็ก (เท่ากันถ้าค่าสัมประสิทธิ์การแปรผันของและมีค่าน้อย)

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstate Monica

หากไม่มีข้อสันนิษฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับและมันเป็นไปไม่ได้ที่จะอนุมานความแปรปรวนร่วมของบันทึกที่รู้ถึงความแปรปรวนร่วมเริ่มต้น ในทางกลับกันถ้าคุณสามารถคำนวณจากและสิ่งที่ป้องกันคุณจากการคำนวณจากและโดยตรง $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— ThePawn
แหล่งที่มา