การหาการแจกแจงของสถิติ

กำลังศึกษาเพื่อทดสอบ ไม่สามารถตอบคำถามนี้

ให้เป็น iidตัวแปรสุ่ม กำหนด$X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$$\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

และ ,$\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

การกระจายของ ,คืออะไร$\overline{W}_n$$S_n^2$

ฉันจะได้รับแนวคิดวิธีที่ดีที่สุดที่จะใช้เมื่อเริ่มต้นปัญหาเช่นนี้ได้อย่างไร

มันเป็นเคล็ดลับ

ตามเงื่อนไขบนเรามีเท่ากับ นี้ต่อไปจากความจริงที่ว่าคงนี้เป็นเชิงเส้นอย่างง่ายการเปลี่ยนแปลงของทั้งสองเป็นอิสระตัวแปร -distributedและi} ดังนั้น,มีการแจกแจงแบบปกติ ค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไขจะเห็นเป็น 0 และความแปรปรวนตามเงื่อนไขคือ (ตามสมมติฐานอิสระ) $X_{3,i} = x$$W_i$

$$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$$ $x$$\mathcal{N}(0,1)$$X_{1,i}$$X_{2,i}$$W_i \mid X_{3,i} = x$ $$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$$

เนื่องจากการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของไม่ได้ขึ้นอยู่กับเราสรุปได้ว่ามันคือการกระจายแบบร่อแร่เช่นกันนั่นคือ$W_i \mid X_{3,i} = x$$x$$W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

ส่วนที่เหลือตามจากผลลัพธ์มาตรฐานของค่าเฉลี่ยและส่วนที่เหลือสำหรับตัวแปรสุ่มปกติที่เป็นอิสระ ทฤษฎีบทของ Basu ไม่จำเป็นสำหรับทุกสิ่ง