แม่น Bayesian ก่อน

ฉันต้องการถามคำถามที่ได้รับแรงบันดาลใจจากคำตอบที่ยอดเยี่ยมสำหรับคำถามเกี่ยวกับสัญชาตญาณการแจกแจงเบต้า ฉันต้องการได้รับความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับการได้มาของการกระจายก่อนหน้านี้สำหรับค่าเฉลี่ยการตี ดูเหมือนว่าดาวิดกำลังสนับสนุนพารามิเตอร์จากค่าเฉลี่ยและช่วง

ภายใต้สมมติฐานที่ว่าค่าเฉลี่ยคือและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ0.18คุณสามารถถอยออกαและβได้โดยการแก้สมการทั้งสองนี้: $0.27$$0.18$$\alpha$$\beta$

$$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$$

สังเกตว่า:

$$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$$

ซึ่งหมายความว่าสามารถแสดงความแปรปรวนในแง่ของค่าเฉลี่ยเป็น

$$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$$

ถ้าคุณต้องการหาค่าเฉลี่ยของ. $.27$และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ$.18$ (ความแปรปรวน$.0324$ ) เพียงแค่คำนวณ:

$$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$$

ตอนนี้คุณก็รู้แล้วว่า$\alpha$และ$\beta$นั้นง่ายมาก:

$$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$$

คุณสามารถตรวจสอบคำตอบนี้ใน R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

ฉันต้องการเพิ่มสิ่งนี้เป็นความคิดเห็นในคำตอบที่ยอดเยี่ยม แต่มันใช้เวลานานและจะดูดีขึ้นด้วยการจัดรูปแบบคำตอบ

สิ่งที่ต้องจำไว้คือไม่ใช่ทุกอย่างเป็นไปได้ มันชัดเจนμ ∈ [ 0 , 1 ]แต่ไม่เป็นที่ชัดเจนเป็นข้อ จำกัด สำหรับσ 2$(\mu, \sigma^2)$$\mu \in [0,1]$$\sigma^2$

ด้วยเหตุผลเดียวกับดาวิดเราสามารถแสดงออกได้

$$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$$

$\alpha$$\sigma^2$$\mu$

$$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$$

$\alpha$$\alpha > 0$); this limit is itself maximized at $\mu = \frac12$.

Notice the relationship to a corresponding Bernoulli RV. The Beta distribution with mean $\mu$เนื่องจากถูกบังคับให้รับค่าทั้งหมดระหว่าง 0 และ 1 จะต้องแยกย้ายกันน้อยกว่า (กล่าวคือมีความแปรปรวนต่ำกว่า) กว่า Bernoulli RV ด้วยค่าเฉลี่ยเดียวกัน (ซึ่งมีมวลทั้งหมดที่ปลายช่วงเวลา) อันที่จริงแล้วการส่ง$\alpha$ ถึง 0 และแก้ไข $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$ จำนวนที่จะใส่มวลของ PDF มากขึ้นเรื่อย ๆ ใกล้กับ 0 และ 1 นั่นคือการเข้าใกล้การแจกแจงเบอร์นูลลีมากขึ้นซึ่งเป็นสาเหตุที่ค่าสูงสุดของการแปรปรวนเป็นความแปรปรวนเบอร์นูลลี

นำมารวมกันนี่คือชุดค่าเฉลี่ยและผลต่างสำหรับเบต้า:

(อันที่จริงสิ่งนี้ถูกบันทึกไว้ในหน้า Wikipedia สำหรับเบต้า )