ขอบเขตหางรู้จักที่คมชัดที่สุดสำหรับตัวแปรแบบกระจายคืออะไร

Letจะเป็นตัวแปรสุ่มไคสแควกระจายกับองศาอิสระ ขอบเขตที่ทราบกันดีที่สุดสำหรับความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้คืออะไร $X \sim \chi^2_k$ $k$

P [X > t] \leq 1 - δ_{1} (t, k)

$\mathbb{P}[X > t] \leq 1 - \delta_1(t, k)$

และ

P [X < z] \leq 1 - δ_{2} (z, k)

$\mathbb{P}[X < z] \leq 1 - \delta_2(z, k)$

โดยที่และเป็นฟังก์ชั่นบางอย่าง ตัวชี้ไปยังเอกสารที่เกี่ยวข้องจะได้รับการชื่นชม $\delta_1$ $\delta_2$

probability chi-squared

— mkolar
แหล่งที่มา

หากคุณกำหนดเดลต้าให้เป็นฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งสมบูรณ์คุณจะได้รับความเท่าเทียมที่แน่นอน เห็นได้ชัดว่านี่เป็นขอบเขตที่คมชัดที่สุด! ฉันเดาว่าประเด็นของคำถามนี้คือเครื่องคิดเลขของคุณไม่คำนวณ gammas ที่ไม่สมบูรณ์และคุณกำลังมองหาการประมาณ แต่ยังคงละเว้นข้อมูลสำคัญ: เราจะตอบคำถามนี้ได้อย่างไรจนกว่าเราจะรู้ว่าเครื่องคำนวณของคุณสามารถคำนวณได้อย่างไร

— whuber

ฉันไม่ได้สนใจในการคำนวณขอบเขตบน แต่ได้รับสิ่งที่ฉันสามารถควบคุมการวิเคราะห์ คำตอบที่โรบินให้นั้นคือสิ่งที่ฉันกำลังมองหา คำถามคือมีขอบเขตที่แม่นยำกว่า Massart และ Laurent หรือไม่?

— mkolar

อินทิกรัลของแกมม่าสามารถ "ควบคุมเชิงวิเคราะห์" ดังนั้นคุณสร้างความแตกต่างอะไร

— whuber

ขอบเขตที่คมชัดที่สุดที่ฉันรู้คือMassart และ Laurent Lemma 1 p1325

ข้อพิสูจน์ของข้อ จำกัด คือ:

P (X - k \geq 2 \sqrt{k x} + 2 x) \leq \exp (- x)

$P(X-k\geq 2\sqrt{kx}+2x)\leq \exp (-x)$

P (k - X \geq 2 \sqrt{k x}) \leq \exp (- x)

$P(k-X\geq 2\sqrt{kx})\leq \exp (-x)$

— โรบินกีร์ด
แหล่งที่มา

ความไม่เท่าเทียมครั้งที่สองดูเหมือนจะไม่ถูกต้องหรือฉันพลาดอะไรไป?

— mkolar

@mkolar ขอโทษด้วยตอนนี้แก้ไขแล้ว

— robin girard