จะหาการกระจายของส่วนต่างจากการกระจายแบบร่วมที่มีการพึ่งพาหลายตัวแปรได้อย่างไร

หนึ่งในปัญหาในหนังสือเรียนของฉันถูกวางไว้ดังนี้ เวกเตอร์ต่อเนื่องสุ่มสองมิติมีฟังก์ชันความหนาแน่นต่อไปนี้:

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

แสดงว่าฟังก์ชันความหนาแน่นของส่วนขอบและคือ: $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

ผมเข้าใจว่าฟังก์ชั่นความหนาแน่นคำนวณโดยการบูรณาการจากไปด้วยความเคารพต่อปีฉันหลงทางโดยสิ้นเชิงในแล้วมาจากไหน ถ้าผมรวมจากไปด้วยความเคารพแล้วฉันจะได้รับและทำไมเป็นช่วง ? $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

ฉันได้ทำกราฟการสนับสนุนสำหรับ , ค่าทั้งหมดที่เป็นสีฟ้า: $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

การสนับสนุนสำหรับ $ X, Y $

— soren.qvist
แหล่งที่มา

มันอาจช่วยให้คุณวาดภาพการสนับสนุนของ (ซึ่งเป็นชุดของที่ ) นั่นควรตอบคำถามของคุณทันที

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

— whuber

@whuber โอเคฉันได้ทำกราฟการสนับสนุนและฉันคิดว่าฉันเข้าใจว่าทำไมมันถึงเป็น 0 <y <1 มันเป็นเพราะ x ถูกนิยามใน 0 <x <1 เท่านั้นและเนื่องจาก 0 <y <x เราจึงมี y เป็นเพียงธรรมชาติเท่านั้น กำหนดจาก 0 ถึง 1 ถูกต้องไหม แต่ฉันก็ยังไม่เข้าใจส่วน (1-y ^ 2)

— soren.qvist

คำแนะนำ: ความหนาแน่นเพิ่มของเป็นหนึ่งของซึ่งสำหรับค่าคงที่ของ , , ไม่ใช่ศูนย์เท่านั้นสำหรับผู้ที่ความพึงพอใจ<1 นั่นคือและนั่นคือที่ส่วนหนึ่งมาจาก

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

— Dilip Sarwate

ขอบคุณสำหรับคำใบ้ดิลลิปฉันเกรงว่าฉันไม่เข้าใจอย่างเต็มที่ ".. สำหรับค่าคงที่ของ , , ไม่ใช่ศูนย์สำหรับทำให้พอใจ " คุณหมายถึงพื้นที่สีน้ำเงินบนแผนภูมิหรือไม่?

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

— soren.qvist

@ soren.qvist ใช่ ฉันหมายถึงพื้นที่สีน้ำเงินบนแผนภูมิ เป็นหนึ่ง (พื้นที่ใต้เส้นโค้ง) ของฟังก์ชั่นของ

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$ ซึ่งมีค่า

ถ้า

อยู่ระหว่าง

และ

(พื้นที่สีฟ้า) และ

อย่างอื่น ทำซ้ำสำหรับค่าคงที่อื่น ๆของ

และสังเกตว่าแต่ละครั้งค่าตัวเลขของ

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ ทำงานให้เป็นจำนวนเดียวกับที่ได้รับโดย "เสียบเข้ากับ" ค่าที่เลือกของ

ลงในนิพจน์

ตามที่ระบุในใบตอบรับของคุณ จากนั้น "เฮ้มาฉันคิดว่าฉันเห็นรูปแบบ!" ครู่หนึ่งและคุณรู้ว่า

เท่ากับอินทิกรัลที่แสดง

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

— Dilip Sarwate

$f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

$X=y$ $X=1$

f_{Y} (y) = \int_{y}^{1} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x = 15 y^{2} \int_{y}^{1} x d x = 15 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} |_{y}^{1}) = \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— user3487564
แหล่งที่มา