ความแตกต่างทางแนวคิดระหว่าง heteroscedasticity และ non-stationarity

ฉันมีปัญหาในการแยกแยะความแตกต่างระหว่างแนวคิดเรื่องความไร้สติและความคงที่ ในขณะที่ฉันเข้าใจพวกเขา heteroscedasticity นั้นมีความแตกต่างกันในประชากรย่อยและผู้ที่ไม่อยู่กับที่ก็คือค่าเฉลี่ย / ความแปรปรวนที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา

หากสิ่งนี้เป็นความเข้าใจที่ถูกต้อง (แม้ว่าจะเป็นแบบง่ายๆ) การไม่อยู่นิ่ง ๆ เป็นเพียงกรณีเฉพาะของความแตกต่างระหว่างเวลาหรือไม่?

ในการให้คำจำกัดความที่แม่นยำให้เป็นตัวแปรสุ่มมูลค่าจริง$X_1, \ldots, X_n$

stationarityมักจะถูกกำหนดไว้เฉพาะในกรณีที่เราคิดว่าของดัชนีของตัวแปรเป็นเวลา ในกรณีนี้ลำดับของตัวแปรสุ่มนิ่งของมีการกระจายเช่นเดียวกับX_n นี่หมายถึงโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่สำหรับทุกคนมีการกระจายตัวแบบเดียวกันและดังนั้นค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเดียวกัน (เนื่องจากพวกเขามีช่วงเวลาที่สองที่แน่นอน)$X_1, \ldots, X_{n-1}$$X_2, \ldots, X_n$$X_i$$i = 1, \ldots, n$

ความหมายของheteroscedasticityสามารถขึ้นอยู่กับบริบท หากความแปรปรวนเล็กน้อยของ$X_i$เปลี่ยนด้วย $i$(แม้ว่าค่าเฉลี่ยจะเป็นค่าคงที่) ตัวแปรสุ่มจะถูกเรียกว่า heteroscedastic ในแง่ของการไม่เป็นแบบ homoscedastic

ในการวิเคราะห์การถดถอยเรามักจะพิจารณาความแปรปรวนของการตอบสนองแบบมีเงื่อนไขบน regressors และเรากำหนด heteroscedasticity เป็นความแปรปรวนเงื่อนไขแบบไม่คงที่

ในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาซึ่งคำศัพท์heteroscedasticity แบบมีเงื่อนไขเป็นเรื่องปกติความสนใจมักจะอยู่ในความแปรปรวนของ$X_k$ เปิดเงื่อนไข $X_{k-1}, \ldots, X_1$. หากความแปรปรวนแบบมีเงื่อนไขนี้ไม่คงที่เราจะมีความแตกต่างแบบมีเงื่อนไข แบบจำลอง ARCH (heteroscedasticity แบบปรับเงื่อนไขตามเงื่อนไข) เป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของรุ่นอนุกรมเวลาแบบนิ่งซึ่งมีความแปรปรวนแบบไม่คงที่ตามเงื่อนไข

Heteroscedasticity (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง heteroscedasticity แบบมีเงื่อนไข) ไม่ได้บอกเป็นนัย ๆ ว่า

ความคงที่มีความสำคัญด้วยเหตุผลหลายประการ ผลทางสถิติอย่างง่าย ๆ อย่างหนึ่งก็คือค่าเฉลี่ย

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(X_i)$$ เป็นตัวประมาณความเป็นกลาง $E f(X_1)$(และสมมติว่าergodicityซึ่งเล็กน้อยกว่า stationarity และมักจะสันนิษฐานโดยปริยายค่าเฉลี่ยเป็นตัวประมาณความสอดคล้องของความคาดหวังสำหรับ$n \to \infty$)

ความสำคัญของ heteroscedasticity (หรือ homoscedasticity) คือจากมุมมองทางสถิติที่เกี่ยวข้องกับการประเมินความไม่แน่นอนทางสถิติเช่นการคำนวณช่วงความเชื่อมั่น หากการคำนวณถูกดำเนินการภายใต้สมมติฐานของ homoscedasticity ในขณะที่ข้อมูลแสดงให้เห็นว่า heteroscedasticity จริงช่วงความเชื่อมั่นที่เกิดขึ้นอาจทำให้เข้าใจผิด

อนุกรมเวลาคงที่ถ้าคุณสมบัติทางสถิติทั้งหมดไม่ขึ้นอยู่กับจุดกำเนิดเวลา หากไม่ปฏิบัติตามข้อกำหนดนี้อนุกรมเวลาจะไม่หยุดนิ่ง

แม้แต่ซีรี่ย์เวลาที่อยู่กับที่ก็ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยพื้นฐานของบันทึกตัวอย่างเพียงชุดเดียว คุณสมบัติทางสถิติของมันจะต้องวิเคราะห์โดยเฉลี่ยทั่วทั้งกลุ่มของระเบียนตัวอย่างที่ต้นกำเนิดเวลาที่แตกต่างกัน

หากคุณสมบัติทางสถิติเหมือนกันสำหรับบันทึกตัวอย่างบุคคลใด ๆ และสำหรับกรณีเมื่อพิจารณาจากการหาค่าเฉลี่ยของทั้งมวลอนุกรมเวลาจะเป็นไปตามหลักสรีรศาสตร์

เนื่องจากคุณสมบัติทางสถิติของอนุกรมเวลาแบบ heteroscedactic นั้นขึ้นอยู่กับเวลาจึงไม่คงที่และแน่นอนไม่ใช่ ergodic คุณสมบัติที่กำหนดไว้สำหรับบันทึกตัวอย่างเดียวไม่สามารถขยายไปสู่พฤติกรรมในอดีตและอนาคตได้

อนึ่งการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ / การถดถอยไม่สามารถนำไปใช้กับอนุกรมเวลาเป็นการพึ่งพาระหว่างพวกเขา (ฟังก์ชันการเชื่อมโยงกัน) คือความถี่ขึ้นอยู่กับและสามารถโดดเด่นผ่าน (หลายตัวแปร) สมการความแตกต่างสุ่มสมการ (โดเมนเวลา) หรือฟังก์ชันการตอบสนองความถี่ (โดเมนความถี่)

การวิเคราะห์การถดถอยแบบขยายที่พัฒนาขึ้นสำหรับตัวแปรสุ่มไปยังอนุกรมเวลานั้นผิดพลาด (เช่นดู Bendat และ Piersol, 2010; Box et al., 2015)

เครื่องเขียนมี 3 องศา รูปแบบที่อ่อนแอต้องใช้ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนจะคงที่ ซึ่งหมายความว่าคำจำกัดความที่อยู่กับที่ทั้ง 3 คำนั้นมีความต้องการที่แข็งแกร่งกว่าความแตกต่างแบบเฮเทอโรเซสติติกเนื่องจากความแตกต่างแบบเฮเทอโรเซสติติกหมายถึงความแปรปรวนคงที่โดยไม่มีการอ้างอิงถึงค่าเฉลี่ย

กระบวนการสามารถมีความยืดหยุ่นสูง แต่ถ้าค่าเฉลี่ยไม่คงที่กระบวนการนั้นก็จะไม่นิ่งเฉย

กระบวนการที่อยู่กับที่ (ลองเขียนแทนด้วย 'S') หมายถึง homoscedasticity (เราจะแสดงมันด้วย 'H') ดังนั้น S -> H.

โดยธรรมชาติแล้วการฝังตัว ของมันก็เป็นจริงเช่นกัน ดังนั้น H '-> S' นั่นคือความไม่เป็นเอกภาพหมายถึงการไม่อยู่นิ่ง

แต่ผกผันและปฏิเสธไม่เป็นความจริง ในคำอื่น ๆ :

"การไม่อยู่นิ่งหมายถึงการไม่รักร่วมเพศ" ไม่เป็นความจริง

"มีกระบวนการคงที่ที่ไม่ใช่รักร่วมเพศอยู่" ไม่เป็นความจริง