ความแตกต่างของตัวแปรสุ่มแกมมา

รับตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวและการกระจายความแตกต่างคือคืออะไร? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

หากผลลัพธ์ไม่เป็นที่รู้จักฉันจะไปหาผลลัพธ์ได้อย่างไร

distributions gamma-distribution

— FBC
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าอาจมีความเกี่ยวข้อง: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V. Masterov

น่าเสียดายที่ไม่เกี่ยวข้องกันโพสต์นั้นพิจารณาผลรวมถ่วงน้ำหนักของตัวแปรสุ่มแกมมาซึ่งน้ำหนักเป็นบวกอย่างเคร่งครัด ในกรณีของฉันน้ำหนักจะเป็น +1 และ -1 ตามลำดับ

— FBC

กระดาษ Moschopoulos อ้างว่าวิธีการนั้นสามารถขยายไปยังการผสมแบบเส้นตรง แต่คุณพูดถูกว่าการลดอัตราการรอดชีวิตดูเหมือนจะถูก จำกัด น้ำหนักที่มากกว่า 0 ฉันยืนแก้ไข

— Dimitriy V. Masterov

มีความหวังเล็กน้อยว่าจะได้รับสิ่งใด ๆ ที่เรียบง่ายหรืออยู่ในรูปแบบปิดเว้นแต่ว่าปัจจัยสองระดับจะเหมือนกัน

— whuber

เพียงคำพูดเล็ก ๆ : สำหรับกรณีพิเศษของการแจกแจง rvs ด้วยพารามิเตอร์เดียวกันผลลัพธ์คือ Laplace ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution )

— Ric

คำตอบ:

ฉันจะสรุปว่าปัญหาสามารถแก้ไขได้อย่างไรและระบุสิ่งที่ฉันคิดว่าผลลัพธ์จะเป็นกรณีพิเศษเมื่อพารามิเตอร์รูปร่างเป็นจำนวนเต็ม แต่ไม่ได้กรอกรายละเอียด

ครั้งแรกที่ทราบว่าจะใช้เวลาในค่าใน และอื่น ๆมีการสนับสนุน ) $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
ประการที่สองจากผลมาตรฐานที่มีความหนาแน่นของผลรวมของสองตัวแปรสุ่มอิสระอย่างต่อเนื่องเป็นบิดความหนาแน่นของพวกเขา, ที่อยู่, และความหนาแน่นของตัวแปรสุ่มคือ , อนุมานว่า
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
ประการที่สามสำหรับที่ไม่ใช่เชิงลบตัวแปรสุ่มและทราบว่าการแสดงออกดังกล่าวข้างต้นจะช่วยลดความยุ่งยาก $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
ในที่สุดใช้ parametrization เพื่อหมายถึงตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่น $\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

+1: เมื่อพิจารณาปัญหานี้มาก่อนฉันพบว่าคำตอบนี้น่าสนใจ

— Neil G

ฉันจะยอมรับคำตอบนี้แม้ว่าจะไม่มีโซลูชันแบบปิด มันใกล้เคียงกับที่ได้รับขอบคุณ!

— FBC

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

จากความรู้ของฉันการกระจายความแตกต่างของสองแกมมาอิสระได้ถูกศึกษาครั้งแรกโดย Mathai ในปี 1993 เขาได้รับโซลูชั่นแบบปิด ฉันจะไม่ทำซ้ำงานของเขาที่นี่ แต่ฉันจะชี้ให้คุณไปที่แหล่งต้นฉบับ วิธีการแก้ปัญหาแบบปิดสามารถพบได้บนหน้า 241 เป็นทฤษฎีบท 2.1 ในกระดาษของเขาที่ไม่กลางทั่วไป Laplacianness รูปแบบสมการกำลังสองตัวแปรปกติ

— Nathan Crock
แหล่งที่มา