ความคาดหวังตามเงื่อนไขของตัวแปรสุ่มแบบเลขชี้กำลัง

13

สำหรับตัวแปรสุ่ม ( ) ฉันรู้สึกว่าสัญชาตญาณควรจะเท่ากับตั้งแต่ความจำโดยคุณสมบัติการกระจายของเป็นเช่นเดียวกับที่ของแต่ขยับตัวไปทางขวาโดยx $X\sim \text{Exp}(\lambda)$ $\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}$ $\mathbb{E}[X|X > x]$ $x + \mathbb{E}[X]$ $X|X > x$ $X$ $x$

อย่างไรก็ตามฉันกำลังดิ้นรนที่จะใช้คุณสมบัติที่ไม่มีหน่วยความจำเพื่อให้การพิสูจน์ที่เป็นรูปธรรม ความช่วยเหลือใด ๆ ที่ชื่นชมมาก

ขอบคุณ

random-variable exponential conditional-expectation

— mchen
แหล่งที่มา

คำแนะนำ:

f_{X | X > a} (x) = f_{X} (x - a)

$f_{X|X > a}(x) = f_X(x-a)$ คือการแสดงออกทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับ "ขยับตัวไปทางขวาโดย" และอื่น ๆ

ทีนี้การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรบนอินทิกรัลทางด้านขวา

a

$a$

E [X ∣ X > a] = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X ∣ X > a} (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X} (x - a) d x .

$E[X\mid X>a] = \int_{-\infty}^\infty xf_{X\mid X>a}(x)\,\mathrm dx= \int_{-\infty}^\infty xf_X(x-a)\,\mathrm dx.$

— Dilip Sarwate

2

โปรดทราบว่า

X | X > x

$X|X>x$ เป็นที่ถูกตัดทอนกระจายตัดทอนใต้ "

x

$x$ " กระจายชี้แจง .Specially มันจะขยับตัวและขยับชี้แจงไม่ได้มีคุณสมบัติความจำ

— โฆษณา

13

$\ldots$ โดยคุณสมบัติความจำการกระจายของ $X|X > x$ เป็นเช่นเดียวกับที่ของ $X$ แต่ขยับตัวไปทางขวาโดยx $x$

ให้แสดงฟังก์ชั่นความหนาแน่น (PDF) ของXจากนั้นสูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับสิ่งที่คุณระบุอย่างถูกต้องนั่นคือเงื่อนไข pdf ของเนื่องจากนั้นเหมือนกับของ แต่เลื่อนไปทางขวาโดยนั่นคือ(TX) ดังนั้น , ค่าคาดหวังของเนื่องจากคือ $f_X(t)$ $X$ $-$ $X$ $\{X > x\}$ $X$ $x$ $-$ $f_{X \mid X > x}(t) = f_X(t-x)$ $E[X\mid X > x]$ $X$ $\{X > x\}$

\begin{aligned} E [X ∣ X > x] & = \int_{- \infty}^{\infty} t f_{X ∣ X > x} (t) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} t f_{X} (t - x) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} (x + u) f_{X} (u) d u & on substituting u = t - x \\ = x + E [X] . \end{aligned}

$\begin{align} E[X\mid X > x] &= \int_{-\infty}^\infty t f_{X \mid X > x}(t)\,\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^\infty t f_X(t-x)\,\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^\infty (x+u) f_X(u)\,\mathrm du &\scriptstyle{\text{on substituting}~u = t-x}\\ &= x + E[X]. \end{align}$ โปรดทราบว่าเราไม่ได้ใช้ความหนาแน่นของอย่างชัดเจนในการคำนวณและไม่จำเป็นต้องรวมอย่างชัดเจนหากเราเพียงจำได้ว่า (i) พื้นที่ภายใต้ pdf คือและ (ii) คำจำกัดความ ของค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องในรูปของ pdf

X

$X$

1

$1$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

9

สำหรับเหตุการณ์มีความน่าจะเป็น0 ดังนั้น แต่ (ใช้เล่ห์เหลี่ยมของไฟน์แมนพิสูจน์โดยทฤษฎีการลู่เข้าครอบงำเพราะมันสนุก) $x>0$ $\{X>x\}$ $P\{X>x\}=1-F_X(x)=e^{-\lambda x} > 0$

E [X ∣ X > x] = \frac{E [X I_{{X > x}}]}{P {X > x}},

$\newcommand{\E}{\mathbb{E}} \E[X\mid X> x] = \frac{\E[X\,I_{\{X>x\}}]}{P\{X>x\}} \, ,$

E [X I_{{X > x}}] = \int_{x}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = (*)

$\E[X\,I_{\{X>x\}}] = \int_x^\infty t\,\lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = (*)$

(*) = - λ \int_{x}^{\infty} \frac{d}{d λ} (e^{- λ t}) d t = - λ \frac{d}{d λ} \int_{x}^{\infty} e^{- λ t} d t

$(*) = -\lambda \int_x^\infty \frac{d}{d\lambda}(e^{-\lambda t}) \,dt = -\lambda \frac{d}{d\lambda} \int_x^\infty e^{-\lambda t} \,dt$

= - λ \frac{d}{d λ} (\frac{1}{λ} \int_{x}^{\infty} λ e^{- λ t} d t) = - λ \frac{d}{d λ} (\frac{1}{λ} (1 - F_{X} (x)))

$= -\lambda \frac{d}{d\lambda} \left(\frac{1}{\lambda} \int_x^\infty \lambda\,e^{-\lambda t} \,dt\right) = -\lambda\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\lambda}\left(1 - F_X(x)\right)\right)$

= - λ \frac{d}{d λ} (\frac{e^{- λ x}}{λ}) = (\frac{1}{λ} + x) e^{- λ x},

$= -\lambda\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda}\right) = \left(\frac{1}{\lambda}+x\right)e^{-\lambda x} \, ,$ ซึ่งให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

E [X ∣ X > x] = \frac{1}{λ} + x = E [X] + x .

$\E[X\mid X>x] = \frac{1}{\lambda}+x = \E[X] + x \, .$

— เซน
แหล่งที่มา

2

ถึงแม้ว่าการใช้กลอุบายของไฟน์แมนนั้นน่าสนใจ แต่ทำไมไม่รวมส่วนต่างๆเพื่อรับ

\int_{x}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = - t e^{- λ t} |_{x}^{\infty} + \int_{x}^{\infty} e^{- λ t} d t = (x + \frac{1}{λ}) e^{- λ x} ?

$\int_x^\infty t\lambda e^{-\lambda t}\,dt = -t e^{-\lambda t}\biggr |_x^\infty + \int_x^\infty e^{-\lambda t}\,dt = \left(x + \frac{1}{\lambda}\right)e^{-\lambda x}?$

— Dilip Sarwate