องศาอิสระสำหรับการทดสอบของ Welch นั้นน้อยกว่าค่า DF ของการทดสอบแบบ pooled เสมอหรือไม่?

ฉันกำลังสอนหลักสูตรเกี่ยวกับสถิติเบื้องต้นและเรากำลังทำการทดสอบแบบทดสอบ t สำหรับสองตัวอย่างอิสระที่มีความแปรปรวนไม่เท่ากัน (Welch test) ในตัวอย่างที่ฉันเห็นระดับความเป็นอิสระที่ปรับแล้วซึ่งใช้โดยการทดสอบ Welch นั้นน้อยกว่าหรือเท่ากับเสมอ $n_1+n_2-2$

เป็นเช่นนี้เสมอหรือไม่ การทดสอบ Welch จะลด (หรือไม่เปลี่ยนแปลง) องศาอิสระของการทดสอบ t แบบรวม (ความแปรปรวนเท่ากัน) หรือไม่

และในเรื่องเดียวกันถ้าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างมีค่าเท่ากันทำ DF ของการทดสอบเวลช์ลด ? ฉันดูที่สูตร แต่พีชคณิตยุ่งเหยิง$n_1+n_2-2$

ใช่.

การทดสอบ Welch ใช้การปรับ Satterthaite-Welchสำหรับองศาอิสระ: ที่คุณสามารถดูมันค่อนข้างน่าเกลียด (และในความเป็นจริงเป็นห้วงตัวเลข) แต่ความจำเป็นที่DFนี่คือการอ้างอิง: ธรรมด๊าธรรมดา (2002, p. 214)กล่าวว่า "ถูกล้อมรอบด้วยและที่เล็กกว่าที่หนึ่งสุดขีดและโดยที่อีกอันหนึ่ง"
df′<dfdf′n1-1n2-1n1+n2-2d

$$df'=\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s^2_1}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s^2_2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}$$ $df'<df$$df'$$n_1-1$$n_2-1$$n_1+n_2-2~df$

นี่คือการอ้างอิง 'อย่างเป็นทางการ' (โปรดทราบว่าการปรับด้านบน - การอ้างอิงที่ใช้โดยทั่วไป - ได้มาในบทความที่สอง):

• เวลช์ BL (2481) "ความสำคัญของความแตกต่างระหว่างสองหมายถึงเมื่อความแปรปรวนของประชากรไม่เท่ากัน" Biometrika, 29, 3/4 , PP. 350-62
• Satterthwaite, FE (1946) "การกระจายโดยประมาณของการประมาณขององค์ประกอบความแปรปรวน" Biometrics Bulletin, 2, 6 , PP. 110-114
• เวลช์ BL (2490) "การวางนัยทั่วไปของปัญหา" ของนักเรียน "เมื่อมีความแปรปรวนของประชากรที่แตกต่างกันเกี่ยวข้อง" Biometrika, 34, 1/2 , PP. 28-35

(Googling อาจให้เวอร์ชันที่ไม่ได้ปรับปรุง)