จะค้นหาความแปรปรวนระหว่างจุดหลายมิติได้อย่างไร

สมมติว่าฉันมีเมทริกซ์ X ซึ่งเป็น n คูณ p นั่นคือมันมีการสังเกต n โดยการสังเกตแต่ละครั้งในพื้นที่มิติ p

ฉันจะค้นหาความแปรปรวนของการสังเกตการณ์ n เหล่านี้ได้อย่างไร

ในกรณีที่ p = 1 ฉันแค่ต้องใช้สูตรผลต่างปกติ สิ่งที่เกี่ยวกับกรณีที่ p> 1

variance

สำหรับตัวแปรสุ่ม -dimensionalเรามีนิยามของความแปรปรวนดังต่อไปนี้: $p$ $X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

V a r (X) = E [(X - E X) {(X - E X)}^{⊺}] = (\begin{matrix} V a r (X_{1}) & \dots & C o v (X_{1}, X_{p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C o v (X_{p}, X_{1}) & \dots & V a r (X_{p}) \end{matrix})

$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$

นั่นคือความแปรปรวนของเวกเตอร์สุ่มถูกกำหนดให้เป็นเมทริกซ์ที่เก็บความแปรปรวนทั้งหมดในแนวทแยงมุมหลักและโควาเรียสระหว่างองค์ประกอบที่แตกต่างกันในองค์ประกอบอื่น ๆ เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมตัวอย่างจะถูกคำนวณโดยการเสียบอะนาล็อกตัวอย่างสำหรับตัวแปรประชากร: $p \times p$

\frac{1}{n - 1} (\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1})}^{2} & \dots & \sum_{i = 1}^{n} (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{i = 1}^{n} (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) & \dots & \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p})}^{2} \end{matrix})

$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$ โดยที่หมายถึงการสังเกตที่สำหรับคุณลักษณะและค่าเฉลี่ยตัวอย่างของ

X_{i j}

${X_{ij}}$

i

$i$

j

$j$

{\bar{X}}_{\cdot j}

${{\bar X}_{ \cdot j}}$

j

$j$ คุณสมบัติที่ เพื่อสรุปความแปรปรวนของเวกเตอร์สุ่มนั้นถูกกำหนดเป็นเมทริกซ์ที่มีความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วมแต่ละตัว ดังนั้นจึงพอเพียงในการคำนวณผลต่างตัวอย่างและค่าแปรปรวนร่วมสำหรับองค์ประกอบเวกเตอร์ทั้งหมดแยกกัน

— Philipp Burckhardt
แหล่งที่มา