คุณคำนวณความคาดหวังของ ?

ถ้ามีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลพร้อมพารามิเตอร์และนั้นเป็นอิสระร่วมกันความคาดหวังของ $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

ในแง่ของและและค่าคงที่อื่น ๆ $n$ $\lambda$

หมายเหตุ:คำถามนี้มีอากาศที่เป็นคำตอบทางคณิตศาสตร์/math//q/12068/4051 ผู้อ่านก็จะดูมันเช่นกัน

expected-value exponential gamma-distribution

— ไอแซก
แหล่งที่มา

สำเนาคำถามสองข้อนี้อ้างอิงซึ่งกันและกันและเว็บไซต์สถิติ (ที่นี่) มีคำตอบเชิงสถิติและเว็บไซต์คณิตศาสตร์มีคำตอบทางคณิตศาสตร์อย่างเหมาะสม ดูเหมือนจะเป็นการแบ่งที่ดี: ปล่อยให้มันยืน!

— whuber

คำตอบ:

ถ้าดังนั้น (ภายใต้ความเป็นอิสระ),ดังนั้นจึงกระจายแกมม่า (ดูวิกิพีเดีย ) ดังนั้นเราก็ต้อง2] ตั้งแต่เรารู้ว่า 2 ดังนั้น (ดูวิกิพีเดียสำหรับความคาดหวังและความแปรปรวนของการแจกแจงแกมม่า) $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— โวล์ฟกัง
แหล่งที่มา

ขอบคุณ นอกจากนี้ยังมีวิธีการตอบคำถามอย่างเป็นระเบียบ (นำไปสู่คำตอบเดียวกัน) ใน math.stackexchange (ลิงก์ด้านบนของคำถาม) เมื่อไม่กี่นาทีที่ผ่านมา

— Wolfgang

คำตอบทางคณิตศาสตร์คำนวณอินทิกรัลโดยใช้ลิเนียริตี้ของความคาดหวัง ในบางวิธีมันง่ายกว่า แต่ฉันชอบวิธีการแก้ปัญหาของคุณเพราะมันใช้ประโยชน์จากความรู้ทางสถิติ : เพราะคุณรู้ว่าผลรวมของตัวแปรเอ็กซ์โปเนนเชียลอิสระมีการกระจายแกมม่าคุณก็เสร็จแล้ว

— whuber

ฉันสนุกกับมันไม่มากนักและฉันก็ไม่ได้เป็นนักสถิติหรือนักคณิตศาสตร์

— Kortuk

คำตอบที่สง่างามมาก

— Cyrus S

@Dilip นักคณิตศาสตร์มีแนวโน้มที่จะเห็นคำถามนี้ว่าขออินทิกรัลและหารายได้โดยตรงเพื่อรวมเข้าด้วยกัน นักสถิติได้ทำการแสดงออกอีกครั้งในแง่ของปริมาณทางสถิติที่คุ้นเคยเช่นความแปรปรวนและความสัมพันธ์ทางสถิติที่คุ้นเคยเช่นเอกซ์โปเนนเชียลคือแกมม่าและตระกูลแกมม่าถูกปิดภายใต้การโน้มน้าวใจ คำตอบเหมือนกัน แต่วิธีการต่างกันโดยสิ้นเชิง จากนั้นก็มีคำถามว่าการทำการรวมกลุ่มหมายถึงอะไรจริงๆ ตัวอย่างเช่นอินทิกรัลเชิงซ้อนนี้ทำทางพีชคณิตอย่างหมดจด

— whuber

คำตอบข้างต้นเป็นสิ่งที่ดีมากและตอบคำถามอย่างสมบูรณ์ แต่ฉันจะให้สูตรทั่วไปสำหรับกำลังสองของผลรวมที่คาดไว้และนำไปใช้กับตัวอย่างเฉพาะที่กล่าวถึงที่นี่

สำหรับชุดค่าคงที่ใด ๆมันเป็นความจริงที่ $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

สิ่งนี้เป็นจริงโดยคุณสมบัติการแจกจ่ายและจะชัดเจนเมื่อคุณพิจารณาสิ่งที่คุณทำเมื่อคุณคำนวณด้วยมือ $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

ดังนั้นสำหรับตัวอย่างของตัวแปรสุ่มโดยไม่คำนึงถึงการแจกแจง $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

โดยมีเงื่อนไขว่าความคาดหวังเหล่านี้มีอยู่

ในตัวอย่างจากปัญหาคือตัวแปรสุ่ม iid ซึ่งบอกเราว่า และ สำหรับแต่ละฉันโดยความเป็นอิสระสำหรับเรามี $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

มีคำศัพท์เหล่านี้ทั้งหมดในเมื่อเรามี $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

และมีของคำเหล่านี้ในผลรวม ดังนั้นการใช้สูตรด้านบน $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

คือคำตอบของคุณ

— มาโคร
แหล่งที่มา

ปัญหานี้เป็นเพียงกรณีพิเศษของปัญหาทั่วไปที่เกิดขึ้นใน 'ช่วงเวลา' ซึ่งมักจะกำหนดไว้ในรูปแบบของผลรวมพลังงาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสัญกรณ์ผลรวมพลัง:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

จากนั้นไม่คำนึงถึงการแจกจ่ายโปสเตอร์ต้นฉบับพยายามค้นหา (หากมีอยู่ในขณะนั้น) เนื่องจากผู้ดำเนินการคาดหวังเป็นเพียงช่วงเวลาดิบครั้งที่ 1 การแก้ปัญหาจึงได้รับในซอฟต์แวร์ mathStatica โดย: $E[s_1^2]$

['___ToRaw' หมายความว่าเราต้องการโซลูชันที่นำเสนอในรูปแบบของช่วงเวลาดิบของประชากร (แทนที่จะบอกว่าช่วงเวลากลางหรือ cumulants) ]

สุดท้ายถ้า ~ Exponential ( ) ด้วย pdf : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

จากนั้นเราสามารถแทนที่โมเมนต์ในโซลูชันทั่วไปด้วยค่าจริงสำหรับตัวแปรสุ่มแบบเชียลเช่น: $\mu_i$ sol

เสร็จหมดแล้ว.

ป.ล. เหตุผลที่โซลูชันอื่น ๆ ที่โพสต์ที่นี่ให้คำตอบกับ ในตัวส่วนแทนที่จะเป็นตัวเศษเพราะแน่นอนว่าพวกเขากำลังใช้พารามิเตอร์ที่แตกต่างกันของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล เนื่องจาก OP ไม่ได้ระบุรุ่นที่เขาใช้อยู่ฉันจึงตัดสินใจใช้คำนิยามตำราเรียนทฤษฎีการแจกแจงแบบมาตรฐาน Johnson Kotz et al …เพียงเพื่อสร้างความสมดุลให้กับสิ่งต่าง ๆ :) $\lambda^2$

— wolfies
แหล่งที่มา