เข้าใจความแปรปรวนร่วมที่ใช้งานง่าย, ความแปรปรวนร่วมแบบข้าม, ความสัมพันธ์แบบอัตโนมัติ / ข้ามสหสัมพันธ์และความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงาน

ขณะนี้ฉันกำลังเรียนเพื่อรอบชิงชนะเลิศของฉันในสถิติพื้นฐานสำหรับปริญญาตรี ECE ของฉัน

ในขณะที่ฉันคิดว่าฉันมีคณิตศาสตร์เป็นส่วนใหญ่ฉันไม่เข้าใจที่เข้าใจง่ายว่าตัวเลขจริงหมายถึงอะไร (บทนำ: ฉันใช้ภาษาที่ค่อนข้างเลอะเทอะ

ฉันรู้ว่า E [X] คือ "ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก" ของผลลัพธ์ทั้งหมดของ X ที่ถ่วงน้ำหนักโดยความน่าจะเป็น

Var [X] ให้ค่าความแปรปรวนที่คาดหวังจาก E [X] กำลังสองแล้วบอกเราบางอย่างเกี่ยวกับ "ความเบลอ" ของการแจกแจง

คุณสมบัติอื่น ๆ ที่ฉันรู้สูตร แต่ไม่มีสัญชาติญาณใด ๆ ใครมีคำอธิบาย / แหล่งข้อมูลที่ดีเพื่อช่วยในเรื่องนั้น?

ความแปรปรวนร่วมอย่างที่คุณอาจเดาได้จากชื่อบ่งบอกถึงแนวโน้มของตัวแปรสองตัวที่จะรวมกันหรือ "ย้าย" เข้าด้วยกัน หาก COV ( , ) เป็นบวกค่าแล้วขนาดใหญ่ของที่เกี่ยวข้องกับค่าขนาดใหญ่ของและค่านิยมที่มีขนาดเล็กของที่เกี่ยวข้องกับค่าขนาดเล็กของYถ้าความแปรปรวนร่วมเป็นลบค่าตรงกันข้ามจะถือเป็น:เล็ก ๆจะสัมพันธ์กับใหญ่กว่าและในทางกลับกัน ตัวอย่างเช่นเราคาดว่าจะเห็นความแปรปรวนร่วมสูงระหว่างเงินเดือนและประสบการณ์หลายปี แต่ความแปรปรวนร่วมต่ำหรือเชิงลบระหว่างน้ำหนักและความเร็วในการวิ่งสูงสุด$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$

ความแปรปรวนร่วมขึ้นอยู่กับขนาด (เช่นคุณจะได้รับความแปรปรวนร่วมที่แตกต่างกันหากน้ำหนักถูกวัดเป็นกิโลกรัมหรือปอนด์) และหน่วยมีความแปลกเล็กน้อย (ดอลลาร์ปีและกิโลกรัมเมตรต่อวินาทีในสองตัวอย่างของเรา) ดังนั้น เรามักจะ covariances ปกติโดยการหารโดยที่จะได้รับความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์ไม่มีหน่วยและช่วงจาก -1 ถึง 1 ซึ่งทำให้การวัดความสัมพันธ์เชิงเส้นที่สะดวก (บิตเชิงเส้นนั่นเป็นข้อแม้ที่สำคัญมาก!)$\sigma_x \cdot \sigma_y$

ทีนี้สมมติว่าเรามีชุดของค่าที่สั่งอย่างใด เหล่านี้มักเป็นอนุกรมเวลา แต่ไม่เสมอไป อัตโนมัติสัมพันธ์ฟังก์ชั่นความสัมพันธ์ระหว่างมูลค่าที่ตำแหน่ง / เวลาที่อยู่กับค่าที่ตำแหน่งอื่น ๆ ,$t$$(t-1)$$(t-2)$ฯลฯ ความสัมพันธ์อัตโนมัติสูงอาจบ่งบอกว่าซีรีส์มีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้า ๆ หรือเท่าเทียมกันว่ามูลค่าปัจจุบันสามารถคาดการณ์ได้จากค่าก่อนหน้า แม้ว่าความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วมนั้นเป็นสเกลาร์ (เช่นค่าเดียว) ความสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นเวกเตอร์ - คุณจะได้รับค่าความสัมพันธ์อัตโนมัติสำหรับแต่ละ "ความล่าช้า" หรือ "ช่องว่าง" เสียงรบกวนสีขาวมีฟังก์ชั่นออโตคอร์เรชันสัมพันธ์กันเรียบมาก ภาพธรรมชาติมักมีความสัมพันธ์เชิงพื้นที่โดยอัตโนมัติเนื่องจากพิกเซลที่อยู่ใกล้เคียงมักมีสีและความสว่างใกล้เคียงกัน เสียงสะท้อนอาจมีจุดสูงสุดใกล้กับจุดศูนย์กลาง (เนื่องจากเสียงคล้ายกันในตัวเอง) ซึ่งเป็นพื้นที่ราบระหว่างความเงียบและจากนั้นจุดสูงสุดอีกจุดหนึ่งที่ก่อให้เกิดเสียงสะท้อนนั้นเอง

Cross-correlationเปรียบเทียบสองซีรีส์โดยขยับหนึ่งในนั้นเทียบกับอีก มันก็สร้างเวกเตอร์ ตรงกลางของเวกเตอร์เป็นเพียงความสัมพันธ์ระหว่างและYรายการก่อนหน้านั้นมีความสัมพันธ์กันระหว่างสำเนาเลื่อนไปทางเดียวกับ Y เล็กน้อย รายการหลังตรงกลางคือความสัมพันธ์ระหว่างสำเนาของขยับเล็กน้อยไปทางอื่นและY(หากคุณคุ้นเคยกับการบิดนี่คล้ายกันมาก) หากและเป็นสำเนา (อาจล่าช้า) ซึ่งกันและกันพวกเขาจะมีฟังก์ชันความสัมพันธ์ข้ามที่มีค่าสูงสุด 1.0 ที่ไหนสักแห่งโดยมีตำแหน่งของจุดสูงสุดที่กำหนดโดยความล่าช้า$X$$Y$$X$$X$$Y$$X$$Y$

อัตโนมัติแปรปรวนและข้ามแปรปรวนฟังก์ชั่นเป็นเหมือนเทียบเท่าความสัมพันธ์ของพวกเขา แต่ไม่ปรับสัดส่วน; มันแตกต่างกันระหว่างความแปรปรวนร่วมกับสหสัมพันธ์

ความหนาแน่นพลังงานสเปกตรัมจะบอกคุณว่าพลังของสัญญาณจะกระจายไปทั่วความถี่ต่างๆ PSD ของเสียงที่บริสุทธิ์ (เช่นคลื่นไซน์) จะแบนยกเว้นที่ความถี่ของเสียงนั้น สัญญาณและเสียงที่เป็นธรรมชาติมี PSDs ที่ซับซ้อนกว่ามากซึ่งมีทั้งฮาร์โมนิก, หวือหวา, เรโซแนนซ์ ฯลฯ มันเกี่ยวข้องกับแนวคิดอื่น ๆ เนื่องจากการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชั่น