กระทบยอดสัญลักษณ์สำหรับโมเดลผสม

ฉันคุ้นเคยกับสัญกรณ์เช่น:

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{i} x_{i j} + u_{j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{i} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ โดยที่และ

β_{0 j} = β_{0} + u_{j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ โดยที่และ

β_{0 j} = β_{0} + u_{0 j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$

β_{1 j} = β_{1} + u_{1 j}

$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

สำหรับโมเดลดักจับแบบสุ่มและโมเดลลาดชัน + โมเดลดักจับสุ่มตามลำดับ

ฉันยังเจอสัญกรณ์เมทริกซ์ / เวกเตอร์นี้ซึ่งฉันได้รับการบอกคือ "สัญกรณ์แบบผสมสำหรับผู้ใหญ่" (ตามพี่ชายของฉัน):

y = X β + Z b + e

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$ โดยที่เป็นเอฟเฟกต์คงที่และเป็นเอฟเฟกต์แบบสุ่ม

β

$\mathbf{\beta}$

b

$\mathbf{b}$

หากฉันเข้าใจอย่างถูกต้องแล้วเครื่องหมายหลังสุดจะเป็นสัญกรณ์ทั่วไปที่มากกว่าเดิมซึ่งเป็นรูปแบบเฉพาะของหลัง

ฉันควรจะดูว่าอดีตสามารถมาจากหลัง

mixed-model mathematical-statistics

— โจคิง
แหล่งที่มา

คุณกำลังถามเกี่ยวกับคำอธิบายของสัญลักษณ์เมทริกซ์หรือไม่? เหตุผลที่ฉันถามคือคำถามนี้ไม่จำเป็นต้องมีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ใด ๆ : สูตรทั้งหมดของคุณกำลังพูดอย่างเดียวกันและเชื่อมโยงพวกเขาเข้าด้วยกันเป็นเพียงเรื่องของความเข้าใจว่าสัญกรณ์เมทริกซ์ทำงานอย่างไร

— whuber

@ เมื่อไรฉันเข้าใจสัญลักษณ์เมทริกซ์และพีชคณิตเมทริกซ์ในระดับหนึ่ง แต่ฉันไม่รู้วิธีเริ่มต้นจากแบบฟอร์มเมทริกซ์และมาถึงแบบฟอร์มอื่น อาจเป็นไปได้ว่าฉันไม่เข้าใจอะไรเกี่ยวกับเมทริกซ์ X และ Z แต่ฉันแค่หวังว่าจะมีคนสะกดคำออกมา

— Joe King

@ เมื่อมีบางสิ่งที่ฉันสามารถทำได้เพื่อปรับปรุงคำถามหรือคุณกำลังบอกว่ามันธรรมดาจนไม่สมควรได้รับคำตอบ?

— Joe King

@ JoeKing: ฉันคิดว่าเขากำลังบอกว่าสัญกรณ์เมทริกซ์นั้นมีความหมายเทียบเท่ากับสัญกรณ์ที่ไม่ใช่เมทริกซ์ของคุณ นั่นคือคุณมีอยู่แล้ว (ixj เมทริกซ์ครั้ง jx1 เมทริกซ์ผลผลิต ix1 เมทริกซ์ ) ซึ่งเป็นการ y(คุณสามารถหมุนเป็นโดยรวม 1 ใน )

x_{i j} β_{i}

$x_{ij}\beta_i$

y_{i}

$y_i$

y = X β

$y=X\beta$

β_{0}

$\beta_0$

β

$\beta$

X

$X$

— Wayne

@Wayne ทั้งสองรุ่นมีเอฟเฟกต์แบบสุ่มและเอฟเฟกต์คงที่ อันแรกมีจุดตัดแบบสุ่มในขณะที่ตัวที่สองมีจุดตัดแบบสุ่มและความชันแบบสุ่ม ถ้าฉันสามารถ "คิดออก" ฉันจะไม่ถามคำถามที่นี่ !!!!

— Joe King

เราพิจารณาแบบผสมที่มีความลาดชันแบบสุ่มและการสกัดกั้นแบบสุ่ม เนื่องจากเรามีเพียงหนึ่ง regressor โมเดลนี้สามารถเขียนเป็น ที่หมายถึงการสังเกต -th ของกลุ่มของการตอบสนองและ และคำทำนายและข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

i

$i$

j

$j$

x_{i j}

$x_{ij}$

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$

โมเดลนี้สามารถแสดงในรูปของเมทริกซ์ดังนี้:

Y = X β + Zb + ϵ,

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$ ซึ่งเทียบเท่ากับ

Y = [\begin{matrix} X & Z \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b \end{matrix}] + ϵ

$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$

ให้เราสมมติว่าเรามีกลุ่มคือและให้แทนจำนวนการสังเกตในกลุ่ม -th แบ่งพาร์ติชันสำหรับแต่ละกลุ่มเราสามารถเขียนสูตรข้างต้นเป็น $J$ $j=1,\dots,J$ $n_j$ $j$

[\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{J} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{1} & Z_{1} & 0 & 0 & 0 \\ X_{2} & 0 & Z_{2} & 0 & 0 \\ ⋮ & \dots \\ X_{J} & 0 & 0 & 0 & Z_{J} \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{J} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ⋮ \\ ϵ_{J} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$

โดยที่คือ matrix ที่มีการสังเกตทั้งหมดของการตอบสนองสำหรับกลุ่ม ,และคือเมทริกซ์การออกแบบในกรณีนี้และเป็นอีกครั้งเมทริกซ์ $\mathbf{Y_j}$ $n_j \times 1$ $j$ $\mathbf{X_j}$ $\mathbf{Z_j}$ $n_j \times 2$ $\epsilon_j$ $n_j \times 1$

เขียนออกมาเรามี:

$\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ และ $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยนั้นคือ

$\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ , $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

หากต้องการดูว่าสูตรของโมเดลทั้งสองนั้นมีค่าเท่ากันให้เราดูที่กลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง (สมมุติว่า -th one) $j$

Y_{j} = X_{j} β + Z_{j} b_{j} + ϵ_{j}

$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$

การใช้คำจำกัดความข้างต้นเราสามารถแสดงให้เห็นว่าแถว -th ของเวกเตอร์ที่ได้คือ ที่มีตั้งแต่เพื่อn_j $i$

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

i

$i$

1

$1$

n_{j}

$n_j$

— Philipp Burckhardt
แหล่งที่มา

+1 ฉันจะชี้ให้เห็นว่ามีข้อได้เปรียบในการคำนวณขนาดใหญ่จากการใช้มากกว่าเมทริกซ์แบบเต็ม มีพื้นรุ่นเมทริกซ์จัดเก็บเบาบางของ

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

— probabilityislogic