จะทดสอบได้อย่างไรว่าค่าความชันในโมเดลเชิงเส้นเท่ากับค่าคงที่หรือไม่?

9

สมมติว่าเรามีรูปแบบการถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายและต้องการทดสอบสมมติฐานกับทางเลือกทั่วไป $Z = aX + bY$ $H_0: a=b=\frac{1}{2}$

ฉันคิดว่าหนึ่งสามารถใช้การประมาณการของและและต่อไปใช้ -test ที่จะได้รับช่วงความเชื่อมั่นทั่ว{2} ตกลงไหม $\hat{a}$ $SE(\hat{a})$ $Z$ $\frac{1}{2}$

คำถามอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องอย่างยิ่งกับคำถามนี้ สมมติว่าเรามีตัวอย่าง $\{(x_1,y_1,z_1),\ldots ,(x_n,y_n,z_n) \}$ และเราคำนวณ $\chi^2$ สถิติ

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(z_{i} - \frac{x_{i} + y_{i}}{2})^{2}}{\frac{x_{i} + y_{i}}{2}} .

$\begin{equation} \sum_{i=1}^n \frac{(z_i-\frac{x_i+y_i}{2})^2}{\frac{x_i+y_i}{2}}. \end{equation}$ สามารถใช้สถิติเหล่านี้เพื่อทดสอบสมมติฐานว่างได้หรือไม่

hypothesis-testing regression

— แลน
แหล่งที่มา

8

ในการถดถอยเชิงเส้นสมมติว่า $X$ และ $Y$ ไม่ใช่ตัวแปรสุ่ม ดังนั้นรูปแบบ

Z = a X + b Y + ϵ

$Z = a X + b Y + \epsilon$

พีชคณิตเหมือนกับ

Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2}) X + (b - \frac{1}{2}) Y + ϵ = α X + β Y + ϵ .

$Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2})X + (b - \frac{1}{2})Y + \epsilon = \alpha X + \beta Y + \epsilon.$

นี่และ{2} คำผิดพลาดไม่ได้รับผลกระทบ จัดวางโมเดลนี้โดยประมาณค่าสัมประสิทธิ์เป็นและตามลำดับและทดสอบสมมติฐานตามปกติ $\alpha = a - \frac{1}{2}$ $\beta =b - \frac{1}{2}$ $\epsilon$ $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ $\alpha = \beta = 0$

สถิติที่เขียนในตอนท้ายของคำถามไม่ใช่สถิติไค - สแควร์แม้ว่ามันจะมีความคล้ายคลึงกันอย่างเป็นทางการ สถิติแบบไคสแควร์เกี่ยวข้องกับการนับไม่ใช่ค่าข้อมูลและต้องมีค่าที่คาดหวังในตัวส่วนไม่ใช่ covariates เป็นไปได้ที่ตัวหารหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นจะเป็นศูนย์ (หรือใกล้เคียง) แสดงว่ามีบางอย่างผิดปกติกับสูตรนี้ หากแม้จะไม่น่าเชื่อถือให้พิจารณาว่าหน่วยการวัดของ ,และอาจเป็นอะไรก็ได้ (เช่น drams, parsecs และ pecks) ดังนั้นชุดค่าผสมเชิงเส้นเช่นคือ (โดยทั่วไป) ไม่มีความหมาย มันไม่ได้ทดสอบอะไรเลย $\frac{x_i+y_i}{2}$ $Z$ $X$ $Y$ $z_i - (x_i+y_i)/2$

— whuber
แหล่งที่มา

1

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. มันมีประโยชน์มาก ที่จริงแล้วฉันไม่แม่นยำมากในการกำหนดส่วนที่สองของคำถาม ลองนึกภาพว่า xs และ ys เป็นจำนวนบวกวัดในหน่วยเดียวกัน zs (ผลลัพธ์ที่สังเกตได้) วัดค่า "การโต้ตอบ" ในแง่ที่ว่าหากไม่มีการโต้ตอบควรจะ zs (x + y) / 2 (ผลลัพธ์ที่คาดหวัง) ดังนั้นจากมุมมองของฉันมันก็เหมือนกับการใช้การถดถอยด้วยสมมติฐานว่าง a = b = 1/2 หรือเพื่อเปรียบเทียบความดีของความพอดีโดยใช้สถิติเพียร์สัน chi ^ 2 ของเพียร์สัน สิ่งนี้มีเหตุผลหรือไม่? ขอบคุณ!

— ลาน

1

@ ฉันคิดว่าคำตอบของโวล์ฟกังแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงวิธีการทดสอบที่คุณเสนอ มันเป็นตัวอย่างของความหมายโดยการทดสอบสมมติฐาน "ตามปกติ"

— whuber

9

คุณสามารถทดสอบสมมติฐานนี้ด้วยการทดสอบแบบจำลองแบบเต็มและแบบลดลง นี่คือวิธีที่คุณทำ ขั้นแรกให้พอดีกับรุ่นและรับส่วนที่เหลือจากรุ่นนั้น นำส่วนที่เหลือมารวมกัน นี่คือผลรวมของความคลาดเคลื่อนกำลังสองสำหรับโมเดลเต็ม เรียกนี้ ถัดไปคำนวณที่ Y นี่คือส่วนที่เหลือของคุณภายใต้สมมติฐานว่าง จัดเรียงพวกเขาและรวมพวกมันเข้าด้วยกัน นี่คือผลรวมของความคลาดเคลื่อนกำลังสองสำหรับโมเดลที่ลดลง ขอเรียกนี้SSE_r $Z = aX + bY$ $SSE_f$ $Z - \hat{Z}$ $\hat{Z} = 1/2*X + 1/2*Y$ $SSE_r$

ตอนนี้คำนวณ:

F = , $((SSE_r - SSE_f)/2) / (SSE_f / (n-2))$

โดยที่คือขนาดตัวอย่าง ภายใต้สถิติ F นี้ติดตามการแจกแจงแบบ F ที่มีองศาอิสระและ $n$ $H_0$ $2$ $n-2$

นี่คือตัวอย่างการใช้ R:

x <- rnorm(n)
y <- rnorm(n)
z <- 1/2*x + 1/2*y + rnorm(n) ### note I am simulating under H0 here

res <- lm(z ~ x + y - 1)
summary(res)
SSE.f <- sum(resid(res)^2)

zhat  <- 1/2*x + 1/2*y
SSE.r <- sum((z-zhat)^2)

F <- ((SSE.r - SSE.f) / 2) / (SSE.f / (n-2))
pf(F, 2, n-2, lower.tail=FALSE) ### this is the p-value

ปฏิเสธค่า null ถ้าค่า p ต่ำกว่า. 05 (ถ้าของคุณคือ. 05 จริง ๆ ) $\alpha$

ฉันถือว่าคุณมีความหมายจริงๆสำหรับแบบจำลองของคุณที่จะไม่มีการสกัดกั้น ในคำอื่น ๆ ผมถือว่าคุณเป็นจริงการทำงานร่วมกับรุ่นไม่โดย $Z = aX + bY$ $Z = c + aX + bY$

— โวล์ฟกัง
แหล่งที่มา