ให้เหรียญที่มีอคติไม่เป็นที่รู้จักสร้างความแตกต่างจากเหรียญที่ยุติธรรมได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ได้รับเหรียญที่มีอคติที่ไม่รู้จักว่าฉันสามารถสร้าง variates - อย่างมีประสิทธิภาพเป็นไปได้ - ที่ Bernoulli กระจายกับความน่าจะเป็น 0.5? นั่นคือใช้จำนวนขั้นต่ำของการพลิกต่อการเปลี่ยนแปลงที่สร้างขึ้น$p$

นี่เป็นปัญหาที่รู้จักกันดีกับวิธีแก้ปัญหาที่ดีหลายอย่างซึ่งถูกกล่าวถึงที่นี่และใน stackoverflow (ดูเหมือนว่าฉันไม่สามารถโพสต์มากกว่าหนึ่งลิงก์ แต่การค้นหา google อย่างรวดเร็วช่วยให้คุณมีรายการที่น่าสนใจ) ดูที่รายการวิกิพีเดีย

http://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_biased_coin

นี่เป็นปัญหาคลาสสิกฉันเชื่อว่ามาจาก von Neumann ทางออกหนึ่งคือการเก็บเหรียญเป็นคู่จนกว่าคู่จะแตกต่างกันจากนั้นเลื่อนไปที่ผลลัพธ์ของเหรียญแรกในคู่

ให้อย่างชัดเจนเป็นผลลัพธ์ของการทอยโดยเป็นเหรียญแรกและเป็นเหรียญที่สอง แต่ละเหรียญมีความน่าจะเป็นของหัว แล้วเนื่องจากสมมาตรซึ่งหมายถึง1/2 หากต้องการดูข้อความที่สมมาตรนี้อย่างชัดเจนว่าหมายถึงผลลัพธ์คือหรือซึ่งทั้งคู่มีความเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกันเนื่องจากความเป็นอิสระi X i Y ฉัน p P ( X i = H | X i ≠ Y i ) = P ( X i = T | X i ≠ Y i ) P ( X i = H | X i ≠ Y ฉัน ) = 1 / 2 X ฉัน ≠ $(X_i,Y_i)$$i$$X_i$$Y_i$$p$$P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=P(X_i=T|X_i\neq Y_i)$$P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=1/2$ ( H , T ) ( T , H $X_i\neq Y_i$$(H,T)$$(T,H)$

สังเกตุเวลาที่รอจนกว่าคู่ที่ไม่เท่ากันจะเป็นเช่นนั้น

ซึ่งระเบิดขึ้นเมื่อเข้าใกล้ 0 หรือ 1 (ซึ่งสมเหตุสมผล)$p$

$n$$t$ ntn′t′ ( n$\binom{n}{t}$$n$$t$$n'$$t'$$\binom{n'}{t'}$

เพื่อแสดง:

เราสามารถหยุดที่ TH หรือ HT เนื่องจากสิ่งเหล่านี้มีความน่าจะเป็นที่เท่ากัน การย้ายสามเหลี่ยมของปาสคาลคำศัพท์ถัดไปนั้นอยู่ในแถวที่สี่: 4, 6, 4 หมายความว่าเราสามารถหยุดหลังจากม้วนถ้ามีหัวหนึ่งอันเกิดขึ้นเนื่องจากเราสามารถสร้างการจับคู่แบบสองฝ่าย: HHHT กับ HHTH และเทคนิค HTHH ด้วย THHH แม้ว่าเราจะหยุดพวกมันไปแล้ว ในทำนองเดียวกันให้ผลที่ตรงกันกับ TTHH (ที่เหลือเราจะหยุดก่อนที่จะไปถึงพวกเขา)$\binom42$

สำหรับลำดับทั้งหมดได้หยุดคำนำหน้า มันน่าสนใจกว่าที่ที่เราจับคู่ FFFFTTFT กับ FFFFTTTF($\binom52$$\binom83$

สำหรับหลังจาก 8 ม้วนโอกาสที่ไม่ได้มีการหยุดเป็นมีจำนวนที่คาดหวังของม้วนถ้าเราได้หยุดของ{16} สำหรับวิธีการแก้ปัญหาที่เราเก็บคู่กลิ้งไว้จนกว่าพวกเขาจะแตกต่างกันโอกาสที่จะไม่หยุดคือโดยมีจำนวนม้วนที่คาดไว้ถ้าเราหยุด 4 จากการเรียกซ้ำมีขอบเขตบนพลิกที่คาดไว้ สำหรับขั้นตอนวิธีการที่นำเสนอคือ<4 $p=\frac12$$\frac1{128}$$\frac{53}{16}$$\frac{1}{16}$$\frac{128}{127} \cdot \frac{53}{16} = \frac{424}{127} < 4$

ฉันเขียนโปรแกรม Python เพื่อพิมพ์จุดหยุด:

import scipy.misc
from collections import defaultdict


bins = defaultdict(list)


def go(depth, seq=[], k=0):
    n = len(seq)
    if scipy.misc.comb(n, k, True) % 2 == 0:
        bins[(n,k)].append("".join("T" if x else "F"
                                   for x in seq))
        return
    if n < depth:
        for i in range(2):
            seq.append(i)
            go(depth, seq, k+i)
            seq.pop()

go(8)

for key, value in sorted(bins.items()):
    for i, v in enumerate(value):
        print(v, "->", "F" if i < len(value) // 2 else "T")
    print()

พิมพ์:

FT -> F
TF -> T

FFFT -> F
FFTF -> T

FFTT -> F
TTFF -> T

TTFT -> F
TTTF -> T

FFFFFT -> F
FFFFTF -> T

TTTTFT -> F
TTTTTF -> T

FFFFFFFT -> F
FFFFFFTF -> T

FFFFFFTT -> F
FFFFTTFF -> T

FFFFTTFT -> F
FFFFTTTF -> T

FFFFTTTT -> F
TTTTFFFF -> T

TTTTFFFT -> F
TTTTFFTF -> T

TTTTFFTT -> F
TTTTTTFF -> T

TTTTTTFT -> F
TTTTTTTF -> T