ฉันสามารถแปลงเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นความไม่แน่นอนของตัวแปรได้หรือไม่?

ฉันมีหน่วย GPS ที่ให้เอาต์พุตการวัดสัญญาณรบกวนผ่านเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม :$\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(นอกจากนี้ยังมีมีส่วนร่วม แต่ขอไม่สนใจว่าเป็นครั้งที่สอง.)$t$

สมมติว่าฉันต้องการบอกคนอื่นว่าความถูกต้องในแต่ละทิศทาง ( ) คือจำนวนหนึ่ง μ x , μ Y , μ Z กล่าวคือ GPS ของฉันอาจให้ฉันอ่านx = ˉ x ± μ xฯลฯ ความเข้าใจของฉันคือ$x,y,z$$\mu_x, \mu_y, \mu_z$$x=\bar{x}\pm\mu_x$ในกรณีนี้บอกเป็นนัยว่าการวัดทั้งหมดเป็นอิสระจากกันและกัน (เช่นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นแนวทแยงมุม) ยิ่งไปกว่านั้นการหาข้อผิดพลาดของเวกเตอร์นั้นง่ายพอ ๆ กับการเพิ่มข้อผิดพลาดในการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยม (รากที่สองของผลรวมของกำลังสอง)$\mu$

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของฉันไม่ใช่เส้นทแยงมุม มีตัวเลขธรรมดาที่รวมเอฟเฟกต์ของyและ$\mu_x^*$$y$$z$ทิศทางหรือไม่? ฉันจะค้นหาสิ่งนั้นที่ให้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมได้อย่างไร

ไม่มีหมายเลขเดียวที่ครอบคลุมข้อมูลความแปรปรวนร่วมทั้งหมด - มีข้อมูล 6 ชิ้นดังนั้นคุณต้องมีตัวเลข 6 ตัวเสมอ

อย่างไรก็ตามมีหลายสิ่งที่คุณควรพิจารณาที่จะทำ

ประการแรกข้อผิดพลาด (ความแปรปรวน) ในทิศทางเฉพาะใด ๆ ที่กำหนดไว้โดย$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

ในกรณีที่$\mathbf{e}_i$คือเวกเตอร์หน่วยในทิศทางที่สนใจ

ทีนี้ถ้าคุณดูที่นี่สำหรับพิกัดพื้นฐานทั้งสามคุณจะเห็นว่า:$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

ดังนั้นความผิดพลาดในแต่ละทิศทางที่พิจารณาแยกกันจึงได้รับในแนวทแยงของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม เรื่องนี้ทำให้รู้สึกอย่างสังหรณ์ใจ - ถ้าฉันเพียงแค่พิจารณาทิศทางเดียวแล้วการเปลี่ยนแปลงเพียงความสัมพันธ์ไม่ควรสร้างความแตกต่าง

คุณถูกต้องในการสังเกตว่าเพียงระบุ:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

ไม่ได้หมายความถึงความสัมพันธ์ใด ๆ ระหว่างข้อความทั้งสาม - ข้อความแต่ละคำของตัวเองนั้นถูกต้องสมบูรณ์แบบ แต่ข้อมูลบางส่วน (ความสัมพันธ์) ถูกนำมารวมกันแล้ว

หากคุณจะทำการวัดจำนวนมากในแต่ละครั้งที่มีความสัมพันธ์ของข้อผิดพลาดเดียวกัน (สมมติว่าสิ่งนี้มาจากอุปกรณ์การวัด) ความเป็นไปได้ที่สวยงามอย่างหนึ่งก็คือการหมุนพิกัดของคุณเพื่อเบี่ยงเบนความแปรปรวนร่วมของเมทริกซ์ จากนั้นคุณสามารถนำเสนอข้อผิดพลาดในแต่ละทิศทางแยกกันเนื่องจากตอนนี้พวกเขาจะไม่ได้ถูกแยกส่วน

ในการรับ "ข้อผิดพลาดของเวกเตอร์" ด้วยการเพิ่มพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจสิ่งที่คุณพูด ข้อผิดพลาดสามข้อนี้เป็นข้อผิดพลาดในปริมาณที่แตกต่างกัน - พวกเขาจะไม่ยกเลิกกันและฉันไม่เห็นว่าคุณสามารถเพิ่มพวกเขาเข้าด้วยกันได้อย่างไร คุณหมายถึงข้อผิดพลาดในระยะทางหรือไม่