ขนาดของการทดสอบและระดับความสำคัญ

อะไรคือความแตกต่างระหว่างทั้งสองและทำไมระดับความสำคัญต้องสูงกว่าหรือเท่ากับขนาดของการทดสอบเสมอ?

สมมติว่าคุณมีตัวอย่างที่สุ่มจากการกระจายที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ซึ่งถือว่าค่าในพื้นที่พารามิเตอร์\คุณแบ่งพื้นที่พารามิเตอร์เป็นและคุณต้องการทดสอบสมมติฐาน ซึ่งเรียกว่าnullและสมมติฐานทางเลือกตามลำดับ$X_1,\dots,X_n$$\theta$$\Theta$$\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$

$$H_0 : \theta \in \Theta_0 \, ,$$ $$H_1 : \theta \in \Theta_1 \, ,$$

Letแสดงพื้นที่ตัวอย่างของค่าเป็นไปได้ทั้งหมดของเวกเตอร์สุ่มX_n) เป้าหมายของคุณในการสร้างขั้นตอนการทดสอบคือการแบ่งพื้นที่ตัวอย่างออกเป็นสองส่วน: ส่วนวิกฤตซึ่งมีค่าซึ่งคุณจะปฏิเสธสมมติฐาน (และดังนั้น ยอมรับทางเลือก ) และขอบเขตการยอมรับที่มีค่าของซึ่งคุณจะไม่ปฏิเสธสมมติฐาน (และดังนั้นจึงปฏิเสธทางเลือก )$\mathscr{X}$$X=(X_1,\dots,X_n)$$\mathscr{X}$ $\mathscr{C}$$X$$H_0$$H_1$ $\mathscr{A}$$X$$H_0$$H_1$

อย่างเป็นทางการขั้นตอนการทดสอบสามารถอธิบายได้ว่าเป็นฟังก์ชั่นที่วัดได้ด้วยการตีความที่เห็นได้ชัดในแง่ของการตัดสินใจที่ทำในความโปรดปรานของแต่ละสมมติฐาน ภูมิภาคที่สำคัญคือและภูมิภาคที่ยอมรับคือ .$\varphi:\mathscr{X}\to\{0,1\}$$\mathscr{C}=\varphi^{-1}(\{1\})$$\mathscr{A}=\varphi^{-1}(\{0\})$

สำหรับแต่ละขั้นตอนการทดสอบเรากำหนดฟังก์ชันพลังงานโดย ในคำพูดช่วยให้คุณมีความน่าจะเป็นของการปฏิเสธเมื่อค่าพารามิเตอร์เป็น\$\varphi$$\pi_\varphi:\Theta\to[0,1]$

$$\pi_\varphi(\theta) = \Pr(\varphi(X)=1\mid\theta) = \Pr(X\in\mathscr{C}\mid\theta) \, .$$ $\pi_\varphi(\theta)$$H_0$$\theta$

การตัดสินใจที่จะปฏิเสธเมื่อมีที่ผิด ดังนั้นสำหรับปัญหาที่กำหนดคุณอาจต้องการพิจารณาเฉพาะโพรซีเดอร์การทดสอบซึ่งสำหรับทุก ๆซึ่งบางระดับ นัยสำคัญ ( ) โปรดทราบว่าระดับความสำคัญเป็นคุณสมบัติของคลาสของขั้นตอนการทดสอบ เราสามารถอธิบายชั้นนี้ได้อย่างแม่นยำว่า $H_0$$\theta\in\Theta_0$$\varphi$$\pi_\varphi(\theta)\leq\alpha$$\theta\in\Theta_0$$\alpha$$0<\alpha<1$

$$\mathscr{T}_{\alpha} = \left\{ \varphi\in\{0,1\}^\mathscr{X} : \pi_\varphi(\theta)\leq\alpha, \textrm{for every}\; \theta\in\Theta_0\right\} \, .$$

สำหรับแต่ละบุคคลขั้นตอนการทดสอบ , ความน่าจะเป็นสูงสุดของผิดปัดเรียกว่าขนาดของขั้นตอนการทดสอบ\$\varphi$$\alpha_\varphi=\sup_{\theta\in\Theta_0}\pi_\varphi(\theta)$$H_0$$\varphi$

มันตามมาโดยตรงจากคำจำกัดความเหล่านี้ว่าเมื่อเราสร้างระดับนัยสำคัญแล้วดังนั้นจึงกำหนด classของขั้นตอนการทดสอบที่ยอมรับได้แต่ละโพรซีเดอร์การทดสอบภายในคลาสนี้จะมีขนาดและตรงกันข้าม รัดกุมถ้าหากว่า\$\alpha$$\mathscr{T}_{\alpha}$$\varphi$$\alpha_\varphi\leq\alpha$$\varphi\in\mathscr{T}_{\alpha}$$\alpha_\varphi\leq\alpha$