ทำไมค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสุ่ม X และ XY มีแนวโน้มที่จะเป็น 0.7

นำมาจากสถิติเชิงปฏิบัติสำหรับการวิจัยทางการแพทย์ที่ Douglas Altman เขียนไว้ในหน้า 285:

... สำหรับสองปริมาณ X และ Y ใด ๆ X จะสัมพันธ์กับ XY แน่นอนแม้ว่า X และ Y เป็นตัวอย่างของตัวเลขสุ่มเราคาดหวังว่าความสัมพันธ์ของ X และ XY จะเท่ากับ 0.7

ฉันพยายามใน R และดูเหมือนว่าจะเป็นกรณี:

x <- rnorm(1000000, 10, 2)
y <- rnorm(1000000, 10, 2)
cor(x, x-y)

xu <- sample(1:100, size = 1000000, replace = T)
yu <- sample(1:100, size = 1000000, replace = T)
cor(xu, xu-yu)

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น? ทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลังสิ่งนี้คืออะไร?

ถ้าและYเป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่มีการเชื่อมโยงซึ่งมีความแปรปรวนเท่ากันσ 2เราจะได้varนั้น ( X - Y $X$$Y$$\sigma^2$ ดังนั้นρX,X-Y=cov(X,X-Y

$$\begin{align} \operatorname{var}(X-Y) &= \operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(-Y)\\ &= \operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(Y)\\ &=2\sigma^2,\\ \operatorname{cov}(X, X-Y) &= \operatorname{cov}(X,X) - \operatorname{cov}(X,Y) & \text{bilinearity of covariance operator}\\ &= \operatorname{var}(X) - 0 & 0 ~\text{because}~X ~\text{and}~ Y ~\text{are uncorrelated}\\ &= \sigma^2. \end{align}$$ ดังนั้นเมื่อคุณพบ ∑ n i = 1 (xi- ˉ x )((xi-yi)-( ˉ x - ˉ y ) $$\rho_{X,X-Y} = \frac{\operatorname{cov}(X, X-Y)}{\sqrt{\operatorname{var}(X)\operatorname{var}(X-Y)}}= \frac{\sigma^2}{\sqrt{\sigma^2\cdot2\sigma^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$ ตัวอย่างความสัมพันธ์ของxและx-yสำหรับชุดข้อมูลขนาดใหญ่{(xi,yi):1≤i≤ $$\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i - \bar{x}\right) \left((x_i-y_i) - (\bar{x}-\bar{y})\right)}{ \sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i - \bar{x}\right)^2 \sum_{i=1}^n\left((x_i-y_i) - (\bar{x}-\bar{y})\right)^2}}$$ $x$$x-y$ดึงมาจากประชากรที่มีคุณสมบัติเหล่านี้ซึ่งรวมถึง "ตัวเลขสุ่ม" เป็นกรณีพิเศษผลลัพธ์มีแนวโน้มที่จะใกล้เคียงกับค่าสหสัมพันธ์ของประชากร$\{(x_i,y_i)\colon 1 \leq i \leq n\}$$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071\ldots$

คำอธิบายทางสถิติเชิงเรขาคณิต

$n$ $2$ $X$$Y$$X$$Y$

$X$$Y$$r=0$

$X$$Y$

$X-Y$$X+Y$

$X-Y$$X+Y$$\sqrt{2\sigma^2}$$X$$X-Y$$X+Y$$0.707...$

ฉันเชื่อว่ามีสัญชาตญาณง่าย ๆ ตามความสมมาตรที่นี่เช่นกัน เนื่องจาก X และ Y มีการแจกแจงแบบเดียวกันและมีความแปรปรวนร่วมเป็น 0 ความสัมพันธ์ของ X ± Y กับ X จึงควร "อธิบาย" ครึ่งหนึ่งของการแปรผันใน X ± Y; อีกครึ่งหนึ่งควรอธิบายโดย Y ดังนั้น R ²ควรเป็น 1/2 ซึ่งหมายความว่า R คือ 1 / √2≈ 0.707

นี่เป็นวิธีง่ายๆในการคิดว่าทำไมมันถึงมีความสัมพันธ์กัน

ลองนึกภาพสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อคุณลบการแจกแจงสองค่า หากค่าของ x ต่ำดังนั้นโดยเฉลี่ยx - yจะเป็นค่าที่ต่ำกว่าถ้าค่าของ x สูง เมื่อ x เพิ่มขึ้นก็จะx - yเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ยและมีความสัมพันธ์เชิงบวก